高三数学高考第一轮复习——直线与圆锥曲线(理)人教实验A版-知识精讲.doc

高三数学高考第一轮复习——直线与圆锥曲线（理）人教实验A版

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
直线与圆锥曲线

二. 重点、难点：
1. 曲线：
2. 直线：

（1） 无交点
（2） 一个交点，相切
（3） 两个交点P、Q

【典型例题】
[例1] A（4，1）过A作交曲线M于P、Q，A恰为PQ中点，求。
（1）
（2）
（3）
解：（1）设，
∴

∴
∴ A为PQ中点 ∴ ，
∴
∴
（2）同理：
（3）同理：

[例2] 过曲线M的焦点F，作直线交曲线M于A、B，求的最小值。
（1
（2）
（3）
解：（1）① 设

<1> 交于两支

∴ 时，
<2>
交于右支

∴
②
综上所述，
（2）同理：
（3）同理：

[例3] （1）椭圆，直线，若M上存在两个不同的点，关于对称，求m的取值范围。
（2）双曲线，直线，若M上存在两个不同的点关于对称，求k的取值范围。
解：（1）设对称点A，B ∴

∴
∴
∴
（2）设对称点A、B ∴

∴
∴

[例4] 椭圆M，中心在原点，焦点在x轴，直线交椭圆于P、Q，且OP⊥OQ，，求椭圆方程。
解：设椭圆
∴
设

∴
∴

令 ∴ ∴
∴

[例5] 曲线P在M上，A（1，2），B（3，8），求最小值。
与AB平行的曲线的切线：

依图
∴

[例6] 已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（，0），右顶点为D（2，0），设点A。

（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值。
解析：（1）由已知得椭圆的半长轴，半焦距，则半短轴
又 ∵ 椭圆的焦点在x轴上 ∴ 椭圆的标准方程为
（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（）
由，得
由点P在椭圆上，得
∴ 线段PA中点M的轨迹方程是
（3）当直线BC垂直于x轴时，BC=2，因此△ABC的面积S△ABC=1
当直线BC不垂直于x轴时，该直线方程为，代入
解得，
则，又因为点A到直线BC的距离
∴ △ABC的面积，
于是
由，得，其中，当时，等号成立
∴ 的最大值是

[例7] 如图，双曲线的离心率为，F1，F2分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且。

（1）求双曲线的方程；
（2）设A（m，0）和是x轴上的两点。过点A作斜率不为0的直线，使得交双曲线于C，D两点，作直线BC交双曲线于另一点E。证明直线DE垂直于x轴。
解析：（1）根据题设条件，，设点M（x，y），则x，y满足
因，解得，
故

利用，得，于是
因此，所求双曲线方程为
（2）证明：设点C（），D（），E（），则直线的方程为
于是两点坐标满足
将<1>代入<2>得

由（点C在双曲线上），上面方程可化简为

由已知，显然
于是，因为，得
同理，两点坐标满足
可解得
所以，故直线DE垂直于x轴。

[例8] 已知点M（－2，0），N（2，0），动点P满足条件，记动点P的轨迹为W。
（1）求W的方程；
（2）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值。
解析：解法一：（1）由知，动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长。
又半焦距，故虚半轴长
∴ W的方程为
（2）设A，B的坐标分别为
当AB⊥x轴时，，从而
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，与W的方法联立，消去y得，故
∴

又 ∵ ，∴ ，从而
综上，当AB⊥x轴时，取得最小值2
解法二：（1）同解法一
（2）设A，B的坐标分别为，
则
令，则，且
∴

当且仅当，即时“=”成立
∴ 的最小值是2

[例9] 无论m为何值，直线：与双曲线C：恒有公共点。
（1）求C的离心率的取值范围；
（2）若直线过C的右焦点F与双曲线交于P、Q，并且满足，求C的方程。
解：（1）
∴
① 时，m=0方程组无解，不合题意
② ，恒成立，即恒成立
∴ ∴
（2）设：， ∴
∴
∵
∴
又 ∵ ∴ ∴

[例10] 如图F（1，0），点M在x轴上，若且向量与的交点在y轴上。
（1）求N的轨迹；
（2）是否存在过点（－1，0）的直线交轨迹于A、B且，并说明理由。

解：（1）设N（x，y），M（a，0）
与的交点为P，
∴ P为中点，且 ∴
∴ ， ∴ ∴
（2）设存在直线满足条件
令

∴ ∴

定值
∴ 不存在使=4

[例11] 如图，已知椭圆，过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设
（1）求的解析式；（2）求的最值。

考查方向：本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合。
知识背景：直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值。
易错分析：在第（1）问中，要注意验证当时，直线与椭圆恒有交点。
技巧方法：第（1）问中，若注意到为一对相反数则可迅速将化简，第（2）问，利用函数的单调性求最值是常用方法。
解：（1）设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为，则，
∴ 椭圆的焦点为
故直线的方程为，又椭圆的准线方程为，即
∴
考虑方程组，消去y得：
整理得：

∵ ∴ 恒成立，
又 ∵ A、B、C、D都在直线上
∴ ，

∴
又 ∵ ∴
∴
故，
（2）由，可知
又 ∴
故的最大值为，此时的最小值为，此时m=5。

【模拟试题】（答题时间：80分钟）
1. 函数的图象与直线y=x相切，则等于（ ）
A. B. C. D. 1
2. 直线与椭圆的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e等于（ ）
A. B. C. D.
3. 以椭圆内的点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
4. 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）
A. 有且仅有一条 B. 有且仅有两条 C. 有无穷多条 D. 不存在
5. 设直线关于原点对称的直线为。若与椭圆的交点为A，B两点，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为的点P的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A，B，则等于（ ）
A. 3 B. 4 C. D.
7. 过M（－2，0）的直线与椭圆交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线的斜率为，直线OP的斜率为，则的值等于（ ）
A. 2 B. －2 C. D.
8. 直线与椭圆相切，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9. 斜率为2的直线过中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的右焦点，与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，则双曲线的离心率的范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=
90°，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.

12. 已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. B.（1，2） C. D.（2，+∞）
13. 给定四条曲线：① ，② ，③ ，
④ ，其中与直线仅有一个交点的曲线是（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
14. 椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
15. 直线与曲线相交于A，B两点，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A. B. C. D.
16. 椭圆的长轴两端点为A，B，异于A，B的点P在椭圆上，则PA与PB斜率之积为（ ）
A. B. C. D.
17. 在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
18. 已知双曲线中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）
A. B. C. D.
19. 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（ ）
A. B. －4 C. 4 D.
20. 已知双曲线中心在原点，两个焦点F1，F2分别为（）和（），点P在双曲线上，，且△PF1F2的面积为1，则双曲线方程为（ ）
A. B.
C. D.
21. 已知双曲线的离心率为2，焦点是（－4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）
A. B. C. D.

【试题答案】
1. B 2. B 3. D 4. B 5. B 6. C 7. D 8. B 9. D 10. B
11. D 12. C 13. D 14. A 15. B 16. A 17. A 18. D 19. A 20. C
21. A

用心 爱心 专心