湖南省衡阳市中考数学试卷（含解析版）.pdf

湖南省衡阳市中考数学试卷湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分）1（3 分）（2014衡阳）2 的倒数是（）ABC2D22（3 分）（2014衡阳）下列图案中，不是轴对称图形的是（）ABCD3（3 分）（2014衡阳）环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题，我国新修订的环境空气质量标准中增加了 PM2.5 检测指标，“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，2.5 微米即0.0000025 米用科学记数法表示 0.0000025 为（）A2.5105B2.5105C2.5106D2.51064（3 分）（2014衡阳）若一个多边形的内角和是 900，则这个多边形的边数是（）A5B6C7D85（3 分）（2014衡阳）小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离 s（米）与散步所用时间 t（分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（）A小明看报用时 8 分钟B公共阅报栏距小明家 200 米C小明离家最远的距离为 400 米 D小明从出发到回家共用时 16 分钟6（3 分）（2014衡阳）下列运算结果正确的是（）Ax2+x3=x5Bx3x2=x6Cx5x=x5Dx3（3x）2=9x57（3 分）（2014衡阳）不等式组的解集在数轴上表示为（）ABCD8（3 分）（2014衡阳）下列因式分解中，正确的个数为（）x3+2xy+x=x（x2+2y）；x2+4x+4=（x+2）2；x2+y2=（x+y）（xy）A3 个B2 个C1 个D0 个9（3 分）（2014衡阳）如图所示的图形是由 7 个完全相同的小正方体组成的立体图形，则下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是（）ABCD10（3 分）（2014衡阳）如图，一河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，坝顶宽10 米，坝高 12 米，斜坡 AB 的坡度 i=1：1.5，则坝底 AD 的长度为（）A26 米B28 米C30 米D46 米11（3 分）（2014衡阳）圆心角为 120，弧长为 12 的扇形半径为（）A6B9C18D3612（3 分）（2014衡阳）下列命题是真命题的是（）A四边形都相等的四边形是矩形 B菱形的对角线相等 C对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D对角线相等的梯形是等腰梯形二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分）13（3 分）（2014攀枝花）函数中，自变量 x 的取值范围是 14（3 分）（2014衡阳）化简：（）=15（3 分）（2014衡阳）如图，在矩形 ABCD 中，BOC=120，AB=5，则BD 的长为 16（3 分）（2014衡阳）甲、乙两同学参加学校运动员铅球项目选拔赛，各投掷 6 次，记录成绩，计算平均数和方差的结果为：=10.5，=10.5，=0.61，=0.50，则成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙”）17（3 分）（2014衡阳）如图，AB 为O 直径，CD 为O 的弦，ACD=25，BAD 的度数为 18（3 分）（2014衡阳）若点 P1（1，m），P2（2，n）在反比例函数 y=（k0）的图象上，则 m=n（填“”“”或“=”号）19（3 分）（2014衡阳）分式方程=的解为 x=20（3 分）（2014衡阳）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M0的坐标为（1，0），将线段 OM0绕原点 O 逆时针方向旋转 45，再将其延长到 M1，使得 M1M0OM0，得到线段 OM1；又将线段 OM1绕原点 O 逆时针方向旋转45，再将其延长到 M2，使得 M2M1OM1，得到线段 OM2；如此下去，得到线段 OM3，OM4，OM5，根据以上规律，请直接写出 OM2014的长度为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，满分小题，满分 60 分）分）21（6 分）（2014衡阳）先化简，再求值（a+b）（ab）+b（a+2b）b2，其中 a=1，b=222（6 分）（2014衡阳）小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）计算被抽取的天数；（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示优的扇形的圆心角度数；（3）请估计该市这一年（365 天）达到优和良的总天数23（6 分）（2014衡阳）如图，在ABC 中，AB=AC，BD=CD，DEAB，DFAC，垂足分别为点 E、F求证：BEDCFD24（6 分）（2014衡阳）学校去年年底的绿化面积为 5000 平方米，预计到明年年底增加到 7200 平方米，求这两年的年平均增长率25（8 分）（2014衡阳）某班组织班团活动，班委会准备用 15 元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本 2 元/本，中性笔 1 元/支，且每种奖品至少买 1 件（1）若设购买笔记本 x 本，中性笔 y 支，写出 y 与 x 之间的关系式；（2）有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；（3）从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率26（8 分）（2014衡阳）将一副三角尺（在 RtABC 中，ACB=90，B=60；在 RtDEF 中，EDF=90，E=45）如图摆放，点 D 为 AB 的中点，DE 交 AC 于点 P，DF 经过点 C（1）求ADE 的度数；（2）如图，将DEF 绕点 D 顺时针方向旋转角（060），此时的等腰直角三角尺记为DEF，DE交 AC 于点 M，DF交 BC 于点 N，试判断的值是否随着 的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由27（10 分）（2014衡阳）如图，已知直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于点 A（4，0）、B（0，3），点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿直线 AB向点 B 移动，同时，将直线 y=x 以每秒 0.6 个单位的速度向上平移，分别交AO、BO 于点 C、D，设运动时间为 t 秒（0t5）（1）证明：在运动过程中，四边形 ACDP 总是平行四边形；（2）当 t 取何值时，四边形 ACDP 为菱形？