2024年广东省中考数学模拟试卷（含解析版）.pdf

第 1 页（共 36 页）2024 年广东省中考数学试卷以及答案年广东省中考数学试卷以及答案一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分）1（3 分）5 的相反数是（）A15B5C15D52（3 分）“一带一路”倡议提出三年以来，广东企业到“一带一路”国家投资越来越活跃，据商务部门发布的数据显示，2016 年广东省对沿线国家的实际投资额超过 4000000000 美元，将 4000000000 用科学记数法表示为（）A0.4109B0.41010C4109D410103（3 分）已知A=70，则A 的补角为（）A110B70 C30 D204（3 分）如果 2 是方程 x23x+k=0 的一个根，则常数 k 的值为（）A1B2C1 D25（3 分）在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的平分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（）A95B90C85D806（3 分）下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A等边三角形 B平行四边形 C正五边形D圆7（3 分）如图，在同一平面直角坐标系中，直线 y=k1x（k10）与双曲线 y=2（k20）相交于 A，B 两点，已知点 A 的坐标为（1，2），则点 B 的坐标为（）第 2 页（共 36 页）A（1，2）B（2，1）C（1，1）D（2，2）8（3 分）下列运算正确的是（）Aa+2a=3a2Ba3a2=a5C（a4）2=a6Da4+a2=a49（3 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，DA=DC，CBE=50，则DAC 的大小为（）A130B100C65 D5010（3 分）如图，已知正方形 ABCD，点 E 是 BC 边的中点，DE 与 AC 相交于点F，连接 BF，下列结论：SABF=SADF；SCDF=4SCEF；SADF=2SCEF；SADF=2SCDF，其中正确的是（）ABCD第 3 页（共 36 页）二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分）11（4 分）分解因式：a2+a=12（4 分）一个 n 边形的内角和是 720，则 n=13（4 分）已知实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则 a+b 0（填“”，“”或“=”）14（4 分）在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为偶数的概率是 15（4 分）已知 4a+3b=1，则整式 8a+6b3 的值为 16（4 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片 ABCD 沿过点 A 的直线折叠，使点 D 落在边 AB 上的点 E 处，折痕为 AF；再按图（3）操作，沿过点 F 的直线折叠，使点 C 落在 EF 上的点 H 处，折痕为 FG，则 A、H 两点间的距离为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分）17（6 分）计算：|7|（1）0+（13）1第 4 页（共 36 页）18（6 分）先化简，再求值：（1 2+1 2）（x24），其中 x=519（6 分）学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书若男生每人整理 30 本，女生每人整理 20 本，共能整理 680 本；若男生每人整理 50 本，女生每人整理 40 本，共能整理 1240 本求男生、女生志愿者各有多少人？第 5 页（共 36 页）四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 7 分，共分，共 21 分）分）20（7 分）如图，在ABC 中，AB（1）作边 AB 的垂直平分线 DE，与 AB，BC 分别相交于点 D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接 AE，若B=50，求AEC 的度数21（7 分）如图所示，已知四边形 ABCD，ADEF 都是菱形，BAD=FAD，BAD 为锐角（1）求证：ADBF；（2）若 BF=BC，求ADC 的度数第 6 页（共 36 页）22（7 分）某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，请根据图标信息回答下列问题：体重频数分布表组边体重（千克）人数A45x5012B50 x55mC55x6080D60 x6540E65x7016第 7 页（共 36 页）（1）填空：m=（直接写出结果）；在扇形统计图中，C 组所在扇形的圆心角的度数等于 度；（2）如果该校九年级有 1000 名学生，请估算九年级体重低于 60 千克的学生大约有多少人？