河北省衡水市2010届高三数学高考模拟统一考试(理)人教版.doc

2010年衡水市高考模拟统一考试
理科数学
说明：
1. 本试卷共4页，包括三道大题，22道小题，共150分.其中第一道大题为选择题.
2. 所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效。答题前请仔细阅读
答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.
3. 做选择题时，如有改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案.
4. 考试结束后，请将本试卷与答题卡一并交回.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A、B相互独立，，那么 其中表示球的半径
如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么 球的体积公式
次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率 其中表示球的半径

一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的。
(1)复数等于
A． B． C． D．
(2) 设，则它们的大小关系为 （ ）
A． B . C . D.
(3) 在△ABC中，已知，，则的值为
A. B. C.或 D.
(4)已知数列的前n项和，第k项满足，则k等于
A．9 B． 8 C． 7 D．6
(5)正四棱锥P－ABCD的所有棱长相等，E为PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的余弦值等于
A B. C. D.
(6)“函数在区间为减函数”是“=4”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
(7)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，且甲乙两位老师不在同一个班，则不同的分配方案有
A．90种　　　 B．162种
C．180种　　　 D．72种
(8)过双曲线（a>0，b>0）的右焦点F作圆的切线FM（切点为M），交y轴于点P. 若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率
A． B． C．2 D．
(9)已知中,点是的中点,过点的直线分别交直线、于、两点,若,,则的最小值是
A. B.
C.5 D.
(10) 已知函数满足：①；②在上为增函数,若,且,则与的大小关系是
A. B.
C. D. 无法确定
(11)已知公比不为1的正数等比数列的通项公式为，记其反函数为，若，则数列的前6项乘积为
A. B.
C. D.
(12)已知 为上的可导函数，且和>0对于恒成立,则有
A． B．
C.．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
（13）对任意的实数，有，则的值是 .
（14）设抛物线的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，又知点P恰为AB的中点，则 .
（15）已知球的表面积为，球面上有A、B、C三点，AB=AC=2，BC=，O为球心，则直线OA与平面ABC所成的角的正切值为 .
（16）已知，满足且目标函数的最大值为7，最小值为１，则 . 高☆考♂资♀源€网

三、解答题： 本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分10分）
已知向量,记.
（I）若,求函数的值域;
（II）在中,角A、B、C所对的边分别为、、，若,且,求 的值.

（18）(本小题满分12分)
环保局决定对衡水湖的四个区域A、B、C、D的水质进行检测，水质分为I、II、III类，每个区域的检测方式如下：分别在同一天的上、下午各进行一次检测，若两次检测中有III类或两次都是II类，则该区域的水质不合格，设各区域的水质相互独立，且每次检测的结果也相互独立，根据多次抽检结果，一个区域一次检测水质为I、II、III三类的频率依次为
（I）在衡水湖的四个区域中任取一个区域，估计该区域水质合格的概率；
（II）如果对衡水湖的四个区域进行检测，记在上午检测水质为I类的区域数为，并以水质为I 类的频率作为水质为I类的概率，求的分布列及期望值.

(19)(本小题满分12分)
如图，已知平行四边形和矩形所在的平面互相垂直，，.
（I） 求证：；
（II）求A点到平面BDF的距离；
（III）求二面角的大小.

(20)(本小题满分12分)
函数对任意∈R都有
（I）求的值；
（II） 数列的通项公式.
（III）令试比较Tn与Sn的大小.
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(21)（本小题满分12分）
已知圆：交轴于两点，曲线是以为长轴直线：为准线的椭圆．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）若是直线上的任意一点，以为直径的圆与圆相交于两点，求证：直线 必过定点，并求出点的坐标；
（III）如图所示，若直线与椭圆交于两点，且，试求此时弦的长．高☆考♂资♀源€网

P
Q
O
A
H
G
M
X
B
y

(22)（本小题满分12分）
设函数
（I）若对定义域的任意，都有成立，求实数b的值；
（II）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；
（III）若，证明对任意的正整数n，不等式都成立.

2010年衡水市高考模拟统一考试
理科数学答案
一．选择题：1-5 CAABD 6-10 BDADA 11-12 DD
二．填空题：13.6 14.8 15. 16.-2
三、解答题： 本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．解（1）
---------------------- 2分
, , 的值域为. ------------------------5分
(2) ,， ----------------------- 7分
在中，,
解得
. ------------------------10分
18解：（I）该区域两次检测中，水质均为I类的概率为＝ ---------------------２分
该区域两次检测中，水质一次为I类，另一次为II类的概率为２＝- ------４分
该区域的水质合格的概率为Ｐ＝＋２＝ -----------５分
（II）由题意可知，的取值为０，１，２，３，４ ------６分
Ｐ（＝ｉ）＝（）（）（ｉ＝０，１，２，３，４ -----------10分
随机变量的分布列为

０
１
２
３
４
Ｐ

-------------11分
服从Ｂ（４，），Ｅ＝４＝. -----------------12分
19．解：（1）易求，从而，由三垂线定理知:.
------------------3分
（2）由等体积,求出由勾股定理知
DFB为直角三角形，,
设A点到平面BDF的距离为，求得=
到面的距离是. -----------------------------7分
（3）法一：设点在面内的射影为，过作于，连结GO 、AO.
则为二面角的平面角. ---------------------10分
在RT中由面积法求得，由(2) ，在RTAOG中
所以，所以求二面角的大小为. ----------12分
法二：求出由勾股定理知DFB为直角三角形，过作于，又过作交于，连结.则易证为二面角的平面角 --------------------9分
.在中由面积法易求，从而于是，
所以，
在中由余弦定理求得.再在中由余弦定理求得.
在中由余弦定理求得，所求二面角的大小为. -高☆考♂资♀源€------------- 12分
20.解：（1）令 --------------- 2分
（2）
又，两式相加

,满足上式. 故----6分
（3）

所以.当n=1时等号成立。 --------------------12分
21.解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，则：
，从而，故,所以椭圆的标准方程为. ------4分

（Ⅱ）设，则圆方程为 与圆联立消去得的方程为，所以直线过定点.---------8分
（Ⅲ）解法一：设，则,………①
，，即：
代入①解得：（由图舍去正值），
，所以，
从而圆心到直线的距离，
从而. --------12分
解法二:将与椭圆方程联立成方程组消去得：,设，则.
，，所以代入韦达定理得：
.
消去得：，，由图得：.
所以，以下同解法一.
22.解：（1）由x + 1＞0得x＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞).
对x∈( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1).
∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f/ (1) = 0.

解得b= - 4. 高☆考♂资♀源 -----------------------4分
（2）∵.
又函数f(x)在定义域上是单调函数 ∴f/ (x) ≥0或f/(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.
若f/ (x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x2 +2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立.
即b≥-2x2 -2x = 恒成立,由此得b≥. ---------------------6分
若f/ (x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x2 +2x+b≤0,即b≤-(2x2+2x)恒成立，
因-(2x2+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值.
∴不存在实数b使f(x) ≤0恒成立.
综上所述，实数b的取值范围是. --------------------------8分
（3）当b= - 1时，函数f(x) = x2 - ln(x+1)
令函数h(x)=f(x) – x3 = x2 – ln(x+1) – x3.
则h/(x) = - 3x2 +2x - .
∴当时，h/(x)＜0所以函数h(x)在上是单调递减. -----------10分
又h(0)=0，∴当时，恒有h(x) ＜h(0)=0,
即x2 – ln(x+1) ＜x3恒成立.故当时,有f(x) ＜x3.
∵取则有＜.
∴. --------------12分
用心 爱心 专心