2014年北京市高考文科数学考试说明及样题.doc

北京市2014年高考考试说明及样题(数学文)
Ⅰ．试卷结构
　　全卷包括两部分：一、选择题，二、非选择题．
　　全卷20题，分为选择题、填空题和解答题三种题型．选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出计算过程或证明过程；解答题包括计算题、证明题、应用题等，要求写出文字说明、演算步骤或证明过程．三种题型的题目个数分别为8、6、6；分值分别为40、30、80．
　　试卷由容易题、中等难度题和难题组成，并以中等难度题为主，总体难度适当．
Ⅱ．考试内容及要求
　　一、考核目标与要求
　　数学科高考注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及分析问题和解决问题的能力．
　　根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据教育部2003年颁布的《普通高中课程方案（实验）》和《普通高中数学课程标准（实验）》，以及《北京市普通高中新课程数学学科教学指导意见和模块学习要求（试行）》，确定必修课程、选修课程系列1的内容为文史类高考数学科的考试内容．
　　关于考试内容的知识要求和能力要求的说明如下：
　　1．知识要求
　　对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，分别用A,B,C,D表示，且高一级的层次要求包括低一级的层次要求．了解、理解、掌握是对知识的基本要求（详见考试范围与要求层次），灵活和综合运用不对应具体的考试内容．
　　（1）了解（A）：对所列知识内容有初步的认识，会在有关的问题中识别和直接应用．
　　（2）理解（B）：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用所列的知识解决简单问题．
　　（3）掌握（C）：对所列的知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有关问题．
　　（4）灵活和综合运用（D）：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决比较综合的问题．
　　2．能力要求
　　能力是指空间想像能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及分析问题和解决问题的能力．
　　（1）空间想像能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变形．
　　（2）抽象概括能力：能在对具体的实例抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或作出新的判断．
　　（3）推理论证能力：会根据已知的事实和已获得的正确数学命题，来论证某一数学命题的正确性．
　　（4）运算求解能力：会根据概念、公式、法则正确地对数、式、方程、几何量等进行变形和运算；能分析条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计，并能近似计算．
　　（5）数据处理能力：会依据统计中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题．
　　（6）分析问题和解决问题的能力：能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科，生产、生活中简单的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述；能选择有效的方法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究，创造性地解决问题．
　　3．个性品质要求
　　考生能以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神.
　　4．考查要求
　　（1）对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合．
　　（2）数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括．对数学思想和方法的考查与数学知识的考查结合进行，考查时，从学科整体意义和思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧．
　　（3）对数学能力的考查，以抽象概括能力和推理论证能力为核心，全面考查各种能力．强调探究性、综合性、应用性．突出数学试题的能力立意，坚持素质教育导向．
　　（4）注重试题的基础性、综合性和层次性．合理调控综合程度，坚持多角度，多层次的考查．
　　二、考试范围与要求层次
　　1．集合与常用逻辑用语
考试内容
要求层次
A
B
C
集合
集合的含义
√