五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 27 分）分）23（9 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+ax+b 交 x 轴于 A（1，0），B（3，0）两点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一点，直线 BP 与 y 轴相交第 8 页（共 36 页）于点 C（1）求抛物线 y=x2+ax+b 的解析式；（2）当点 P 是线段 BC 的中点时，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，求 sinOCB 的值24（9 分）如图，AB 是O 的直径，AB=4 3，点 E 为线段 OB 上一点（不与 O，B 重合），作 CEOB，交O 于点 C，垂足为点 E，作直径 CD，过点 C 的切线交DB 的延长线于点 P，AFPC 于点 F，连接 CB（1）求证：CB 是ECP 的平分线；（2）求证：CF=CE；（3）当=34时，求劣弧的长度（结果保留）第 9 页（共 36 页）25（9 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形 ABCO 是矩形，点A，C 的坐标分别是 A（0，2）和 C（2 3，0），点 D 是对角线 AC 上一动点（不与 A，C 重合），连结 BD，作 DEDB，交 x 轴于点 E，以线段 DE，DB 为邻边作矩形 BDEF（1）填空：点 B 的坐标为 ；（2）是否存在这样的点 D，使得DEC 是等腰三角形？若存在，请求出 AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）求证：=33；设 AD=x，矩形 BDEF 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式（可利用的结论），并求出 y 的最小值第 10 页（共 36 页）2024 年广东省中考数学试卷年广东省中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分）1（3 分）（2017广东）5 的相反数是（）A15B5C15D5【考点】14：相反数菁优网版权所有【分析】根据相反数的概念解答即可【解答】解：根据相反数的定义有：5 的相反数是5故选：D【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 02（3 分）（2017广东）“一带一路”倡议提出三年以来，广东企业到“一带一路”国家投资越来越活跃，据商务部门发布的数据显示，2016 年广东省对沿线国家的实际投资额超过 4000000000 美元，将 4000000000 用科学记数法表示为（）A0.4109B0.41010C4109D41010【考点】1I：科学记数法表示较大的数菁优网版权所有【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值第 11 页（共 36 页）小于 1 时，n 是负数【解答】解：4000000000=4109故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3（3 分）（2017广东）已知A=70，则A 的补角为（）A110B70 C30 D20【考点】IL：余角和补角菁优网版权所有【专题】11：计算题；511：实数【分析】由A 的度数求出其补角即可【解答】解：A=70，A 的补角为 110，故选 A【点评】此题考查了余角与补角，熟练掌握补角的性质是解本题的关键4（3 分）（2017广东）如果 2 是方程 x23x+k=0 的一个根，则常数 k 的值为（）A1B2C1 D2【考点】A3：一元二次方程的解菁优网版权所有第 12 页（共 36 页）【分析】把 x=2 代入已知方程列出关于 k 的新方程，通过解方程来求 k 的值【解答】解：2 是一元二次方程 x23x+k=0 的一个根，2232+k=0，解得，k=2故选：B【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立5（3 分）（2017广东）在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的平分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（）A95B90C85D80【考点】W5：众数菁优网版权所有【分析】众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解【解答】解：数据 90 出现了两次，次数最多，所以这组数据的众数是 90故选 B【点评】考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个6（3 分）（2017广东）下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）第 13 页（共 36 页）A等边三角形 B平行四边形 C正五边形D圆【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形菁优网版权所有【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义对各选项进行判断【解答】解：等边三角形为轴对称图形；平行四边形为中心对称图形；正五边形为轴对称图形；圆既是轴对称图形又是中心对称图形故选 D【点评】本题考查了中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心也考查了轴对称图形7（3 