带电粒子 的运动.doc

带电粒子在电磁场中的运动
类型一、带电粒子在电场中的运动
1：如图所示，两平行金属板A、B长8cm，两板间距离d=8cm，A板比B板电势高300V，一带正电的粒子电荷量q=10-10C，质量m=10-20kg，沿电场中心线RO垂直电场线飞入电场，初速度υ0=2×106m/s，粒子飞出平行板电场后经过界面MN、PS间的无电场区域后，进入固定在O点的点电荷Q形成的电场区域，（设界面PS右边点电荷的电场分布不受界面的影响），已知两界面MN、PS相距为12cm，D是中心线RO与界面PS的交点，O点在中心线上，距离界面PS为9cm，粒子穿过界面PS作匀速圆周运动，最后垂直打在放置于中心线上的荧光屏bc上．（静电力常数k=9.0×109N•m2/C2，粒子的重力不计）
（1）求粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离多远？到达PS界面时离D点多远？
（2）在图上粗略画出粒子运动的轨迹．
（3）确定点电荷Q的电性并求其电荷量的大小．
（1）粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离（侧向位移）：
y＝at2 a＝＝，a l＝v0t
y===0．03m=3cm （3分）
带电粒子在离开电场后将做匀速直线运动，其轨迹与PS线交于a，设a到中心线的距离为Y． L/(1/2L+L)=y/Y 　Y=4y=12cm （3分）
（2）第一段是抛物线、第二段必须是直线、第三段是圆．（3分）画对一段给1分
（3）带电粒子到达a处时，带电粒子的水平速度：υx=υ0=2×106m/s （1分））
竖直速度： 所以 υy=at=1．5×160m/s，（1分））
v合=2.5×106m/s （1分）
该带电粒子在穿过界面PS后将绕点电荷Q作匀速圆周运动．所以Q带负电（1分）．根据几何关系：半径cm  （2分）
（1分）  Q=1．04×10-8C cm （2分））

16．（12分）示波器是一种多功能教学仪器，可以在荧光屏上显示出被检测的电压波形。它的工作原理等效成下列情况：如图甲所示，真空室中电极K发出电子（初速不计），经过电压为U1的加速电场后，由小孔S沿水平金属板A．B间的中心线射入板中。板长L，相距为d，在两板间加上如图乙所示的正弦交变电压，前半个周期内B板的电势高于A板的电势，电场全部集中在两板之间，且分布均匀。在每个电子通过极板的极短时间内，电场视作恒定的。在两极板右侧且与极板右侧相距D处有一个与两板中心线垂直的荧光屏，中心线正好与屏上坐标原点相交。当第一个电子到达坐标原点O时，使屏以速度v沿－x方向运动，每经过一定的时间后，在一个极短时间内它又跳回初始位置（可忽略不计），然后重新做同样的匀速运动。已知电子的质量为m，电荷量e，不计电子的重力，求：
（1）电子进入AB板时的初速度。
（2）要使所有的电子都能打在荧光屏上，图乙中电压的最大值U0需满足什么条件？
（3）要使荧光屏上始终显示一个完整的波形，荧光屏必须每隔多长时间回到初始位置？计算这个波形的峰值和长度。

16．解析：（1）设电子进入AB板时的初速度为
则由动能定理有 　解得 　　　
（2）电子在垂直于电场方向做匀速直线运动，运动时间 　　　　③
设电子在电场方向做匀加速直线运动的位移 　④
要使所有的电子都能打在荧光屏上 　　　⑤
由以上各式解得 　　⑥
（3）要使荧光屏上始终显示一个完整的波形，荧光屏运动的周期应该与交变电压相同，所以，荧光屏必须每隔时间T回到初始位置。电压为峰值时荧光屏上的波形出现峰值Y。波形为正弦曲线。
该波形的峰值 　　⑦
解得Y＝ 　　　　　⑧
所以该波形的长度S＝vT　　⑨
类型二：带电粒子在匀强磁场中的运动
2.图（a）所示的xOy平面处于匀强磁场中，磁场方向与xOy平面（纸面）垂直，磁感应强度B随时间t变化的周期为T，变化图线如图（b）所示。当B为+B0时，磁感应强度方向指向纸外。在坐标原点O有一带正电的粒子P，其电荷量与质量之比恰好等于2π/(TB0)。不计重力。设P在某时刻t0以某一初速度沿y轴正向自O点开始运动，将它经过时间T到达的点记为A。
（1）若t0=0，则直线OA与x轴的夹角是多少？
（2） 若t0=T/4，则直线OA与x轴的夹角时多少？
（3）为了使直线OA与x轴的夹角为π/4，在0半径为r，则 解得
(2)粒子在磁场中运动的周期
在磁场中运动的时间 而解得
(3)设粒子从CD边飞出磁场的最小半径为r1，对应最小速度为v1，则

