浙江省杭州市重点高中2013届高考数学4月命题比赛参赛试题20.doc

浙江省杭州市重点高中2013届高考数学4月命题比赛参赛试题20

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.
参考公式：
如果事件互斥，那么 棱柱的体积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高
棱锥的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高
棱台的体积公式
球的表面积公式
一、 其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积，
球的体积公式 表示棱台的高
其中表示球的半径
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集U＝R，集合，则＝
A． B． C． D．R

2．两个非零向量，的夹角为，则“”是“为锐角”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
开始
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．右图是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为
否
A． B．
输出
是
C． D．
结束

（根据温州二月卷改编）4．已知函数，，则下列结论中正确的是
A．函数的最小正周期为
B．函数的最大值为2
C．将函数的图象向右平移单位后得的图象
D．将函数的图象向左平移单位后得的图象
5．已知等比数列前n项和为，则下列一定成立的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
（根据浙江六校卷改编）6．若实数满足约束条件，目标函数有最小值6，则的值可以为
A．3 B． C．1 D．
7．已知函数R)，则下列错误的是
A．若，则在R上单调递减
B．若在R上单调递减，则
C．若，则在R上只有1个零点
D．若在R上只有1个零点，则
8．现准备将7台型号相同的健身设备全部分配给5个不同的社区，其中甲、乙两个社区每个社区至少2台，其它社区允许1台也没有，则不同的分配方案共有
A．27种 B．35种 C．29种 D．125种
（根据丽水调研卷改编）9．已知点P是双曲线C：左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，且=0，PF2与两条渐近线相交于M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是
（第9题）
A． B．2 C． D．

10．在平行四边形中，，点是线　　段上任一点（不包含点），沿直线将△翻折成△，使在平面上的射影落在直线上，则的最小值是
A． B． C．2 D．

8
8
8
8
4
（第12题）图
正视图
侧视图
俯视图
非选择题部分（共100分）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．已知复数满足（i为虚数单位），则
复数　　▲　　．
12．已知几何体的三视图如右图所示，则
该几何体的体积为　　▲　　．
13．已知等差数列的前项和为，且，
则　　▲　　．
（根据绍兴调研卷改编）14．展开式中含项的系数为　　▲　　．
15．函数的单调递减区间是　　▲　　．
（根据台州卷改编）16．在中，若，，则的最小值是
▲
（根据台州阶段性测试卷改编）17．平面直角坐标系中，过原点O的直线与曲线e交于不同的A，B两点，分别过点A，B作轴的平行线，与曲线交于点C，D，则直线CD的斜率是　　▲　　．

三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（本小题满分14分）
在中，角所对的边分别为，已知，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）设函数，求在上的值域．

（根据嘉兴阶段性测试卷改编）19．（本小题满分14分）
袋中有九张卡片，其中绿色四张，标号分别为0，1，2，3；黄色卡片三张，标号分别为0，1，2；黑色卡片两张，标号分别为0，1．现从以上九张卡片中任取（无放回，且每张卡片取到的机会均等）两张．
（Ⅰ）求颜色不同且卡片标号之和等于3的概率；
Q
P
A
B
C
（Ⅱ）记所取出的两张卡片标号之积为，求的分布列及期望．

（根据龙泉阶段性测试卷改编）20．（本小题满分15分）
如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于所在平面，且PA=AB=AC.
（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；
（Ⅱ）若，求二面角Q-PB-A的余弦值.