分）（2017广东）如图，在同一平面直角坐标系中，直线 y=k1x（k10）与双曲线 y=2（k20）相交于 A，B 两点，已知点 A 的坐标为（1，2），则点 B的坐标为（）A（1，2）B（2，1）C（1，1）D（2，2）【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题菁优网版权所有【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称【解答】解：点 A 与 B 关于原点对称，第 14 页（共 36 页）B 点的坐标为（1，2）故选：A【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握8（3 分）（2017广东）下列运算正确的是（）Aa+2a=3a2Ba3a2=a5C（a4）2=a6Da4+a2=a4【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法菁优网版权所有【分析】根据整式的加法和幂的运算法则逐一判断即可【解答】解：A、a+2a=3a，此选项错误；B、a3a2=a5，此选项正确；C、（a4）2=a8，此选项错误；D、a4与 a2不是同类项，不能合并，此选项错误；故选：B【点评】本题主要考查幂的运算和整式的加法，掌握同类项的定义和同底数幂相乘、幂的乘方法则是解题的关键9（3 分）（2017广东）如图，四边形 ABCD 内接于O，DA=DC，CBE=50，则DAC 的大小为（）第 15 页（共 36 页）A130B100C65 D50【考点】M6：圆内接四边形的性质菁优网版权所有【分析】先根据补角的性质求出ABC 的度数，再由圆内接四边形的性质求出ADC 的度数，由等腰三角形的性质求得DAC 的度数【解答】解：CBE=50，ABC=180CBE=18050=130，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，D=180ABC=180130=50，DA=DC，DAC=180 2=65，故选 C【点评】本题考查的是圆周角定理及圆内接四边形的性质，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半10（3 分）（2017广东）如图，已知正方形 ABCD，点 E 是 BC 边的中点，DE 与AC 相交于点 F，连接 BF，下列结论：SABF=SADF；SCDF=4SCEF；SADF=2SCEF；SADF=2SCDF，其中正确的是（）第 16 页（共 36 页）ABCD【考点】LE：正方形的性质菁优网版权所有【分析】由AFDAFB，即可推出 SABF=SADF，故正确，由 BE=EC=12BC=12AD，ADEC，推出=12，可得 SCDF=2SCEF，SADF=4SCEF，SADF=2SCDF，故错误正确，由此即可判断【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，ADCB，AD=BC=AB，FAD=FAB，在AFD 和AFB 中，=，AFDAFB，SABF=SADF，故正确，BE=EC=12BC=12AD，ADEC，=12，SCDF=2SCEF，SADF=4SCEF，SADF=2SCDF，故错误正确，第 17 页（共 36 页）故选 C【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分）11（4 分）（2017广东）分解因式：a2+a=a（a+1）【考点】53：因式分解提公因式法菁优网版权所有【分析】直接提取公因式分解因式得出即可【解答】解：a2+a=a（a+1）故答案为：a（a+1）【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键12（4 分）（2017广东）一个 n 边形的内角和是 720，则 n=6【考点】L3：多边形内角与外角菁优网版权所有【分析】多边形的内角和可以表示成（n2）180，依此列方程可求解第 18 页（共 36 页）【解答】解：设所求正 n 边形边数为 n，则（n2）180=720，解得 n=6【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理13（4 分）（2017广东）已知实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则a+b0（填“”，“”或“=”）【考点】2A：实数大小比较；29：实数与数轴菁优网版权所有【分析】首先根据数轴判断出 a、b 的符号和二者绝对值的大小，根据“异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”来解答即可【解答】解：a 在原点左边，b 在原点右边，a0b，a 离开原点的距离比 b 离开原点的距离小，|a|b|，a+b0故答案为：【点评】本题考查了实数与数轴，有理数的加法法则，根据数轴得出 a、b 的符号和二者绝对值的大小关系是解题的关键第 19 页（共 36 页）14（4 分）（2017广东）在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为偶数的概率是25【考点】X4：概率公式菁优网版权所有【分析】确定出偶数有 2 个，然后根据概率公式列式计算即可得解【解答】解：5 个小球中，标号为偶数的有 