2024年河南省中考数学模拟试卷（含解析版）.pdf

第 1 页（共 31 页）2024 年河南省中考数学试卷2024 年河南省中考数学试卷一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）下列各数中比 1 大的数是（）A2B0C1 D32（3 分）2016 年，我国国内生产总值达到 74.4 万亿元，数据“74.4 万亿”用科学记数法表示（）A74.41012B7.441013C74.41013D7.4410153（3 分）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（）ABCD4（3 分）解分式方程2=，去分母得（）A12（x1）=3B12（x1）=3 C12x2=3D12x+2=35（3 分）八年级某同学 6 次数学小测验的成绩分别为：80 分，85 分，95 分，95 分，95 分，100 分，则该同学这 6 次成绩的众数和中位数分别是（）A95 分，95 分B95 分，90 分C90 分，95 分D95 分，85 分6（3 分）一元二次方程 2x25x2=0 的根的情况是（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根7（3 分）如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，添加下列条件不能判定ABCD 是菱形的只有（）AACBD BAB=BCCAC=BDD1=28（3 分）如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字1，0，1，2若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数第 2 页（共 31 页）字都是正数的概率为（）ABCD9（3 分）我们知道：四边形具有不稳定性如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB 的中点是坐标原点 O，固定点 A，B，把正方形沿箭头方向推，使点 D 落在 y 轴正半轴上点 D处，则点 C 的对应点 C的坐标为（）A（，1）B（2，1）C（1，）D（2，）10（3 分）如图，将半径为 2，圆心角为 120的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转60，点 O，B 的对应点分别为 O，B，连接 BB，则图中阴影部分的面积是（）AB2C2D4二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11（3 分）计算：23=12（3 分）不等式组的解集是 第 3 页（共 31 页）13（3 分）已知点 A（1，m），B（2，n）在反比例函数 y=的图象上，则 m与 n 的大小关系为 14（3 分）如图 1，点 P 从ABC 的顶点 B 出发，沿 BCA 匀速运动到点 A，图 2 是点 P 运动时，线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象，其中 M 为曲线部分的最低点，则ABC 的面积是 15（3 分）如图，在 RtABC 中，A=90，AB=AC，BC=+1，点 M，N 分别是边 BC，AB 上的动点，沿 MN 所在的直线折叠B，使点 B 的对应点 B始终落在边 AC 上，若MBC 为直角三角形，则 BM 的长为 三、解答题（本题共 8 个小题，满分 75 分）三、解答题（本题共 8 个小题，满分 75 分）16（8 分）先化简，再求值：（2x+y）2+（xy）（x+y）5x（xy），其中x=+1，y=1第 4 页（共 31 页）17（9 分）为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表 调查结果统计表组别分组（单位：元）人数A0 x304B30 x6016C60 x90aD90 x120bEx1202请根据以上图表，解答下列问题：（1）填空：这次被调查的同学共有 人，a+b=，m=；（2）求扇形统计图中扇形 C 的圆心角度数；（3）该校共有学生 1000 人，请估计每月零花钱的数额 x 在 60 x120 范围的人数18（9 分）如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 交 AC 边于点 D，过点 C 作 CFAB，与过点 B 的切线交于点 F，连接 BD（1）求证：BD=BF；（2）若 AB=10，CD=4，求 BC 的长第 5 页（共 31 页）19（9 分）如图所示，我国两艘海监船 A，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船 C，此时，B 船在 A 船的正南方向 5 海里处，A 船测得渔船 C 在其南偏东 45方向，B 船测得渔船 C 在其南偏东53方向，已知 A 船的航速为 30 海里/小时，B 船的航速为 25 海里/小时，问 C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53，cos53，tan53，1.41）20（9 分）如图，一次函数 y=x+b 与反比例函数 y=（x0）的图象交于点A（m，3）和 B（3，1）（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；（2）点 P 是线段 AB 上一点，过点 P 作 PDx 轴于点 D，连接 OP，若POD 的面积为 S，求 S 的取值范围第 6 页（共 31 页）21（10 分）学校“百变魔方”社团准备购买 A，B 两种魔方，已知购买 2 个 A种魔方和 6 个 B 种魔方共需 130 元，购买 3 个 A 种魔方和 4 个 B 种魔方所需款数相同（1）求这两种魔方的单价；（2）结合社员们的需求，社团决定购买 A，B 两种魔方共 100 个（其中 A 种魔方不超过 50 