解得
设粒子能从D点飞出磁场，对应的半径为r2，速度为v2，圆心角为α，则
解得α=60°
由几何关系可知，粒子能从D点飞出磁场，且飞出时速度方向沿AD方向
由于解得所以速度大小应满足的条件
4．两屏幕荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别去垂直于两屏交线的直线为x和y轴，交点O为原点，如图所示。在y>0，00，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点出有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q>0）的粒子沿x周经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值。已知速度最大的粒子在0a的区域中运动的时间之比为2︰5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响
解：对于y轴上的光屏亮线范围的临界条件如图1所示：带电粒子的轨迹和x=a相切，此时r=a，y轴上的最高点为y=2r=2a ;
对于 x轴上光屏亮线范围的临界条件如图2所示：左边界的极限情况还是和x=a相切，此刻，带电粒子在右边的轨迹是个圆，由几何知识得到在x轴上的坐标为x=2a;速度最大的粒子是如图2中的实线，又两段圆弧组成，圆心分别是c和c’ 由对称性得到 c’在 x轴上，设在左右两部分磁场中运动时间分别为t1和t2,满足
解得 由数学关系得到：
代入数据得到： 所以在x 轴上的范围是
5．（19分）如图所示，在正三角区域abc内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场。在t=0时刻，有一位于ab边中点o的粒子源在abc平面内发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与ob边的夹角分布在0~180°范围内。已知沿ob方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界bc上的p点离开磁场，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正三角形的高L，粒子重力不计，求：
（1）粒子的比荷q/m；
（2）假设粒子源发射的粒子在0~180°范围内均匀分布，t=t0时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源同时发射的总粒子数之比；
（3）从t=0时刻发射粒子到全部粒子离开磁场所用的时间。

6（全国I卷第26题）如图1所示，在0≤≤区域内存在与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在时刻，一位于坐标原点的粒子源在平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0～180°范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在时刻刚好从磁场边界上点离开磁场。求：
(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷；
(2)此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与轴正方向夹角的取值范围；
(3)从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。
【解析】(1)具体思路是做出从P点离开磁场的带电粒子的运动轨迹，如图2所示，由几何关系求出半径，对应的圆心角为，周期，在由周期得，也容易得弦OP与y轴正方向夹角为60°。
(2)下面重点分析此问，由于带电粒子的初速度大小相同，可见半径R相同，做出从不同方向射出的粒子的运动轨迹，其动态圆如图3所示的。结合带电粒子在磁场中做匀速圆周速度的特点，可知同一时刻仍在磁场内的粒子到O点距离相同。在时刻仍在磁场内的粒子应位于以O点为圆心、OP为半径的圆弧上，如图4所示。设此时位于P、M、N三点的粒子初速度分别为、、。由几何关系可知，与OP、与OM、与ON的夹角均为60°，故所求答案为60°～120°。
(3)由上面的分析也易得在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切，如图5所示，由几何关系可知OP=OM=MF，运动轨迹对应的圆心角为240°，故所求答案为。
类型三：带电粒子在分离的电场和磁场中的运动
7.在如图所示，x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于纸面向里，大小为B，x轴下方有一匀强电场，电场强度的大小为E，方向与y轴的夹角θ为45°且斜向上方。现有一质量为m、电量为q的正离子，以速度v0由y轴上的A点沿y轴正方向射入磁场，该离子在磁场中运动一段时间后从x轴上的C点进入电场区域，该离子经C点时的速度方向与x轴夹角为45°. 不计离子的重力，设磁场区域和电场区域足够大．求：
（1）C点的坐标；
（2）离子从A点出发到第三次穿越x轴时的运动时间；
（3）离子第四次穿越x轴时速度的大小及速度方向与电场方向的夹角.