2、4 这 2 个，摸出的小球标号为偶数的概率是25，故答案为：25【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比15（4 分）（2017广东）已知 4a+3b=1，则整式 8a+6b3 的值为1【考点】33：代数式求值菁优网版权所有【分析】先求出 8a+6b 的值，然后整体代入进行计算即可得解【解答】解：4a+3b=1，8a+6b=2，8a+6b3=23=1；故答案为：1【点评】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键第 20 页（共 36 页）16（4 分）（2017广东）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片 ABCD 沿过点 A 的直线折叠，使点 D 落在边 AB 上的点 E 处，折痕为 AF；再按图（3）操作，沿过点 F 的直线折叠，使点 C 落在 EF 上的点 H处，折痕为 FG，则 A、H 两点间的距离为 10【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质菁优网版权所有【分析】如图 3 中，连接 AH由题意可知在 RtAEH 中，AE=AD=3，EH=EFHF=32=1，根据 AH=2+2，计算即可【解答】解：如图 3 中，连接 AH由题意可知在 RtAEH 中，AE=AD=3，EH=EFHF=32=1，AH=2+2=32+12=10，故答案为 10【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型第 21 页（共 36 页）三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分）17（6 分）（2017广东）计算：|7|（1）0+（13）1【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂菁优网版权所有【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和负整数指数幂的性质分别化简求出答案【解答】解：原式=71+3=9【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂的性质、绝对值等考点的运算18（6 分）（2017广东）先化简，再求值：（1 2+1 2）（x24），其中x=5【考点】6D：分式的化简求值菁优网版权所有【分析】先计算括号内分式的加法，再计算乘法即可化简原式，将 x 的值代入求解可得【解答】解：原式=2(2)(2)+2(2)(2)（x+2）（x2）=2(2)(2)（x+2）（x2）=2x，当 x=5时，原式=2 5第 22 页（共 36 页）【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是解题的关键19（6 分）（2017广东）学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书若男生每人整理 30 本，女生每人整理 20 本，共能整理 680 本；若男生每人整理50 本，女生每人整理 40 本，共能整理 1240 本求男生、女生志愿者各有多少人？【考点】9A：二元一次方程组的应用菁优网版权所有【分析】设男生志愿者有 x 人，女生志愿者有 y 人，根据“若男生每人整理 30 本，女生每人整理 20 本，共能整理 680 本；若男生每人整理 50 本，女生每人整理40 本，共能整理 1240 本”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论【解答】解：设男生志愿者有 x 人，女生志愿者有 y 人，根据题意得：30+20=68050+40=1240，解得：=12=16答：男生志愿者有 12 人，女生志愿者有 16 人【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 7 分，共分，共 21 分）分）20（7 分）（2017广东）如图，在ABC 中，AB（1）作边 AB 的垂直平分线 DE，与 AB，BC 分别相交于点 D，E（用尺规作图，第 23 页（共 36 页）保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接 AE，若B=50，求AEC 的度数【考点】N2：作图基本作图；KG：线段垂直平分线的性质菁优网版权所有【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）由于 DE 是 AB 的垂直平分线，得到 AE=BE，根据等腰三角形的性质得到EAB=B=50，由三角形的外角的性质即可得到结论【解答】解：（1）如图所示；（2）DE 是 AB 的垂直平分线，AE=BE，EAB=B=50，AEC=EAB+B=100【点评】本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键第 24 页（共 36 页）21（7 分）（2017广东）如图所示，已知四边形 ABCD，ADEF 都是菱形，BAD=FAD，BAD 为锐角（1）求证：ADBF；（2）若 BF=BC，求ADC 的度数【考点】L8：菱形的性质菁优网版权所有【分析】（1）连结 DB、DF 根据菱形四边相等得出 AB=AD=FA，再利用 SAS 