个）某商店有两种优惠活动，如图所示请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠第 7 页（共 31 页）22（10 分）如图 1，在 RtABC 中，A=90，AB=AC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AD=AE，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点（1）观察猜想 图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明 把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD，CE，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸 把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请直接写出PMN面积的最大值第 8 页（共 31 页）23（11 分）如图，直线 y=x+c 与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A，B（1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P，N点 M 在线段 OA 上运动，若以 B，P，N 为顶点的三角形与APM 相似，求点 M的坐标；点 M 在 x 轴上自由运动，若三个点 M，P，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称 M，P，N 三点为“共谐点”请直接写出使得 M，P，N 三点成为“共谐点”的 m 的值第 9 页（共 31 页）2024 年河南省中考数学试卷2024 年河南省中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）下列各数中比 1 大的数是（）A2B0C1 D3【分析】根据正数大于零、零大于负数，可得答案【解答】解：2013，故选：A【点评】本题考查了有理数大小比较，利用正数大于零、零大于负数是解题关键2（3 分）2016 年，我国国内生产总值达到 74.4 万亿元，数据“74.4 万亿”用科学记数法表示（）A74.41012B7.441013C74.41013D7.441015【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同 当原数绝对值1 时，n 是非负数；当原数的绝对值1时，n 是负数【解答】解：将 74.4 万亿用科学记数法表示为：7.441013故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3（3 分）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（）第 10 页（共 31 页）ABCD【分析】左视图是从左边看到的，据此求解【解答】解：从左视图可以发现：该几何体共有两列，正方体的个数分别为 2，1，D 不符合，故选 D【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解该几何体的构成，难度不大4（3 分）解分式方程2=，去分母得（）A12（x1）=3B12（x1）=3 C12x2=3D12x+2=3【分析】分式方程变形后，两边乘以最简公分母 x1 得到结果，即可作出判断【解答】解：分式方程整理得：2=，去分母得：12（x1）=3，故选 A【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验5（3 分）八年级某同学 6 次数学小测验的成绩分别为：80 分，85 分，95 分，95 分，95 分，100 分，则该同学这 6 次成绩的众数和中位数分别是（）A95 分，95 分B95 分，90 分C90 分，95 分D95 分，85 分【分析】将题目中的数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的众数和中位数，本题得以解决【解答】解：位于中间位置的两数分别是 95 分和 95 分，故中位数为 95 分，第 11 页（共 31 页）数据 95 出现了 3 次，最多，故这组数据的众数是 95 分，故选 A【点评】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一组数据的众数和中位数6（3 分）一元二次方程 2x25x2=0 的根的情况是（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况【解答】解：=（5）242（2）=410，方程有两个不相等的实数根故选 B【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根7（3 分）如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，添加下列条件不能判定ABCD 是菱形的只有（）AACBD BAB=BCCAC=BDD1=2【分析】根据平行四边形的性质菱形的判定方法即可一一判断【解答】解：A、正确对角线垂直的平行四边形的菱形B、正确邻边相等的平行四边形是菱形C、错误对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形D、正确可以证明平行四边形 ABCD 的邻边相等，即可判定是菱形故选 C第 12 页（共 31 页）【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法8（3 分）如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字1，0，1，2若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（）ABCD【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个数字都是正数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：画树状图得：共有 