8.（16分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向里的有界圆形匀强磁场区域（图中未画出）；在第二象限内存在沿轴负方向的匀强电场.一粒子源固定在x轴上的A点，A点坐标为（-L，0）。.粒子源沿y轴正方向释放出速度大小为v的电子，电子恰好能通过y轴上的C点，C点坐标为（0,2L），电子经过磁场偏转后方向恰好垂直于x轴射入第四象限.（电子的质量间的相互作用.）电子质量为m电量为e。求：
（1）第二象限内电场强度E的大小；
（2）电子离开电场时的速度方向与y轴正方向的夹角θ；
（3）圆形磁场的最小半径Rmin.
解题指导：对于带电粒子在匀强电场中的运动运用类平抛运动规律解答。带电粒子进入匀强磁场中，洛伦兹力提供向心力，结合相关知识列方程解答。
解：（1）从A到C的过程中，电子做类平抛运动有，
电子的加速度a=eE/m，
L =at2/2
2L=vt， 联立解得E=。
（2）设电子到达C点的速度大小为vC，方向与y轴正方向的夹角为θ。由动能定理，有：
mvC2-mv2= eEL
解得vC=2v。 cosθ=v/vC=0.5，
电子离开电场时的速度方向与y轴正方向的夹角θ=60°。
（3）电子运动轨迹如图所示。由公式qvCB=m，
解得电子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径r=2mv/eB。
电子在磁场中偏转120°后垂直于x轴射出，由三角形知识得磁场最小半径：
Rmin=PQ/2=rsinθ=rsin60°，
联立解得：Rmin=mv/eB。
9.如图所示，真空有一个半径r=0.5m的圆形磁场,与坐标原点相切,磁场的磁感应强度大小B=2×10-３T,方向垂直于纸面向里,在x=r处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽度为L1=0.5m的匀强电场区域，电场强度E=1.5×10３N/C.在x=2m处有一垂直x方向的足够长的荧光屏，从O点处向不同方向发射出速率相同的荷质比=1×109C/kg带正电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内，一个速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场与电场的相切处进入电场。不计重力及阻力的作用。求：
（1）粒子进入电场时的速度和粒子在磁场中的运动的时间？
（2）速度方向与y轴正方向成30°（如图中所示射入磁场的粒子，最后打到荧光屏上，该发光点的位置坐标。
（3）求荧光屏上出现发光点的范围
解析：（1）由题意可知：粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R=r=0.5m，
有Bqv=，可得粒子进入电场时的速度v=
在磁场中运动的时间t1=
（2）粒子在磁场中转过120°角后从P点垂直电场线进入电场，如图所示，
在电场中的加速度大小a=
粒子穿出电场时vy=at2=）
tanα=
在磁场中y1=1.5r=1.5×0.5=0.75m
在电场中侧移y2=
飞出电场后粒子做匀速直线运动y3=L2tanα=(2-0.5-0.5)×0.75=0.75m
故y=y1+y2+y3=0.75m+0.1875m+0.75m=1.6875m 则该发光点的坐标(2 ，1.6875)

图甲
10. 如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一四象限有磁场，方向垂直于Oxy平面向里。位于极板左侧的粒子源沿x轴向右连接发射质量为m、电量为＋q、速度相同、重力不计的带电粒子。在0~3t0时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极板边缘的影响）。已知t = 0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时刻经极板边缘射入磁场。上述m、q、l、l0、B为已知量。（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）（1）求电压U的大小。（2）求 t0时进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径。（3）何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间。
图乙