集合的表示

√

集合间的基本关系

√

集合的基本运算

√

常用逻辑用语
“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题
√

四种命题的相互关系

√

充要条件

√
简单的逻辑联结词

√

全称量词与存在量词

√

　　2．函数概念与指数函数、对数函数、幂函数
考试内容
要求层次
A
B
C
函数
函数的概念与表示

√
映射
√

单调性与最大（小）值

√
奇偶性

√

指数函数
有理指数幂的含义

√

实数指数幂的意义
√

幂的运算

√
指数函数的概念、图像及其性质

√

对数函数
对数的概念及其运算性质

√

换低公式
√

对数函数的概念、图像及其性质

√

指数函数与对数函数互为反函数（a＞0，且a≠1）
√

幂函数
幂函数的概念
√

幂函数的图象及其性质

√

函数的模型及其应用
函数的零点
√

二分法
√

函数模型的应用

√

　　3．三角函数、三角恒等变换、解三角形
考试内容
要求层次
A
B
C
三角函数
任意角的概念和弧度制
√

弧度与角度的互化

√

任意角的正弦、余弦、正切的定义

√
用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切

√
诱导公式

√

同角三角函数的基本关系式

√
同期函数的定义、三角函数的周期性
√

函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象和性质

√
函数y=Asin(ωx+φ)的图象

√
用三角函数解决一些简单的实际问题

√

三角恒等变换
两角和于差的正弦、余弦、正切公式

√
二倍角的正弦、余弦、正切公式

√
简单的恒等变换

√

解三角形
正弦定理、余弦定理

√

解三角形

√

　　4．数列
考试内容
要求层次
A
B
C
数列的概念
数列的概念和表示法

√

等差数列、等比数列
等差数列的概念

√

等比数列的概念

√

等差数列的通项公式与前n项和公式

√
等比数列的通项公式与前n项和公式

√
　　5．不等式
考试内容
要求层次
A
B
C
数列的概念
解一元二次不等式

√
简单的线性规划
用二元一次不等式组表示平面区域

√

简单的线性规划问题

√

基本不等式： 
用基本不等式解决简单的最大（小）值问题

√
　　6．推理与证明
考试内容
要求层次
A
B
C
合情推理与演绎推理
合情推理
√

归纳和类比

√

演绎推理

√
直接证明与间接证明
综合法

√
分析法

√
反证法

√

　　7．平面向量
考试内容
要求层次
A
B
C
平面向量
平面向量的相关概念

√

向量的线性运算
向量加法与减法

√
向量的数乘

√
两个向量共线

√

平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理
√

用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算

√
用坐标表示的平面向量共线的条件

√
平面向量的数量积
数量积

√
数量积的坐标表示

√
用数量积表示两个向量的夹角

√

用数量积判断两个平面向量的垂直关系

√
向量的应用
用向量方法解决简单的问题

√

　　8．导数及其应用
考试内容
要求层次
A
B
C
导数概念及其几何意义
导数的概念
√

导数的几何意义

√

导数的运算
根据导数定义求函数)的导数
√

导数的四则运算

√
导数公式表

√

导数在研究函数中的应用
利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）

√
函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）

√
利用导数解决某些实际问题

√

　　9．数系的扩充与复数的引入
考试内容
要求层次
A
B
C
复数的概念与运算
复数的基本概念，复数相等的条件

√

复数的代数表示法及几何意义
√

复数代数形式的四则运算

√

复数代数形式加减法的几何意义
√

　　10．立体几何初步
考试内容
要求层次
A
B
C
空间几何体
柱、锥、台、球及其简单组合体
√

三视图

√

斜二侧法画简单空间图形的直观图

√

球、棱柱、棱锥的表面积和体积
√

点、直线、平面间的位置关系
空间直线、面的位置关系

√

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.
公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
√

线、面平行或垂直的判定

√
线、面平行或垂直的性质

√
　　11．平面解析几何初步
考试内容
要求层次
A
B
C
直线与方程
直线的倾斜角和斜率

√

过两点的直线斜率的计算公式

√
两条直线平行或垂直的判定

√
直线方程的点斜式、两点式及一般式

√
两条相交直线的交点坐标

√

两点间的距离公式、点到直线的距离公式

√
两条平行线间的距离

√

圆的方程
圆的标准方程与一般方程

√
直线与圆的位置关系

√
两圆的位置关系

√

空间直角坐标系
空间直角坐标系

√

空间两点间的距离公式

√

　　12．圆锥曲线与方程
考试内容
要求层次
A
B
C
圆锥曲线
椭圆的定义及标准方程

√
椭圆的简单几何性质

√
抛物线的定义及标准方程
√

抛物线的简单几何性质
√

双曲线的定义及标准方程
√

双曲线的简单几何性质
√

直线与圆锥曲线的位置关系

√
　　13．算法初步
考试内容
要求层次
A
B
C
算法及其程序框图
算法的含义
√

程序框图的三种基本逻辑结构

√

基本算法语句
输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句
√

　　14．框图
考试内容
要求层次
A
B
C
流程图
流程图
√

结构图
结构图
√

　　15．统计
考试内容
要求层次
A
B
C
随机抽样
简单随机抽样

√

分层抽样和系统抽样
√

用样本估计总体
频率分布表，直方图、折线图、茎叶图

√

样本数据的基本数字特征（如平均数、标准差）

√

用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征

√
变量的相关性
线性回归方程

√

　　16．概率
考试内容
要求层次
A
B
C
事件与概率
随机事件的概率
√

随机事件的运算

√

两个互斥事件的概率加法公式

√
古典概型
古典概型

√

几何概型
几何概型

√

北京市2014年高考文科数学参考样题
为让考生对高考试题获得一定的认识，我们从近几年高考数学（北京卷）中选择了部分试题编制成参考样题。除部分试题之外，其他试题均有答案、说明、当年高考实测难度，参考样题与2014年高考试卷的结构、形式、测试内容、题目排序、题量、难度等均没有对应关系。