16 种等可能的结果，两个数字都是正数的有 4 种情况，两个数字都是正数的概率是：=故选：C【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比9（3 分）我们知道：四边形具有不稳定性如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB 的中点是坐标原点 O，固定点 A，B，第 13 页（共 31 页）把正方形沿箭头方向推，使点 D 落在 y 轴正半轴上点 D处，则点 C 的对应点 C的坐标为（）A（，1）B（2，1）C（1，）D（2，）【分析】由已知条件得到 AD=AD=2，AO=AB=1，根据勾股定理得到 OD=，于是得到结论【解答】解：AD=AD=2，AO=AB=1，OD=，CD=2，CDAB，C（2，），故选 D【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键10（3 分）如图，将半径为 2，圆心角为 120的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转60，点 O，B 的对应点分别为 O，B，连接 BB，则图中阴影部分的面积是（）AB2C2D4第 14 页（共 31 页）【分析】连接 OO，BO，根据旋转的性质得到OAO=60，推出OAO是等边三角形，得到AOO=60，推出OOB 是等边三角形，得到AOB=120，得到OBB=OBB=30，根据图形的面积公式即可得到结论【解答】解：连接 OO，BO，将半径为 2，圆心角为 120的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转 60，OAO=60，OAO是等边三角形，AOO=60，AOB=120，OOB=60，OOB 是等边三角形，AOB=120，AOB=120，BOB=120，OBB=OBB=30，图中阴影部分的面积=SBOB（S扇形 OOBSOOB）=12（2）=2故选 C【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11（3 分）计算：23=6【分析】明确表示 4 的算术平方根，值为 2第 15 页（共 31 页）【解答】解：23=82=6，故答案为：6【点评】本题主要考查了算术平方根和有理数的乘方的定义，是一个基础题目，比较简单12（3 分）不等式组的解集是1x2【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式解集的公共部分【解答】解：解不等式得：x2，解不等式得：x1，不等式组的解集是1x2，故答案为1x2【点评】题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集13（3 分）已知点 A（1，m），B（2，n）在反比例函数 y=的图象上，则 m与 n 的大小关系为mn【分析】由反比例函数 y=可知函数的图象在第二、第四象限内，可以知道在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，根据这个判定则可【解答】解：反比例函数 y=中 k=20，此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，012，A、B 两点均在第四象限，mn故答案为 mn【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比第 16 页（共 31 页）例函数图象所在的象限是解答此题的关键14（3 分）如图 1，点 P 从ABC 的顶点 B 出发，沿 BCA 匀速运动到点 A，图 2 是点 P 运动时，线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象，其中 M 为曲线部分的最低点，则ABC 的面积是12【分析】根据图象可知点 P 在 BC 上运动时，此时 BP 不断增大，而从 C 向 A 运动时，BP 先变小后变大，从而可求出 BC 与 AC 的长度【解答】解：根据图象可知点 P 在 BC 上运动时，此时 BP 不断增大，由图象可知：点 P 从 B 向 C 运动时，BP 的最大值为 5，即 BC=5，由于 M 是曲线部分的最低点，此时 BP 最小，即 BPAC，BP=4，由勾股定理可知：PC=3，由于图象的曲线部分是轴对称图形，PA=3，AC=6，ABC 的面积为：46=12故答案为：12【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出 BC 与AC 的长度，本题属于中等题型15（3 分）如图，在 RtABC 中，A=90，AB=AC，BC=+1，点 M，N 分别是边 BC，AB 上的动点，沿 MN 所在的直线折叠B，使点 B 的对应点 B始终落在边 AC 上，若MBC 为直角三角形，则 BM 的长为+或 1第 17 页（共 31 页）【分析】如图 1，当BMC=90，B与 A 重合，M 是 BC 的中点，于是得到结论；如图 2，当MBC=90，推出CMB是等腰直角三角形，得到 CM=MB，列方程即可得到结论【解答】解：如图 1，当BMC=90，B与 A 重合，M 是 BC 的中点，BM=BC=+；如图 2，当MBC=90，A=90，AB=AC，C=45，CMB是等腰直角三角形，CM=MB，沿 MN 所在的直线折叠B，使点 B 的对应点 B，BM=BM，CM=BM，BC=+1，CM+BM=BM+BM=+1，BM=1，综上所述，若MBC 为直角三角形，则 BM 的长为+或 1，故答案为：+或 1第 18 页（共 31 页）【点评】本题考查了翻折变换折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键三、解答题（本题共 8 个小题，满分 75 