【解析】（1）t=o时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，t0时刻刚好从极板边缘射出，在y轴负方向偏移的距离为l/2，则有
①
Eq=ma ② l/2=at02/2 ③
联立以上三式，解得两极板间偏转电压为④。
（2）t0/2时刻进入两极板的带电粒子，前t0/2时间在电场中偏转后t0/2时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动。
带电粒子沿x轴方向的分速度大小为v0=l/t0 ⑤
带电粒子离开电场时沿y轴负方向的分速度大小为 ⑥
带电粒子离开电场时的速度大小为 ⑦
设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R，则有 ⑧
联立③⑤⑥⑦⑧式解得 ⑨。
（3）2t0时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短。带电粒子离开磁场时沿y轴正方向的分速度为 ⑩，
设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为，则，
联立③⑤⑩式解得，带电粒子在磁场运动的轨迹图如图所示，圆弧所对的圆心角为，所求最短时间为,带电粒子在磁场中运动的周期为，联立以上两式解得。
11、如图a所示，水平直线MN下方有竖直向上的匀强电场，现将一重力不计、比荷的正电荷置于电场中的O点由静止释放，经过后，电荷以v0=1．5×l04m／s的速度通过MN进入其上方的匀强磁场，磁场与纸面垂直，磁感应强度B按图b所示规律周期性变化（图b中磁场以垂直纸面向外为正，以电荷第一次通过MN时为t=0时刻）。求：
（1）匀强电场的电场强度E
（2）图b中时刻电荷与O点的水平距离
（3）如果在O点右方d= 68cm处有一垂直于MN的足够大的挡板，求电荷从O点出发运动到挡板所需的时间。（，）

1、解：⑴电荷在电场中做匀加速直线运动，设其在电场中运动的时间为，有
                  解得：           （3分）
⑵当磁场垂直纸面向外时，电荷运动的半径：            
周期    （2分）
当磁场垂直纸面向里时，电荷运动的半径：           
周期    （2分）
故电荷从t=0时刻开始做周期性运动，其运动轨迹如图所示。
时刻电荷与O点的水平距离：Δd==4cm  （2分）
⑶电荷从第一次通过MN开始，其运动的周期为：  
根据电荷的运动情况可知，电荷到达档板前运动的完整周期数为15个，有：
电荷沿ON运动的距离：s=15Δd=60cm  （1分）
故最后8cm的距离如图所示，有：                   
解得：   则         （3分）
故电荷运动的总时间：（3分）
12.如图所示，在直角坐标系的原点O处有一放射源，向四周均匀发射速度大小相等、方向都平行于纸面的带电粒子。在放射源右边有一很薄的挡板，挡板与xoy平面交线的两端M、N与原点O正好构成等腰直角三角形。已知带电粒子的质量为m，带电量为q，速度为υ，MN的长度为L。
（1）若在y轴右侧加一平行于x轴的匀强电场，要使y轴右侧所有运动的粒子都能打到挡板MN上，则电场强度E0的最小值为多大？在电场强度为E0时，打到板上的粒子动能为多大?
（2）若在整个空间加一方向垂直纸面向里的匀强磁场，要使板右侧的MN连线上都有粒子打到，磁场的磁感应强度不能超过多少(用m、υ、q、L表示)?若满足此条件，放射源O向外发射出的所有带电粒子中有几分之几能打在板的左边?

解：⑴由题意知，要使y轴右侧所有运动粒子都能打在 MN板上，其临界条件为：沿y轴方向运动的粒子作类平抛运动，且落在M或N点。
M O′=L=υt ①
a= ②
υ1
υ2
x
y
O
M
N
Ｏ′
OO′=L =at2 ③
解①②③式得 E0= ④
由动能定理知qE0×L =Ek－ ⑤
解④⑤式得Ek= ⑥
⑵由题意知，要使板右侧的MN连线上都有粒子打到，粒子轨迹直径的最小值为MN板的长度L。
υ1
υ2
x
y
O
M
N
O1
O2
R0=L= B0= ⑧
放射源O发射出的粒子中，打在MN板上的粒子的临界径迹如图所示。
∵OM=ON，且OM⊥ON
∴OO1⊥OO2
∴υ1⊥υ2
∴放射源O放射出的所有粒子中只有打在MN板的左侧。