一、选择题：在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
【试题1】(2006年文史类第1题)设集合，，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【说明】本题主要考查集合、交集的概念，一元一次不等式的解法.
本题难度为0.94
【试题2】(2003年文史类第1题)设，，，则
A. B.C. D.
【答案】D
【说明】本题考查指数函数的概念、指数的运算和指数函数的单调性.
把、、都化成以2为底的指数幂，得，，.由函数在上是增函数，且，得.
本题难度为0.61

【试题3】(2013年文史类第4题) 在复平面内，复数对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
【答案】A
【说明】本题考查复数的代数运算以及复数代数表示的几何意义.
对应的点位于第一象限，所以选（A）.
本题难度为0.95

【试题4】(2006年文史类第2题)函数的图象
A.关于轴对称 B.关于轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线对称
【答案】B
【说明】本题考查余弦函数的性质、函数的奇偶性及其图像的对称性.
本题难度为0.72

【试题5】(2004年文史类第3题)设、是两条不同的直线，、、是三个不同平面.给出下列四个命题：
①若，，则；
②若，，，则；
③若，，则；
④若，，则.
其中正确命题的序号是
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【答案】A
【说明】本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系，并考查把符合语言、文字语言、图形语言进行转换的能力，以及空间想象能力.
本题难度0.71
【试题6】(2012年文史类第3题) 设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，
则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）

【答案】D
【说明】本题主要考查几何概型.如图，区域D是边长为2的正方形及其内部，区域D中的点Q到原点距离大于2当且仅当点Q在阴影区域内.所求概率为阴影区域面积与正方形面积的比值，等于.故选D.
本题难度为0.78

【试题7】(由2005年文史类第5题改编)从原点向圆作两条切线，则这两条切线所成锐角的大小为
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
【答案】C
【说明】本题主要考查圆的方程、圆的切线的性质，考查数形结合的思想方法.把圆的方程化为，可知该圆圆心坐标为，半径为3.依题意作出图形(如图)，即可求.在中，由于，，故.
【试题8】(2011年文史类第7题) 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
（A） 60件 （B）80件 （C）100件 （D）120件
开始

结束

输入A
P=1,S=1

P=P+1

输出P
否
是
【答案】B
【说明】本题主要考查了数学应用意识和实践能力，考查了分析问题和解决问题的能力.
设平均到每件产品的生产准备费用之和为，则，
当且仅当，即时，取得最小值.故选B.
本题难度为0.62
【试题9】(2011年文史类第6题) 执行如图所示的程序框图，
若输入A的值为2，则输出P的值为
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

【答案】C
【说明】执行过程为
,所以输出P的值为4.
本题难度为0.88

【试题10】(2012年文史类第7题) 某三棱锥的三视图如图所示，
该三棱锥的表面积是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【说明】本题主要考查三视图及阅读能力，在从三视图还原直观图的过程中考查考生空间想象能力、逻辑推理和计算能力.
根据题目条件，三棱锥P-ABC的直观图如右图所示，其中△PCA和Rt△ACB的面积都是.
在Rt△PP’A,Rt△PP’C中分别求得PA=,.
因此Rt△PCB的面积为，等腰△ACP中底边PA上的
高CM=.
在Rt△BCM中，.
由于Rt△ACB与Rt△PCB全等，故AB=PB,于是等腰△PBA面积为.
故三棱锥表面积为.故选B.
本题难度为0.65

【试题11】(2006年文史类第5题)已知是上的增函数，那么的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】D
【说明】本题以分段定义函数为载体，考查函数单调性的概念以及一次函数及对数函数的性质.
函数在内为增函数的条件是.函数在内为减函数的条件是.要使是上的增函数，还应有.由上可解得.
本题难度为0.68

【试题12】(2006年文史类第8题)图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口、、的机动车辆数如图所示，图中、、分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则
A. B.
C. D.
【答案】C
【说明】本题是一道以环岛交通流量为背景的应用题，主要考查方程的思想和不等式的性质，对阅读理解能力以及在新颖的情境中选择和建立适当的数学模型的能力等都有一定要求.
依题意，可有，于是可得.
本题难度为0.47