分）三、解答题（本题共 8 个小题，满分 75 分）16（8 分）先化简，再求值：（2x+y）2+（xy）（x+y）5x（xy），其中x=+1，y=1【分析】首先化简（2x+y）2+（xy）（x+y）5x（xy），然后把 x=+1，y=1 代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可【解答】解：（2x+y）2+（xy）（x+y）5x（xy）=4x2+4xy+y2+x2y25x2+5xy=9xy当 x=+1，y=1 时，原式=9（+1）（1）=9（21）=91=9【点评】此题主要考查了整式的混合运算化简求值问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值17（9 分）为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表 调查结果统计表组别分组（单位：元）人数A0 x304第 19 页（共 31 页）B30 x6016C60 x90aD90 x120bEx1202请根据以上图表，解答下列问题：（1）填空：这次被调查的同学共有50人，a+b=28，m=8；（2）求扇形统计图中扇形 C 的圆心角度数；（3）该校共有学生 1000 人，请估计每月零花钱的数额 x 在 60 x120 范围的人数【分析】（1）根据 B 组的频数是 16，对应的百分比是 32%，据此求得调查的总人数，利用百分比的意义求得 b，然后求得 a 的值，m 的值；（2）利用 360乘以对应的比例即可求解；（3）利用总人数 1000 乘以对应的比例即可求解【解答】解：（1）调查的总人数是 1632%=50（人），则 b=5016%=8，a=5041682=20，A 组所占的百分比是=8%，则 m=8a+b=8+20=28故答案是：50，28，8；（2）扇形统计图中扇形 C 的圆心角度数是 360=144；（3）每月零花钱的数额 x 在 60 x120 范围的人数是 1000=560（人）【点评】本题考查了扇形统计图，观察统计表、扇形统计图获得有效信息是解题关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小18（9 分）如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 交 AC 边于点 D，过第 20 页（共 31 页）点 C 作 CFAB，与过点 B 的切线交于点 F，连接 BD（1）求证：BD=BF；（2）若 AB=10，CD=4，求 BC 的长【分析】（1）根据圆周角定理求出 BDAC，BDC=90，根据切线的性质得出ABBF，求出ACB=FCB，根据角平分线性质得出即可；（2）求出 AC=10，AD=6，根据勾股定理求出 BD，再根据勾股定理求出 BC 即可【解答】（1）证明：AB 是O 的直径，BDA=90，BDAC，BDC=90，BF 切O 于 B，ABBF，CFAB，CFBF，FCB=ABC，AB=AC，ACB=ABC，ACB=FCB，BDAC，BFCF，BD=BF；（2）解：AB=10，AB=AC，AC=10，CD=4，第 21 页（共 31 页）AD=104=6，在 RtADB 中，由勾股定理得：BD=8，在 RtBDC 中，由勾股定理得：BC=4【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线性质，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键19（9 分）如图所示，我国两艘海监船 A，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船 C，此时，B 船在 A 船的正南方向 5 海里处，A 船测得渔船 C 在其南偏东 45方向，B 船测得渔船 C 在其南偏东53方向，已知 A 船的航速为 30 海里/小时，B 船的航速为 25 海里/小时，问 C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53，cos53，tan53，1.41）【分析】如图作 CEAB 于 E 设 AE=EC=x，则 BE=x5，在 RtBCE 中，根据 tan53=，可得=，求出 x，再求出 BC、AC，分别求出 A、B 两船到 C 的时间，即可解决问题【解答】解：如图作 CEAB 于 E第 22 页（共 31 页）在 RtACE 中，A=45，AE=EC，设 AE=EC=x，则 BE=x5，在 RtBCE 中，tan53=，=，解得 x=20，AE=EC=20，AC=20=28.2，BC=25，A 船到 C 的时间=0.94 小时，B 船到 C 的时间=1 小时，C 船至少要等待 0.94 小时才能得到救援【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题、锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型20（9 分）如图，一次函数 y=x+b 与反比例函数 y=（x0）的图象交于点A（m，3）和 B（3，1）（1）填空：一次函数的解析式为y=x+4，反比例函数的解析式为y=；（2）点 P 是线段 AB 上一点，过点 P 作 PDx 轴于点 D，连接 OP，若POD 的面积为 S，求 S 的取值范围【分析】（1）先将 B（3，1）代入反比例函数即可求出 k 的值，然后将 A 代入反比例函数即可求出 m 的，再根据 B 两点的坐标即可求出一次函数的解析式第 23 页（共 31 页）（2）设 P 的坐标为（x，y），由于点 P 在直线 AB 上，从而可知 PD=y，OD=x，由题意可知：1x3，从而可求出 S 的范围【解答】解：（1）将 B（3，1）代入 y=，k=3，将 A（m，3）代入 y=，m=1，A（1，3），将 A（1，3）代入代入 y=x+b，b=4，y=x+4（2）设 P（x，y），由（1）可知：1x3，PD=y=x+4，OD=x，S=x（x+4），由二次函数的图象可知：S 