B
E
a
c
S
d
N
b
37°
13.如图所示，真空室内存在宽度为d=8cm的匀强磁场区域，磁感应强度B=0.332T，磁场方向垂直于纸面向里；ab、cd足够长，cd为厚度不计的金箔，金箔右侧有一匀强电场区域，电场强度E=3.32×105 N/C，方向与金箔成37°角。紧挨边界ab放一点状粒子放射源S，可沿纸面向各个方向均匀放射初速率相同的粒子，已知：mα =6.64×10-27Kg,qα=3.2×10-19C,初速率v=3.2×106 m/s . （sin37°=0.6,cos37°=0.8）求：
（1） 粒子在磁场中作圆周运动的轨道半径R；
（2） 金箔cd被 粒子射中区域的长度L；
（3） 设打在金箔上d端离cd中心最远的粒子沿直线穿出金箔进入电场，在电场中运动通过N点，SN⊥ab且SN=40cm,则此粒子从金箔上穿出时，损失的动能为多少？
解：（1）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，即 （2分）
则 （2分）
（2）设cd中心为O，向c端偏转的粒子，当圆周轨迹与cd相切时偏离O最远，
设切点为P，对应圆心O1，如图所示，则由几何关系得：
（3分）
向d端偏转的粒子，当沿Sb方向射入时，偏离O最远，设此时圆周轨迹与cd交于Q点，对应圆心O2，如图所示，则由几何关系得： （3分）
故金箔cd被粒子射中区域的长度L= （1分）
（3）设从Q点穿出的粒子的速度为，因半径O2Q∥场强E，则⊥E，故穿出的粒子在电场中做类平抛运动，轨迹如图所示。 （1分）
沿速度方向做匀速直线运动,Q
O1
P
B
E
a
c
S
d
N
b
37°
M
O
位移， （1分）
沿场强E方向做匀加速直线运动，
位移，（1分）
A
则由（1分）（1分）
O2
（1分）得： （1分）
故此粒子从金箔上穿出时，损失的动能为 （2分）
14.坐标原点O处有一放射源，它向xOy平面内的x轴下方各个方向发射速度大小都是v0的粒子，粒子的质量为m、电量为q；在0向里的匀强磁场，磁感应强度B=，ab为一块很大的平面感光板，在磁场内平行于x轴放置，如图所示。测得进入磁场的a粒子的速率均为2v0，观察发现此时恰好无粒子打到ab板上。（粒子的重力忽略不计）
(1)求电场强度的大小；
(2)求感光板到x轴的距离；
(3)磁感应强度为多大时所有粒子均能打到板上？并求出此时ab板上被粒子打中的区域的长度。
解：（1）根据动能定理： ------ (2分)
由于 可得： 场强大小为 ------ (1分)
（2）对于沿x轴负方向射出的粒子进入磁场时与x轴负方向夹角 ------ (1分)
其在电场中沿x方向的位移 ------ (2分)
v0

x

y

a

b

O

B

E

d

易知若此粒子不能打到ab板上，则所有粒子均不能打到ab板，因此此粒子轨迹必与ab板相切 ------ (2分)
根据洛伦兹力提供向心力------(1分)
可得其圆周运动的半径 ------ (2分)
------ (1分)