【试题13】(2009年文史类第8题)设是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，

若集合，则集合表示的平面区域是
A．三角形区域 B．四边形区域
C．五边形区域 D．六边形区域
【答案】D
【说明】本题主要考查数形结合的思想方法，考查综合应用所学知识选择有效的方法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究，创造性地解决问题的能力.
如图，作线段的中垂线，则在直线的下方(包括线上)的点满足.同样，作、的中垂线，得到集合表示的平面区域是如图的六边形区域.
本题难度为0.32

二、填空题：把答案填在题中横线上.
【试题14】(2008年测试题改编)口袋中有形状大小都相同的4只小球，其中有2只红球2只黄球，从中依次不放回地随机摸出2只球，那么2只都是黄球的概率为 ；2只球颜色不同的概率为
【答案】
【说明】本题主要考查随机事件的概率及性质，考查古典概型的概率求解方法.
由于基本事件的总数为12，2只都是黄球的事件包含的基本事件的个数为2，2只球颜色不同的事件包含的基本事件的个数为8，因此2只都是黄球的概率为；2只球颜色不同的概率为
【试题15】(2006年文史类第13题)在中，、、的对边分别为、、，若，则 ，的大小是
【答案】
【说明】本题主要考查正弦定理、余弦定理.
由正弦定理得，由余弦定理得，所以.
本题难度为0.66

【试题16】(2013年文史类第11题) 若等比数列满足，则公比=__________;前项=_____.

【答案】2，
【说明】本题主要考查等比数列的通项公式和前项和公式.由于=2，
，所以，.
本题难度为0.77

【试题17】(2012年文史类第13题) 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为 ；的最大值为 .

【答案】 1 1
【说明】本题主要考查平面向量的概念和运算.记与的夹角为θ.则
,,
当，即E与B重合时，达到最大值1.
本题也可以运用向量的几何意义来考虑，由于为向量在单位向量方向上的投影，为向量在单位向量方向上的投影.因此，=1，的最大值为1.
A E B
D C
θ

本题难度为0.52
【试题18】(2008年文史类第13题)如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ；函数在处的导数
【答案】
【说明】本题主要考查函数的概念和导数的几何意义.
根据函数的图像可知，，因此.
由导数的几何意义可知为函数的图像在处的切线斜率 直线的斜率，所以.
本题难度为0.59

【试题19】(2006年文史类第14题)已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于 ,最大值等于 .
【答案】
【说明】本题主要考查线性规划等基础知识.依题意，作出满足约束条件的平面区域，为如图所示的及其内部，、、，分别求、、，并比较大小可得结论.
本题难度为0.54

【试题20】(2007年文史类第13题)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于
【答案】
【说明】本题主要考查三角恒等变换、求值等基础知识.
设直角三角形的短边长为，则由已知条件可得，解得，从而，.
本题难度为0.46
O P A x
C B
y
【试题21】】(2010年文史类第14题) 14如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动｡设顶点p(x,y)的纵坐标与横坐标的函数关系是,则的最小正周期为__________;在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为__________｡
说明:“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动｡
沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,
再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续,类似地,正方形PABC可以沿着x轴
负方向滚动｡

【答案】4，
【说明】本题主要考查了函数的周期、图象、零点以及图形的面积等内容，考查学生的阅读能力、观察分析能力、图形直观能力等数学素质和学习潜能，考查学生对周期的本质理解的水平等.
由题意可以画出函数在一个周期内的图象，由图象可知，的最小正周期为4.
在其两个相邻零点间的图象与轴所围成的面积是.
本题难度为0.24

三、解答题：解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
【试题22】(2009年文史类第15题)已知函数.
⑴求的最小正周期；
⑵求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（Ⅰ）∵，
∴函数的最小正周期为.
（Ⅱ）由，∴，
∴在区间上的最大值为1，最小值为.
【说明】本题主要考查三角函数的图像及性质，考查诱导公式、二倍角的正弦公式、函数的周期及最大值最小值.
本大题难度为0.65
【试题23】(2012年文史类第16题) 如图1，在Rt△ABC中，
∠C=90°，D,E分别是AC，AB上的中点，
点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，
使A1F⊥CD，如图2.
（1）求证：DE∥平面A1CB;
（2）求证：A1F⊥BE;
（3）线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？说明理由.
【答案】（1）因为D,E分别为AC,AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE平面A1CB,所以DE∥平面A1CB.
（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F 平面A1DC,
所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD,所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE
（3）线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，
分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC.
又因为DE∥BC,所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.
由（2）知DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C 的中点，
所以A1C⊥DP,所以A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.