的取值范围为：S2故答案为：（1）y=x+4；y=【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式，本题属于中等题型21（10 分）学校“百变魔方”社团准备购买 A，B 两种魔方，已知购买 2 个 A种魔方和 6 个 B 种魔方共需 130 元，购买 3 个 A 种魔方和 4 个 B 种魔方所需款数相同（1）求这两种魔方的单价；（2）结合社员们的需求，社团决定购买 A，B 两种魔方共 100 个（其中 A 种魔方不超过 50 个）某商店有两种优惠活动，如图所示请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠第 24 页（共 31 页）【分析】（按买 3 个 A 种魔方和买 4 个 B 种魔方钱数相同解答）（1）设 A 种魔方的单价为 x 元/个，B 种魔方的单价为 y 元/个，根据“购买 2个 A 种魔方和 6 个 B 种魔方共需 130 元，购买 3 个 A 种魔方和 4 个 B 种魔方所需款数相同”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进 A 种魔方 m 个（0m50），总价格为 w 元，则购进 B 种魔方（100m）个，根据两种活动方案即可得出 w活动一、w活动二关于 m 的函数关系式，再分别令 w活动一w活动二、w活动一=w活动二和 w活动一w活动二，解出 m 的取值范围，此题得解（按购买 3 个 A 种魔方和 4 个 B 种魔方需要 130 元解答）（1）设 A 种魔方的单价为 x 元/个，B 种魔方的单价为 y 元/个，根据“购买 2个 A 种魔方和 6 个 B 种魔方共需 130 元，购买 3 个 A 种魔方和 4 个 B 种魔方所需款数相同”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进 A 种魔方 m 个（0m50），总价格为 w 元，则购进 B 种魔方（100m）个，根据两种活动方案即可得出 w活动一、w活动二关于 m 的函数关系式，再分别令 w活动一w活动二、w活动一=w活动二和 w活动一w活动二，解出 m 的取值范围，此题得解【解答】（按买 3 个 A 种魔方和买 4 个 B 种魔方钱数相同解答）解：（1）设 A 种魔方的单价为 x 元/个，B 种魔方的单价为 y 元/个，根据题意得：，解得：答：A 种魔方的单价为 20 元/个，B 种魔方的单价为 15 元/个第 25 页（共 31 页）（2）设购进 A 种魔方 m 个（0m50），总价格为 w 元，则购进 B 种魔方（100m）个，根据题意得：w活动一=20m0.8+15（100m）0.4=10m+600；w活动二=20m+15（100mm）=10m+1500当 w活动一w活动二时，有 10m+60010m+1500，解得：m45；当 w活动一=w活动二时，有 10m+600=10m+1500，解得：m=45；当 w活动一w活动二时，有 10m+60010m+1500，解得：45m50综上所述：当 m45 时，选择活动一购买魔方更实惠；当 m=45 时，选择两种活动费用相同；当 m45 时，选择活动二购买魔方更实惠（按购买 3 个 A 种魔方和 4 个 B 种魔方需要 130 元解答）解：（1）设 A 种魔方的单价为 x 元/个，B 种魔方的单价为 y 元/个，根据题意得：，解得：答：A 种魔方的单价为 26 元/个，B 种魔方的单价为 13 元/个（2）设购进 A 种魔方 m 个（0m50），总价格为 w 元，则购进 B 种魔方（100m）个，根据题意得：w活动一=26m0.8+13（100m）0.4=15.6m+520；w活动二=26m+13（100mm）=1300当 w活动一w活动二时，有 15.6m+5201300，解得：m50；当 w活动一=w活动二时，有 15.6m+520=1300，解得：m=50；当 w活动一w活动二时，有 15.6m+5201300，不等式无解综上所述：当 0m50 时，选择活动一购买魔方更实惠；当 m=50 时，选择两种活动费用相同第 26 页（共 31 页）【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于 x、y 的二元一次方程组；（2）根据两种活动方案找出 w活动一、w活动二关于 m 的函数关系式22（10 分）如图 1，在 RtABC 中，A=90，AB=AC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AD=AE，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点（1）观察猜想 图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是PM=PN，位置关系是PMPN；（2）探究证明 把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD，CE，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸 把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请直接写出PMN面积的最大值【分析】（1）利用三角形的中位线得出 PM=CE，PN=BD，进而判断出 BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出 PMCE 得出DPM=DCA，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出ABDACE，得出 BD=CE，同（1）的方法得出 PM=BD，PN=BD，即可得出 PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）方法 1、先判断出 MN 最大时，PMN 的面积最大，进而求出 AN，AM，即可得出 MN 