v0

y

a

b

O

x

（3）易知沿x轴正方向射出的粒子若能打到ab板上，则所有粒子均能打到板上。其临界情况就是此粒子轨迹恰好与ab板相切。可知此时 ------ (1分)
------ (1分)
磁感应强度为原来的，即当恰好所有粒子均能打到板上 ------ (1分)
ab板上被打中区域的长度 ------ (3分
15.如图甲所示，两平行金属板间接有如图乙所示的随时间t变化的交流电压金属板间电场可看做均匀两板外无电场，板长L=0.2m，板间距离d=0，Im.在金属板右侧有一左边界为MN的区域足够大的匀强磁场，MN与两板中线OO’垂直，磁感应强度B=5×103T，方向垂直纸面向里。现有带正电的粒子流沿两板中线OO’连续射入电场中，已知每个粒子的速度v0=105m/s，比荷，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视为恒定不变。求：
（1）垂直边界MN进入磁场的带电粒子在磁场中运动的轨道半径；
（2）为了使射入电场的带电粒子全部进入磁场，交变电压的最大值um和粒子进入磁场的最大速度；
（3）所有进入磁场的带电粒子经磁场偏转后从边界MN上哪个范围离开磁场的。

解：（1）带电粒子垂直边界MN进入磁场时，：=0.2m
（2）带电粒子恰好从极板边缘射出电场时，偏转电压应为um： ；；，um=25V
带电粒子刚好从极板边缘射出电场时速度最大，设最大速度为vm，由动能定理m/s
（3）设粒子进入磁场时速度方向与OO'的夹角为θ则任意时刻粒子进入磁场的速度大小（2分）粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，设带电粒子从磁场中飞出的位置与进入磁场的位置之间的距离为l，=0.4m（2分）由上式可知，射出电场的任何一个带电粒子，进入磁场时的入射点与射出磁场时的出射点间距离为定值，l与θ无关，与所加电压值无关。（2分）考虑粒子在电场中向上（设沿M方向为向上）或向下两种偏转可能，设粒子离开磁场时在点的上方且距离点为Y的位置，则：当粒子在两板间受到向上电场力作用时，Y的范围为0.40m~0.45m当粒子在两板间受到向下电场力作用时，Y的范围为0.35m~0.40m所以粒子在边界MN上距点上方0.35m~0.45m范围内离开磁场的。
A
C
B
O
16．如图有一腰长为L的等腰直角三角形ABC内有方向竖直向上的匀强电场，让质量为m，电量为-q（q>0）的粒子以v0速度大小，从AC边中点O沿平行AB方向向右射入匀强电场，粒子恰好从B点射出。
（1）求匀强电场场强E的大小。
（2）若撤去电场，在三角形ABC内加方向垂直纸面向里的匀强磁场B,当质量为m，电量为-q（q>0）的粒子，从AC边中点O以垂直AC边方向射入匀强磁场，粒子恰好垂直AB边射出，求此粒子射入磁场的速度v1的大小。
（3）让大量粒子保持（2）问中速度v1的大小，从AC边中点O以不同方向射入三角形ABC内的匀强磁场B中，求粒子在匀强磁场中运动的最长时间tm，粒子在匀强磁场中经过区域的最大面积Sm.
7．（18分）如图，直线MN上方有平行于纸面且与MN成45的有界匀强电场，电场强度大小未知；MN下方为方向垂直于纸面向里的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B．今从MN上的O点向磁场中射入一个速度大小为v、方向与MN成45角的带正电粒子，该粒子在磁场中运动时的轨道半径为R．该粒子从O点出发记为第一次经过直线MN，第五次经过直线MN时恰好又通过O点．不计粒子的重力．
（1）画出粒子在磁场和电场中运动轨迹的草图；
（2）求出电场强度E的大小；
（3）求该粒子再次从O点进入磁场后，运动轨道的半径r；
（4）求该粒子从O点出发到再次回到O点所需的时间t．

解析：（1）粒子的运动轨迹如图。（3分）

（2）由几何关系得…………（1分）
粒子从c到o做类平抛运动，且在垂直、平行电场方向上的位移相等，都为//=……（1分）
类平抛运动时间为…………………（1分）
又s//……………………………（1分）
又……………………………（1分）
联立得……………（1分）
（3）粒子在电场中的加速度为…
粒子第五次过MN进入磁场后的速度（1分）
则第五次过MN进入磁场后的圆弧半径…………………（1分）
（4）粒子在磁场中运动的总时间为………（1分）
粒子做直线运动所需时间为………（1分）
联立得粒子从出发到第五次到达O点所需时间