且指出此时以点 D 为圆心，以 DO长为半径的圆与直线 AB 的位置关系，并说明理由28（10 分）（2014衡阳）二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴的交点为 A（3，0）、B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3m）（其中 m0），顶点为 D（1）求该二次函数的解析式（系数用含 m 的代数式表示）；（2）如图，当 m=2 时，点 P 为第三象限内的抛物线上的一个动点，设APC的面积为 S，试求出 S 与点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式及 S 的最大值；（3）如图，当 m 取何值时，以 A、D、C 为顶点的三角形与BOC 相似？湖南省衡阳市中考数学试卷湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分）1（3 分）（2014衡阳）2 的倒数是（）ABC2D2【考点】倒数菁优网版权所有【分析】根据倒数定义可知，2 的倒数是【解答】解：2 的倒数是 故选：B【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握需要注意的是倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0 没有倒数倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数2（3 分）（2014衡阳）下列图案中，不是轴对称图形的是（）ABCD【考点】轴对称图形菁优网版权所有【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误故选 A【点评】本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合3（3 分）（2014衡阳）环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题，我国新修订的环境空气质量标准中增加了 PM2.5 检测指标，“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，2.5 微米即0.0000025 米用科学记数法表示 0.0000025 为（）A2.5105B2.5105C 2.5106D2.5106【考点】科学记数法表示较小的数菁优网版权所有【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：0.000 0025=2.5106；故选：C【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定4（3 分）（2014衡阳）若一个多边形的内角和是 900，则这个多边形的边数是（）A5 B6 C7 D8【考点】多边形内角与外角菁优网版权所有【分析】根据多边形的内角和公式（n2）180，列式求解即可【解答】解：设这个多边形是 n 边形，根据题意得，（n2）180=900，解得 n=7故选 C【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键5（3 分）（2014衡阳）小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离 s（米）与散步所用时间 t（分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（）A小明看报用时 8 分钟B公共阅报栏距小明家 200 米C小明离家最远的距离为 400 米 D小明从出发到回家共用时 16 分钟【考点】函数的图象菁优网版权所有【分析】A从 4 分钟到 8 分钟时间增加而离家的距离没变，所以这段时间在看报；B.4 分钟时散步到了报栏，据此知公共阅报栏距小明家 200 米；C据图形知，12 分钟时离家最远，小明离家最远的距离为 400 米；D据图知小明从出发到回家共用时 16 分钟【解答】解：A小明看报用时 84=4 分钟，本项错误；B公共阅报栏距小明家 200 米，本项正确；C据图形知，12 分钟时离家最远，小明离家最远的距离为 400 米，本项正确；D据图知小明从出发到回家共用时 16 分钟，本项正确故选：A【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决6（3 分）（2014衡阳）下列运算结果正确的是（）Ax2+x3=x5Bx3x2=x6Cx5x=x5Dx3（3x）2=9x5【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；单项式乘单项式菁优网版权所有【分析】根据合并同类项，可判断 A，根据同底数幂的乘法，可判断 B，根据同底数幂的除法，可判断 C，根据单项式乘单项式，可判断 D【解答】解：A、指数不能相加，故 A 错误；B、底数不变指数相加，故 B 错误；C、底数不变指数相减，故 C 错误；D、x3（3x）2=9x5，故 D 正确；故选：D【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减7（3 分）（2014衡阳）不等式组的解集在数轴上表示为（）ABCD【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集菁优网版权所有专题：计算题【分析】本题应该先对不等式组进行化简，然后在数轴上分别表示出 x 的取值范围【解答】解：不等式组由得，x1，由得，x2，故不等式组的解集为：x2，在数轴上可表示为：故选：A【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断要注意 x 是否取得到，若取得到则 x 在该点是实心的反之 x 在该点是空心的8（3 分）（2014衡阳）下列因式分解中，正确的个数为（）x3+2xy+x=x（x2+2y）；x2+4x+4=（x+2）2；x2+y2=（x+y）（xy）A3 个B2 个C1 个D0 个【考点】因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法菁优网版权所有【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式进而判断得出即可【解答】解：x3+2xy+x=x（x2+2y+1），故原题错误；x2+4x+4=（x+2）2；正确；x2+y2=（x+y）（yx），故原题错误；故正确的有 1 个故选：C【点评】此题主要考查了运用公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键9（3 分）（2014衡阳）如图所示的图形是由 7 个完全相同的小正方体组成的立体图形，则下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是（）ABCD【考点】简单组合体的三视图菁优网版权所有【分析】根据几何体组成，结合三视图的观察角度，进而得出答案【解答】解：根据立方体的组成可得出：A、是几何体的左视图，故此选项错误；B、是几何体的三视图，故此选项正确；C、是几何体的主视图，故此选项错误；D、是几何体的俯视图，故此选项错误；故选：B【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，准确把握观察角度是解题关键10（3 