（根据温州阶段测试卷改编）21．（本小题满分15分）
已知椭圆的中心在原点，离心率，右焦点为．
⑴求椭圆的方程；
⑵设椭圆的上顶点为，在椭圆上是否存在点，使得向量与共线？若存在，求直线的方程；若不存在，简要说明理由．

22．（本小题满分15分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求在点处的切线方程；
（Ⅱ）若对于任意的，恒有成立，求的取值范围．
2013年高考模拟试卷数学参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
D
C
A
D
B
A
A
二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）
11．；12．；13．0；14．0；15．；16．；17．e．
三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（Ⅰ）∵，由正弦定理得，即 （3分）
∴或（舍去），，则 （6分）
（Ⅱ）
（10分）
∵，则 （12分）
而正弦函数在上单调递增，在上单调递减
∴函数的最小值为，最大值为，
即函数在上的值域为． （14分）
19．(Ⅰ)从九张卡片中取出两张所有可能情况有种
颜色不同且标号之和为3的情况有6种
∴ （5分）
(Ⅱ)

0
1
2
3
4
6

（14分）

20．方法一：
解：（I）证明：过点作于点，
∵平面⊥平面 ∴平面
又∵⊥平面
∴∥ 又∵平面
∴∥平面……6分
（Ⅱ）∵平面
∴ 又∵
∴ ∴
∴点是的中点，连结，则
∴平面 ∴∥，
∴四边形是矩形 ……8分
设
∴， ∴
过作于点，
∴，
取中点，连结，取的中点，连结
∵， ∴∥
∵ ∴ ∴
∴为二面角的平面角……12分
连结，则 又∵
∴
即二面角的余弦值为……14分
方法二:
I）同方法一 ……………………………………6分
（Ⅱ）∵平面
∴，又∵
∴ ∴
∴点是的中点，连结，则
∴平面 ∴∥，
∴四边形是矩形 ……………………8分
分别以为轴建立空间直角坐标系
设，则，，，
设平面的法向量为
∵，
∴
又∵平面的法向量为 ……12分
设二面角为，则

又∵二面角是钝角
∴ ………………………………14分

21．解：⑴设椭圆的方程为， 1分
椭圆的离心率，右焦点为，
，3分
，
， 5分
故椭圆的方程为． 6分
⑵假设椭圆上是存在点（），使得向量与共线， 7分
，，
，即，（1） 8分
又点（）在椭圆上， (2) 9分
由⑴、⑵组成方程组解得，或， 11分
，或， 13分
当点的坐标为时，直线的方程为，
当点的坐标为时，直线的方程为，
故直线的方程为或． 15分

22．（Ⅰ）当时，
∴ ∴ （2分）
∵
∴在点处的切线方程为：． （4分）
（Ⅱ）∵ ∴
令，则
∴在上递增 （6分）
∵，当时， ∴存在，使，且在上递减，在上递增 （8分）
∵ ∴，即 （10分）
∵对于任意的，恒有成立
∴ ∴
∴ ∴ ∴
∵ ∴
令，而，当时，
∴存在，使
∵在上递增，∴
∴ （13分）
∵在上递增 ∴
∴ ∴． （15分）

2013年高考模拟试卷数学答题卷
一、 选择题（每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项

二、 填空题（每小题4分，共28分）

11 12 13 14

15 16 17

三、 解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.（14分）在中，角所对的边分别为，已知，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）设函数，求在上的值域．

19（14分）袋中有九张卡片，其中红色四张，标号分别为0，1，2，3；黄色卡片三张，标号分别为0，1，2；白色卡片两张，标号分别为0，1．现从以上九张卡片中任取（无放回，且每张卡片取到的机会均等）两张．
（Ⅰ）求颜色不同且卡片标号之和等于3的概率；
（Ⅱ）记所取出的两张卡片标号之积为，求的分布列及期望．

20.（14分）如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于所在平面，且PA=AB=AC.
（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；
Q
P
A
B
C
（Ⅱ）若，求二面角Q-PB-A的余弦值.

21.（15分）已知椭圆的中心在原点，离心率，右焦点为．
⑴求椭圆的方程；
⑵设椭圆的上顶点为，在椭圆上是否存在点，使得向量与共线？若存在，求直线的方程；若不存在，简要说明理由．

22.（15分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求在点处的切线方程；
（Ⅱ）若对于任意的，恒有成立，求的取值范围．

12