8. （18分）如图所示，两块平行金属极板MN水平放置，板长L=1 m，间距d= m，两金属板间电压UMN=1×104 V；在平行金属板右侧依次存在ABC和FGH两个全等的正三角形区域，正三角形ABC内存在垂直纸面向里的匀强磁场B1，三角形的上顶点A与上金属板M平齐，BC边与金属板平行，AB边的中点P恰好在下金属板N的右端点；正三角形FGH内存在垂直纸面向外的匀强磁场B2，已知A、F、G处于同一直线上，B、C、H也处于同一直线上，AF两点距离为 m。现从平行金属极板MN左端沿中心轴线方向入射一个重力不计的带电粒子，粒子质量m=3×10-10 kg，带电量q=+1×10-4 C，初速度v0=1×105 m/s。

（1） 求带电粒子从电场中射出时的速度v的大小和方向
（2） 若带电粒子进入中间三角形区域后垂直打在AC边上，求该区域的磁感应强度B1
（3） 若要使带电粒子由FH边界进入FGH区域并能再次回到FH界面，求B2应满足的条件

解析：（1） 设带电粒子在电场中做类平抛运动时间t，加速度a =ma……（1分）
故a==×1010 m/s2……………………………………………………（1分）
t==1×10-5 s
竖直方向的速度为vy=at×105 m/s……………………………………（1分）
射出时的速度为v==×105 m/s……………………………（1分）
速度v与水平方向夹角为θ，tanθ==，故θ=30°即垂直于AB方向出射………………………………………………………………………………（2分）
（2） 带电粒子出电场时竖直方向偏转的位移y=at2=m=即粒子由P1点垂直AB射入磁场，由几何关系知在磁场ABC区域内做圆周运动的半径为R1== m………………………………………………（3分）
由B1qv=m知：B1==T……………………………（3分）
（3） 分析知当轨迹与边界GH相切时，对应磁感应强度B2最大，运动轨迹如图所示：

由几何关系可知R2+=1…………………………………（3分）
故半径R2=m………………………………………………………（1分）
又B2qv=m
故B2=T………………………………………………………………（2分）
所以B2应满足的条件为大于T
25．（18分）如图所示，在正方形区域abcd内充满方向垂
直纸面向里的、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在t=0
时刻，一位于ad边中点O的粒子源在abcd平面内发射出
大量的同种带电粒子。所有粒子的初速度大小相同，方向
与Od边的夹角分布在0到180°范围内。已知沿Od方向发
射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界cd上的P点离开磁场，
粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形边长L．不
计粒子重力及粒子间的相互作用。求：
（1）粒子的比荷q／m；
（2）最后离开磁场的粒子在磁场里速度的偏转角（用该角度的三角函数值表示）：
（3）假设粒子源发射的粒子在0—180°范围内按角度均匀分布，在t0时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比。

25.(18分)如图所示，在坐标系xOy第二象限内有一圆形匀强磁场区域(图中未画出)，磁场方向垂直xOy平面．在x轴上有坐标(－2l0,0)的P点，三个电子a、b、c以相等大小的速度沿不同方向从P点同时射入磁场区，其中电子b射入方向为＋y方向，a、c在P点速度与b速度方向夹角都是θ＝.电子经过磁场偏转后都垂直于y轴进入第一象限，电子b通过y轴Q点的坐标为y＝l0，a、c到达y轴时间差是t0.在第一象限内有场强大小为E，沿x轴正方向的匀强电场．已知电子质量为m、电荷量为e，不计重力．求：
(1) 电子在磁场中运动轨道半径和磁场的磁感应强度B.
(2) 电子在电场中运动离y轴的最远距离x.
(3) 三个电子离开电场后再次经过某一点，求该点的坐标和先后到达的时间差Δt.
25. (18分)(1) 三电子轨迹如图．