【说明】本题主要考查直线与直线、直线与平面平行、垂直的位置关系.要求文科考生能清晰分辨图形折叠前后线面的对应关系，证明逻辑清楚，推理严密.考查空间想象能力、逻辑思维能力.
本大题难度为0.55
【试题24】(2011年文史类第16题)甲组 乙组
9 9 0 X 8 9
1 1 1 0
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树，乙组记录中有数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树为19的概率。
（注：方差，其中为的平均数）
答案】（Ⅰ）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10，
所以平均数为，
方差为
（Ⅱ）记甲组四名同学为，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；
乙组四名同学为，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.
分别从甲、乙两组随机选取一名同学，所有可能的结果又16个，它们是：，，，，，，，，，，，，，，，
用C表示“选取的两名同学的植树总棵树为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是，，，。故所求概率为.
【说明】本题涉及茎叶图、样本的平均数、样本方差、古典概率模型下概率的计算，考查学生综合运用统计和概率的知识解决问题的能力.
本大题难度为0.83

【试题25】(2012年文史类第17题).近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60

（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，其中，.当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值.
（注：方差，其中为的平均数）
【答案】（1）厨余垃圾投放正确的概率约为
=
（2）设生活垃圾投放错误为事件A,则事件表示生活垃圾投放正确。
事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P()约为。所以P(A)约为1－0.7=0.3．
（3）当，时，取得最大值.因为，
所以．

【说明】本题考查的是概率统计的相关知识，要求考生能正确理解分类的含义，会判断总体，能理解方差刻画的是数据的离散程度，反映的是数据分布的一种规律，如果方程越大，就表明数据分布越离散，如果方差越小，就说明数据分布越集中.
本大题难度为0.64
【试题25】(2011年文史类第18题) 已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求在区间上的最小值.
【答案】（Ⅰ），令，得.
当时，与的情况如下：

－
0
＋

所以，的单调递减区间是；单调递增区间是 .
（Ⅱ）当，即时，函数在上单调递增。所以在区间上的最小值.
当，即时，由（Ⅰ）知函数在上单调递减，函数在上单调递增.所以在区间上的最小值;
当，即时，函数在区间上单调递减，所以在区间上的最小值为.
【说明】本题主要考查了导数运算、导数符号与函数单调性的关系、函数最值等基本内容；考查了考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力，以及分类讨论的思想.
本大题难度为0.50
【试题27】(2011年文史类第19题) 已知椭圆G:的离心率为，右焦点为。斜率为1的直线与椭圆G交于A,B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求面积.
【答案】（Ⅰ）由已知得，，解得，又，所以椭圆方程为.
（Ⅱ）设直线的方程为，
由，得 ①
设A、B两点的坐标分别为，,AB的中点为，则
，.
因为AB是等腰三角形的底边，所以,
所以PE的斜率，解得.
此时方程①为，解得，所以.
此时，点P(-3,2)到直线AB：x-y+2=0的距离为,
所以面积为.
【说明】本题主要考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查了椭圆的离心率、点到直线的距离、三角形的面积等内容.考查学生的推理论证能力和抽象概括能力，考查了数形结合、函数与方程等数学思想.
本题难度为0.43
【试题28】(2013年文史类第20题) 给定数列.对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，.
（Ⅰ）设数列为3，4，7，1，写出，，的值;
（Ⅱ）设（）是公比大于1的等比数列，且.证明：
，，…，是等比数列；
（Ⅲ）设，，…，是公差大于0的等差数列，且，证明：，，…，是等差数列.

【答案】解：（I）.
（II）因为，公比，所以是递增数列.
因此，对，，.
于是对，.
因此且（），即，，…，是等比数列.
（III）设为，，…，的公差.
对，因为，，所以=.
又因为，所以.
从而是递增数列，因此（）.
又因为，所以.
因此. 所以.
所以=.
因此对都有，即，，…，是等差数列.
【说明】本题依托数列的形式考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、推理论证能力，以及面对新的情景创造性解决问题的能力.
本大题难度为0.14