最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论方法 2、先判断出 BD 最大时，PMN 的面积最大，而 BD 最大是 AB+AD=14，即第 27 页（共 31 页）可【解答】解：（1）点 P，N 是 BC，CD 的中点，PNBD，PN=BD，点 P，M 是 CD，DE 的中点，PMCE，PM=CE，AB=AC，AD=AE，BD=CE，PM=PN，PNBD，DPN=ADC，PMCE，DPM=DCA，BAC=90，ADC+ACD=90，MPN=DPM+DPN=DCA+ADC=90，PMPN，故答案为：PM=PN，PMPN，（2）由旋转知，BAD=CAE，AB=AC，AD=AE，ABDACE（SAS），ABD=ACE，BD=CE，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，PM=PN，PMN 是等腰三角形，同（1）的方法得，PMCE，DPM=DCE，同（1）的方法得，PNBD，第 28 页（共 31 页）PNC=DBC，DPN=DCB+PNC=DCB+DBC，MPN=DPM+DPN=DCE+DCB+DBC=BCE+DBC=ACB+ACE+DBC=ACB+ABD+DBC=ACB+ABC，BAC=90，ACB+ABC=90，MPN=90，PMN 是等腰直角三角形，（3）如图 2，同（2）的方法得，PMN 是等腰直角三角形，MN 最大时，PMN 的面积最大，DEBC 且 DE 在顶点 A 上面，MN 最大=AM+AN，连接 AM，AN，在ADE 中，AD=AE=4，DAE=90，AM=2，在 RtABC 中，AB=AC=10，AN=5，MN最大=2+5=7，SPMN 最大=PM2=MN2=（7）2=方法 2、由（2）知，PMN 是等腰直角三角形，PM=PN=BD，PM 最大时，PMN 面积最大，点 D 在 AB 的延长线上，BD=AB+AD=14，PM=7，SPMN 最大=PM2=72=第 29 页（共 31 页）【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出 PM=CE，PN=BD，解（2）的关键是判断出ABDACE，解（3）的关键是判断出 MN 最大时，PMN 的面积最大，是一道中考常考题23（11 分）如图，直线 y=x+c 与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A，B（1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P，N点 M 在线段 OA 上运动，若以 B，P，N 为顶点的三角形与APM 相似，求点 M的坐标；点 M 在 x 轴上自由运动，若三个点 M，P，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称 M，P，N 三点为“共谐点”请直接写出使得 M，P，N 三点成为“共谐点”的 m 的值【分析】（1）把 A 点坐标代入直线解析式可求得 c，则可求得 B 点坐标，由 A、第 30 页（共 31 页）B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由 M 点坐标可表示 P、N 的坐标，从而可表示出 MA、MP、PN、PB 的长，分NBP=90和BNP=90两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于 m的方程，可求得 m 的值；用 m 可表示出 M、P、N 的坐标，由题意可知有 P 为线段 MN 的中点、M 为线段PN 的中点或 N 为线段 PM 的中点，可分别得到关于 m 的方程，可求得 m 的值【解答】解：（1）y=x+c 与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B，0=2+c，解得 c=2，B（0，2），抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A，B，解得，抛物线解析式为 y=x2+x+2；（2）由（1）可知直线解析式为 y=x+2，M（m，0）为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P，N，P（m，m+2），N（m，m2+m+2），PM=m+2，AM=3m，PN=m2+m+2（m+2）=m2+4m，BPN 和APM 相似，且BPN=APM，BNP=AMP=90或NBP=AMP=90，当BNP=90时，则有 BNMN，BN=OM=m，=，即=，解得 m=0（舍去）或 m=2.5，M（2.5，0）；第 31 页（共 31 页）当NBP=90时，则有=，A（3，0），B（0，2），P（m，m+2），BP=m，AP=（3m），=，解得 m=0（舍去）或 m=，M（，0）；综上可知当以 B，P，N 为顶点的三角形与APM 相似时，点 M 的坐标为（2.5，0）或（，0）；由可知 M（m，0），P（m，m+2），N（m，m2+m+2），M，P，N 三点为“共谐点”，有 P 为线段 MN 的中点、M 为线段 PN 的中点或 N 为线段 PM 的中点，当 P 为线段 MN 的中点时，则有 2（m+2）=m2+m+2，解得 m=3（三点重合，舍去）或 m=；当 M 为线段 PN 的中点时，则有m+2+（m2+m+2）=0，解得 m=3（舍去）或 m=1；当 N 为线段 PM 的中点时，则有m+2=2（m2+m+2），解得 m=3（舍去）或 m=；综上可知当 M，P，N 三点成为“共谐点”时 m 的值为或1 或【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中利用相似三角形的性质得到关于 m 的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）中利用“共谐点”的定义得到 m 的方程是解题的关键，注意分情况讨论本题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大