由图可知，R＝l0(2分)
设a、c到达y轴时间差为t0，其中它们离开磁场后到达y轴时间是相等的，在磁场区中a转过30°圆心角，时间ta＝，c转过150°圆心角，时间tc＝，
t0＝tb－ta＝＝(2分)
B0＝(2分)
(2) 电子在磁场中运动ev0B0＝(2分)
v0＝＝(1分)
在电场中－eEx1＝0－mv(2分)
得x1＝(2分)
(3) 电子离开电场再次返回磁场轨迹如图，坐标x＝－2l0，y＝2l0，(2分)

由运动的对称性可知，
a、c同时到达，与b比较磁场中运动时间都是半个周期，电场中运动时间也都相等，所以时间差为在非场区
Δt＝2
Δt＝＝(3分)
b先到达．
评分参考：第一问（1）6分 第二问（2）7分 第三问 （3）5分分具体赋分见题中分配。

类型四:带电粒子在叠加场中的运动
18分）如图所示，两平行金属板AB中间有互相垂直的匀强电场和匀强磁场。A板带正电荷，B板带等量负电荷，电场强度为E；磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B1。平行金属板右侧有一挡板M，中间有小孔O′，OO′是平行于两金属板的中心线。挡板右侧有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场应强度为B2。CD为磁场B2边界上的一绝缘板，它与M板的夹角θ=45°，O′C=a，现有大量质量均为m，含有各种不同电荷量、不同速度的带电粒子（不计重力），自O点沿OO′方向进入电磁场区域，其中有些粒子沿直线OO′方向运动，并进入匀强磁场B2中，求：
（1）进入匀强磁场B2的带电粒子的速度；
（2）能击中绝缘板CD的粒子中，所带电荷量的最大值；
（3）绝缘板CD上被带电粒子击中区域的长度。

解：（18分）（1）沿直线OO′运动的带电粒子，
设进入匀强磁场B2的带电粒子的速度为v
根据 qvB1=qE -----------------------（3分）
解得： v= ------------------------（1分）
(2) 粒子进入匀强磁场B2中，做匀速圆周运动，
根据 qvB2=m --------------------（2分）
解得：q = ---------------------------（1分）
因此，电荷量最大的带电粒子，运动的半径最小。
设最小半径为r1，此粒子运动轨迹与CD板相切，则有：
r1 + r1= a
解得：r1=（-1）a -------------------------------（3分）
电荷量的最大值
q=(+1） ---------------------------------（3分）
(3)带负电的粒子在磁场B2中向上偏转，某带负电粒子轨迹与CD相切，设半径为r2，依题意
r2+a= r2
解得：r2=(+1）a -------------------------------（3分）
则CD板上被带电粒子击中区域的长度为
X= r2- r1=2a -2分）
24、（18分）有人设计了一种带电颗粒的速率分选装置，其原理如题24图所示，两带电金属板间有匀强电场，方向竖直向上，其中PQNM矩形区域内还有方向垂直纸面向外的匀强磁场。一束比荷（电荷量与质量之比）均为的带正电颗粒，以不同的速率沿着磁场区域的水平中心线O’O进入两金属板之间，其中速率为的颗粒刚好从Q点处离开磁场，然后做匀速直线运动到达收集板。重力加速度为g，，收集板与NQ的距离为，不计颗粒间相互作用。求
（1）电场强度E的大小；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）速率为的颗粒打在收集板上的位置到O点的距离。

24.（18分）
（1）设带电颗粒的电荷量为q，质量为m，有

将代入，得
（2）如答24图1，有

得

答24图1 答24图1
（3）如答24图2所示，有

得
24.(20分)如图所示，两块水平放置、相距为d的长金属板接在电压可调的电源上。两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。将喷墨打印机的喷口靠近上板下表面，从喷口连续不断喷出质量均为m、水平速度均为v0、带相等电荷量的墨滴。调节电源电压至U, 墨滴在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动；进入电场、磁场共存区域后，最终垂直打在下板的M点。
（1）判段墨滴所带电荷的种类，并求其电荷量；
（2）求磁感应强度B的值；
（3）现保持喷口方向不变，使其竖直下移到两板中间的位置。为了使墨滴仍能到达下板M点，应将磁感应强度 调至B’,则B’的大小为多少？