直角坐标系解决立体几何问题.docx

在立体几何中引入向量之前，求角与距离是一个难点，在新课标中，从向量的角度来研究空间的点、线、面的关系，我们只要通过两个向量的数量积运算、运用向量的模、平面的法向量就可以解决常见的角与距离的问题。而且，运用向量来解题思路简单、步骤清楚，对学生来说轻松了很多。
重点：用空间向量数量积及夹角公式求异面直线所成角。
难点：建立恰当的空间直角坐标系
关键：几何问题转换为代数问题及正确写出空间向量的坐标。
Ⅰ、空间直角坐标系的建立
x
y
o
. M
x
y
o
. M
平面直角坐标系
空间直角坐标系
z

空间向量的数量积公式（两种形式）、夹角公式和空间向量的数量积的几何性质。(用媒体分步显示下列内容)
1． 向量的数量积公式（包括向量的夹角公式）:
若与的夹角为θ(0≤θ≤π),且={x1,y1,z1},={x2,y2,z2},则
⑴ ·=||||cosθ 或 ·= x1x2+y1y2+z1z2
⑵若与非零向量 cosθ = =
2． 向量的数量积的几何性质:
⑴两个非零向量与垂直的充要条件是·=0
⑵两个非零向量与平行的充要条件是·=±||||
利用空间向量知识求异面直线所成角的一般步骤：
（1）根据图形建立合理的空间直角坐标系；
（2）确定关键点的坐标；
D1
（3）求空间向量的夹角；
（4）得出异面直线的所成角。

用向量解决角的问题
①两条异面直线、间夹角
在直线上取两点A、B，在直线上取两点C、D，若直线与的夹角为，则。
注意,由于两向量的夹角范围为,而异面直线所成角的范围为，若两向量夹角为钝角,转化到异面直线夹角时为180°
例1：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=6,
求异面直线DA1与AC1的所成角；

D

C

A

B

分析：在此题的解答中，设计如下问题贯穿整个过程以期共同解高。
问题1：此题在立体几何中我们应该如何解决？
（异面直线平移相交，求相交直线的交角）
问题2：利用空间向量求解，对几何体如何处理？
求向量DA1与AC1的数量积，当然应先建立空间直角坐标系）
问题3：如何建立空间直角坐标系？并说明理由。
（以DA为X轴，以DC为Y轴，以DD1为Z轴）
问题4：建立空间直角坐标系后，各相关点的坐标是多少？
（请学生个别回答）
例2．直棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面是边长
为4的菱形,且∠DAB=60°，AA1=6，AC与BC
交于E，A1C1与B1D1交于E1，
（1）求：DA1与AC1的所成角；

（2）若F是AE1的中点，
求：B1E与FD1的所成角；

②直线与平面所成的角（如图）
图1－2
图1－1
图1－3
可转化成用向量与平面的法向量的夹角表示，由向量平移得：若时（图）；若时（图）.

x
y
z
A
B
C
C1
A1
B1
G
D
E
平面的法向量是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.由可知，要求得法向量，只需在平面上找出两个不共线向量、，最后通过解方程组得到.
例4、 在直三棱柱中，底面是等腰直角
三角形，，侧棱，、分别是
与的中点，点在平面上的射影是的重
心，求直线与平面所成角正弦值.

例8.三棱柱，平面平面，，且，，求：二面角的余弦值大小.

x
y
z
A
B
O
A1
B1
O1
H1
H

例9. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，SA=，AB=BC=1，AD=。求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值大小。
A
z
y
x
D
C
B
S

用向量解决距离问题
①两点间距离
由可算出；
若，则由数量积得，
若已知两点坐标，则可直接用两点间距离公式.
②点到直线的距离
过点作直线的垂线，垂足为，则由且点共线得，解出点后再求。

例1、直角坐标系中的三点，，，求点到直线的距离。
解：过作，垂足为

设，∵
∴，则点坐标为

∴，又∵，
∴，，∴，
③异面直线、的距离
可先设、的公垂线段（、），再由垂直向量性质得，从而得到、的坐标，最后算出所求.
B
C
D
A
B1
C1
D1
A1
y
x
z
E
F
例2、正方体的边长为，求异面直线、的距离？

分析：从正方体条件得，运用坐标向量的方法较好.
建立直角坐标系，设是所求的公垂线，令、
，则、的坐标为，
同理，再由、，算得
、，最后算出、.
这个方法不但能求出直线上的点的坐标，也能求出空间向量的表示式，是向量运用中常用的一个小技巧.
④点到平面的距离
E
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
y
x
z
先设平面的斜线为，再求的法向量，运用向量平移，不难得到推论“等于在法向量上的射影的绝对值”，即，最后由此算出所求距离.
例3、正四棱柱，，
，是的中点，求点到平面的距离.
分析：如图建立直角坐标系，得各点坐标，
设平面的法向量为，
由，得；令，得法向量
∴在上的投影为，∴点到平面的距离为.
此类题目，是在立体几何学习中的必须解决的重点题和难题，传统的解题方法很多，也很复杂。运用平面法向量的知识，能直接算出所求距离，避免繁复的逻辑推理。
④两平行平面之间的距离
由平行平面间的距离定义知道，平面上任意一点A到的距离就是到的距离，因此，我们也可把到的距离转化为A到的距离，运用求点与面距离的方法来求。
1、(2011年高考陕西卷理科16)（本小题满分12分）
如图：在
，沿把折起，
使（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）设。
2、(2011年高考北京卷理科16)（本小题共14分）
如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.
(Ⅰ)求证：平面
（Ⅱ）若求与所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长.

3、(2011年高考全国新课标卷理科18) (本小题满分12分)
如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四
边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
分析：（1）要证明线线垂直只要证明线面垂直或者用向量去证明；（2）求二面角的余弦只需建立适当的坐标系，有空间向量来完成。