证明BADFAD，得出 DB=DF，那么 D 在线段 BF 的垂直平分线上，又 AB=AF，即 A在线段 BF 的垂直平分线上，进而证明 ADBF；（2）设 ADBF 于 H，作 DGBC 于 G，证明 DG=12CD在直角CDG 中得出C=30，再根据平行线的性质即可求出ADC=180C=150【解答】（1）证明：如图，连结 DB、DF四边形 ABCD，ADEF 都是菱形，AB=BC=CD=DA，AD=DE=EF=FA在BAD 与FAD 中，=，BADFAD，第 25 页（共 36 页）DB=DF，D 在线段 BF 的垂直平分线上，AB=AF，A 在线段 BF 的垂直平分线上，AD 是线段 BF 的垂直平分线，ADBF；（2）如图，设 ADBF 于 H，作 DGBC 于 G，则四边形 BGDH 是矩形，DG=BH=12BFBF=BC，BC=CD，DG=12CD在直角CDG 中，CGD=90，DG=12CD，C=30，BCAD，ADC=180C=150第 26 页（共 36 页）【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，平行线的性质等知识，证明出 AD 是线段 BF 的垂直平分线是解题的关键22（7 分）（2017广东）某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，请根据图标信息回答下列问题：体重频数分布表组边体重（千克）人数A45x5012B50 x55mC55x6080D60 x6540E65x7016（1）填空：m=52（直接写出结果）；在扇形统计图中，C 组所在扇形的圆心角的度数等于144度；（2）如果该校九年级有 1000 名学生，请估算九年级体重低于 60 千克的学生大第 27 页（共 36 页）约有多少人？【考点】VB：扇形统计图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表菁优网版权所有【分析】（1）根据 D 组的人数及百分比进行计算即可得到 m 的值；根据 C组的百分比即可得到所在扇形的圆心角的度数；（2）根据体重低于 60 千克的学生的百分比乘上九年级学生总数，即可得到九年级体重低于 60 千克的学生数量【解答】解：（1）调查的人数为：4020%=200（人），m=20012804016=52；C 组所在扇形的圆心角的度数为80200360=144；故答案为：52，144；（2）九年级体重低于 60 千克的学生大约有12 52 802001000=720（人）【点评】本题主要考查了扇形统计图，用样本估计总体以及频数分布表的运用，从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系 各部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比360五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 27 分）分）23（9 分）（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+ax+b 交 x第 28 页（共 36 页）轴于 A（1，0），B（3，0）两点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP 与 y 轴相交于点 C（1）求抛物线 y=x2+ax+b 的解析式；（2）当点 P 是线段 BC 的中点时，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，求 sinOCB 的值【考点】HA：抛物线与 x 轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式；T7：解直角三角形菁优网版权所有【分析】（1）将点 A、B 代入抛物线 y=x2+ax+b，解得 a，b 可得解析式；（2）由 C 点横坐标为 0 可得 P 点横坐标，将 P 点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得 P 点坐标；（3）由 P 点的坐标可得 C 点坐标，A、B、C 的坐标，利用勾股定理可得 BC 长，利用 sinOCB=可得结果【解答】解：（1）将点 A、B 代入抛物线 y=x2+ax+b 可得，0=12+0=32+3+，解得，a=4，b=3，抛物线的解析式为：y=x2+4x3；第 29 页（共 36 页）（2）点 C 在 y 轴上，所以 C 点横坐标 x=0，点 P 是线段 BC 的中点，点 P 横坐标 xP=0 32=32，点 P 在抛物线 y=x2+4x3 上，yP=(32)2+4 323=34，点 P 的坐标为（32，34）；（3）点 P 的坐标为（32，34），点 P 是线段 BC 的中点，点 C 的纵坐标为 2340=32，点 C 的坐标为（0，32），BC=(32)2+32=3 52，sinOCB=33 52=2 55【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和解直角三角形，利用中点求得点 P 的坐标是解答此题的关键24（9 分）（2017广东）如图，AB 是O 的直径，AB=4 3，点 E 为线段 OB 上一点（不与 O，B 重合），作 CEOB，交O 于点 C，垂足为点 E，作直径 CD，第 30 页（共 36 页）过点 C 的切线交 DB 的延长线于点 