浙江省杭州市2013届高考数学第一次教学质量检测试题-理-新人教A版.doc

2013年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题详细解析
一、选择题：
1．若复数，其中是虚数单位，则复数的模为( )
A. B. C. D. 2
2．设R，则“”是“直线与直线平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3．设函数，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
4．设等差数列的前项和是，若(N*,且)，则必定有( )
A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且
开始

否

n＝3n+1
n为偶数

k＝k＋1
结束
n＝5，k＝0
是
输出k
n =1?
否
是
5．若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( )
A. B.
C. D.

6．设函数的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数a的值为( )
A. B. 或 C. D. 或
7．设双曲线的左,右焦点分别为,过的直线交双曲线左支于两点,则的最小值为( )
A. B. C D. 16
8．已知集合，集合，若，则实数可以取的一个值是( )
A. B. C. D.
9．设函数，则函数的零点的个数为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

10．设等差数列满足：，公差. 若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：
11．二项式的展开式中第四项的系数为 ．
12．从中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是 (用数字回答)．
13．无穷数列 的首项是，随后两项都是，接下来项都是，再接下来项都是，…，以此类推.记该数列为，若，，则 ．
y
(0,7)

(7,0)
O
x

14．若正数满足，则的最小值为 ．
15．在△ABC中,角A,B,C的对边分别a,b,c,若.则直线被圆 所截得的弦长为 ．
16．若整数满足不等式组,
则的最大值为 ．

(第17题)

O
A
B
C

17．如图,在扇形OAB中,,C为弧AB上的一个动点.若，则的取值范围是 ．
三、解答题：
18．(本题满分14分)设
(Ⅰ)求的最大值及最小正周期；
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,锐角A满足,，求的值.
19．(本题满分14分)已知甲箱中只放有x个红球与y个白球且，乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其它区别). 若甲箱从中任取2个球， 从乙箱中任取1个球.
(Ⅰ)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P，求当P取得最大值时的值；
(Ⅱ)当时，求取出的3个球中红球个数的期望.
20．(本题满分14分)已知数列满足,其中N*.
(Ⅰ)设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；
(Ⅱ)设，数列的前项和为,是否存在正整数,使得对于N*恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.
21．(本题满分15分)已知椭圆C：的离心率为，右焦点到直线 的距离为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)若直线 与椭圆C交于A、B两点，且线段AB中点恰好在直线上，求△OAB的面积S的最大值.(其中O为坐标原点).
22．(本题满分15分)已知函数
(Ⅰ)当时，求函数的极小值；
(Ⅱ)当时，过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求实数的值；
(Ⅲ)设定义在上的函数在点处的切线方程为当时，若在内恒成立，则称为函数的“转点”．当时，试问函数是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明理由．

【参考答案】
1.B【解析】由题意，得：
复数的模
2.C【解析】由题意，，即充分。
又，注意到此时不重合，即必要。
3.D【解析】由题意，，即为偶函数。
故. 显然单调递增。
所以
4.C【解析】由题意，得：。
显然，易得，
5.B【解析】由题意，得：

当时，执行最后一次循环；
当时，循环终止，这是关键。输出。
6.D【解析】由题意，分或两种情况：
（1）时，，此时在上单调递减
故
（2）时，，此时在上单调递增
故

7.B【解析】由题意，得：

显然，AB最短即通径，，故

8.A【解析】、

不难分析，A、B分别表示两个圆，要满足，即两圆内切或内含。
故圆心距，即：
.
显然，，故只有(A)项满足。

9.C【解析】由题意，的零点，即的交点。
易绘的函数图象，且
当时，
依次类推，易得
又, 同理，

(4, 0)

x
y
(2, 0)
O
(6, 0)
(8, 0)
不难绘出的函数图象如右，显然零点共6个，其中左边1个，右边5个。

10.B【解析】先化简：

又当且仅当时，数列的前项和取得最大值，即：

11. 【解析】第四项，系数为
12.【解析】考虑三位数“没0”和“有0”两种情况。
　 　 【1】没0：2必填个位，种填法；
【2】有0：0填个位，种填法；0填十位，2必填个位，种填法；
所以，偶数的个数一共有++=10种填法。

13. 【解析】将分组成。
第组有个数，第组有个数，以此类推...
显然在第组，在第组。
易知，前20组共个数.
所以，。
14. 【解析】由题意：，

15. 【解析】由题意：设弦长为
圆心到直线的距离

16. 【解析】由题意，绘出可行性区域如下：
设，即求的截距的最大值。
因为，不妨找出附近的“整点”。
有(3, 3)、(3, 4)满足. 显然过(3, 4)时，最大.
17．【解析】方法（一）：特殊点代入法。
C与A重合时，，此时；
C与B重合时，，此时.
注意到，C从B点运动至A点时，x逐渐变大，y逐渐变小。
显然，一开始x趋于0，而y趋于，
故的范围受y的影响较大。
故猜想，

方法（二）：设扇形的半径为
考虑到C为弧AB上的一个动点，. 显然
两边平方：
消：，显然
得：，
故.
不妨令
，
所以在上单调递减,，得。
18.【解析】（I）
故的最大值为，最小正周期为.
(II)由得，
故，
又由，解得。
再由，
.
19.【解析】(I)由题意知，
当且仅当时等号成立，
所以，当取得最大值时.
(II)当时，即甲箱中有个红球与个白球，
所以的所有可能取值为
则，
，

,
，
所以红球个数的分布列为

于是.
20.【解析】（I）证明
，
所以数列是等差数列，，因此
，
由得.
(II),,
所以，
依题意要使对于恒成立，只需
解得或，所以的最小值为.

21.【解析】 (I)由题意得，，
所以，所求椭圆方程为.
(II)设，把直线代入椭圆方程得到
，
因此，，
所以中点，
又在直线上，得，
，
故，，
所以，
原点到的距离为，
得到，
当且仅当取到等号，检验成立.
22.【解析】(I)当时，，
当时，，
当时，
当时.
所以当时，取到极小值。
(II)，
所以切线的斜率
整理得,
显然是这个方程的解，
又因为在上是增函数，
所以方程有唯一实数解，故.
(III)当时，函数在其图象上一点处的切线方程为
，
设，则，

若，在上单调递减，
所以当时，此时；
若时，在上单调递减，
所以当时，，
此时，
所以在上不存在“转点”.
若时，即在上是增函数，
当时，，
当时，，
即点为“转点”，
故函数存在“转点”，且是“转点”的横坐标.

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