P，AFPC 于点 F，连接 CB（1）求证：CB 是ECP 的平分线；（2）求证：CF=CE；（3）当=34时，求劣弧的长度（结果保留）【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M2：垂径定理；MC：切线的性质；MN：弧长的计算菁优网版权所有【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）欲证明 CF=CE，只要证明ACFACE 即可；（3）作 BMPF 于 M则 CE=CM=CF，设 CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出 BM，求出 tanBCM 的值即可解决问题；【解答】（1）证明：OC=OB，OCB=OBC，PF 是O 的切线，CEAB，OCP=CEB=90，PCB+OCB=90，BCE+OBC=90，BCE=BCP，第 31 页（共 36 页）BC 平分PCE（2）证明：连接 ACAB 是直径，ACB=90，BCP+ACF=90，ACE+BCE=90，BCP=BCE，ACF=ACE，F=AEC=90，AC=AC，ACFACE，CF=CE（3）解：作 BMPF 于 M则 CE=CM=CF，设 CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，BMCPMB，=，BM2=CMPM=3a2，BM=3a，tanBCM=33，BCM=30，OCB=OBC=BOC=60，第 32 页（共 36 页）的长=602 3180=2 33【点评】本题考查切线的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型25（9 分）（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形 ABCO是矩形，点 A，C 的坐标分别是 A（0，2）和 C（2 3，0），点 D 是对角线 AC 上一动点（不与 A，C 重合），连结 BD，作 DEDB，交 x 轴于点 E，以线段 DE，DB 为邻边作矩形 BDEF（1）填空：点 B 的坐标为（2 3，2）；（2）是否存在这样的点 D，使得DEC 是等腰三角形？若存在，请求出 AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）求证：=33；设 AD=x，矩形 BDEF 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式（可利用的结论），并求出 y 的最小值第 33 页（共 36 页）【考点】SO：相似形综合题菁优网版权所有【分析】（1）求出 AB、BC 的长即可解决问题；（2）存在连接 BE，取 BE 的中点 K，连接 DK、KC首先证明 B、D、E、C 四点共圆，可得DBC=DCE，EDC=EBC，由 tanACO=33，推出ACO=30，ACD=60由DEC 是等腰三角形，观察图象可知，只有 ED=EC，推出DBC=DCE=EDC=EBC=30，推出DBC=BCD=60，可得DBC 是等边三角形，推出 DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）由（2）可知，B、D、E、C 四点共圆，推出DBC=DCE=30，由此即可解决问题；作 DHAB 于 H想办法用 x 表示 BD、DE 的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）四边形 AOCB 是矩形，BC=OA=2，OC=AB=2 3，BCO=BAO=90，B（2 3，2）故答案为（2 3，2）（2）存在理由如下：连接 BE，取 BE 的中点 K，连接 DK、KC第 34 页（共 36 页）BDE=BCE=90，KD=KB=KE=KC，B、D、E、C 四点共圆，DBC=DCE，EDC=EBC，tanACO=33，ACO=30，ACB=60如图 1 中，DEC 是等腰三角形，观察图象可知，只有 ED=EC，DBC=DCE=EDC=EBC=30，DBC=BCD=60，DBC 是等边三角形，DC=BC=2，在 RtAOC 中，ACO=30，OA=2，AC=2AO=4，AD=ACCD=42=2当 AD=2 时，DEC 是等腰三角形如图 2 中，DCE 是等腰三角形，易知 CD=CE，DBC=DEC=CDE=15，第 35 页（共 36 页）ABD=ADB=75，AB=AD=2 3，综上所述，满足条件的 AD 的值为 2 或 2 3（3）由（2）可知，B、D、E、C 四点共圆，DBE=DCO=30，tanDBE=，=33如图 2 中，作 DHAB 于 H在 RtADH 中，AD=x，DAH=ACO=30，DH=12AD=12x，AH=2 2=32x，BH=2 332x，在 RtBDH 中，BD=2+2=(12)2+(2 3 32)2，第 36 页（共 36 页）DE=33BD=33(12)2+(2 3 32)2，矩形 BDEF 的面积为 y=33(12)2+(2 3 32)22=33（x26x+12），即 y=33x22 3x+4 3，y=33（x3）2+3，330，x=3 时，y 有最小值 3【点评】本题考查相似形综合题、四点共圆、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，证明 B、D、E、C 四点共圆，学会构建二次函数解决问题，属于中考压轴题