分）（2014衡阳）如图，一河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，坝顶宽10 米，坝高 12 米，斜坡 AB 的坡度 i=1：1.5，则坝底 AD 的长度为（）A26 米B28 米C30 米D46 米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题菁优网版权所有【分析】先根据坡比求得 AE 的长，已知 CB=10m，即可求得 AD【解答】解：坝高 12 米，斜坡 AB 的坡度 i=1：1.5，AE=1.5BE=18 米，BC=10 米，AD=2AE+BC=218+10=46 米，故选 D【点评】此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题11（3 分）（2014衡阳）圆心角为 120，弧长为 12 的扇形半径为（）A6B9C18D36【考点】弧长的计算菁优网版权所有【分析】根据弧长的公式 l=进行计算【解答】解：设该扇形的半径是 r根据弧长的公式 l=，得到：12=，解得 r=18，故选：C【点评】本题考查了弧长的计算熟记公式是解题的关键12（3 分）（2014衡阳）下列命题是真命题的是（）A四边形都相等的四边形是矩形B菱形的对角线相等C对角线互相垂直的平行四边形是正方形D对角线相等的梯形是等腰梯形【考点】命题与定理菁优网版权所有【分析】利用特殊的四边形的判定和性质定理逐一判断后即可确定正确的选项【解答】解：A、四条边都相等的是菱形，故错误，是假命题；B、菱形的对角线互相垂直但不相等，故错误，是假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形但不一定是正方形，故错误，是假命题；D、正确，是真命题故选 D【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基础题二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分）13（3 分）（2014攀枝花）函数中，自变量 x 的取值范围是x2【考点】函数自变量的取值范围菁优网版权所有【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0，就可以求解【解答】解：依题意，得 x20，解得：x2，故答案为：x2【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数14（3 分）（2014衡阳）化简：（）=2【考点】二次根式的混合运算菁优网版权所有【分析】首先将括号里面化简，进而合并，即可运用二次根式乘法运算法则得出即可【解答】解：（）=（2）=2故答案为：2【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键15（3 分）（2014衡阳）如图，在矩形 ABCD 中，BOC=120，AB=5，则BD 的长为10【考点】矩形的性质菁优网版权所有【分析】根据矩形性质求出 BD=2BO，OA=OB，求出AOB=60，得出等边三角形 AOB，求出 BO=AB，即可求出答案【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，OA=OB，BOC=120，AOB=60，AOB 是等边三角形，OB=AB=5，BD=2BO=10，故答案为：10【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形性质的应用，注意：矩形的对角线相等且互相平分16（3 分）（2014衡阳）甲、乙两同学参加学校运动员铅球项目选拔赛，各投掷 6 次，记录成绩，计算平均数和方差的结果为：=10.5，=10.5，=0.61，=0.50，则成绩较稳定的是乙（填“甲”或“乙”）【考点】方差菁优网版权所有【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定【解答】解：因为 S甲2=0.61S乙2=0.50，方差小的为乙，所以本题中成绩比较稳定的是乙故答案为：乙【点评】本题考查了方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定17（3 分）（2014衡阳）如图，AB 为O 直径，CD 为O 的弦，ACD=25，BAD 的度数为65【考点】圆周角定理菁优网版权所有【分析】根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形 ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得B 的度数，即可求得BAD 的度数【解答】解：AB 为O 直径ADB=90B=ACD=25BAD=90B=65故答案为：65【点评】考查了圆周角定理的推论构造直径所对的圆周角是圆中常见的辅助线之一18（3 分）（2014衡阳）若点 P1（1，m），P2（2，n）在反比例函数 y=（k0）的图象上，则 m=n（填“”“”或“=”号）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征菁优网版权所有专题：计算题【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到1m=k，2n=k，解得m=k，n=，然后利用 k0 比较 m、n 的大小【解答】解：P1（1，m），P2（2，n）在反比例函数 y=（k0）的图象上，1m=k，2n=k，m=k，n=，而 k0，mn故答案为：【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y=（k 为常数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即xy=k19（3 分）（2014衡阳）分式方程=的解为 x=2【考点】解分式方程菁优网版权所有专题：计算题【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：x2=x2x+2x2，解得：x=2，经检验 x=2 是分式方程的解故答案为：2【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根20（3 分）（2014衡阳）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M0的坐标为（1，0），将线段 OM0绕原点 O 逆时针方向旋转 45，再将其延长到 M1，使得 M1M0OM0，得到线段 OM1；又将线段 OM1绕原点 O 逆时针方向旋转45，再将其延长到 M2，使得 M2M1OM1，得到线段 OM2；如此下去，得到线段 OM3，OM4，OM5，根据以上规律，请直接写出 OM2014的长度为21007【考点】规律型：点的坐标菁优网版权所有专题：规律型【分析】根据点 M0的坐标求出 OM0，然后判断出OM0M1是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出 OM1，同理求出 OM2，OM3，然后根据规律写出 OM2014即可【解答】解：点 M0的坐标为（1，0），OM0=1，线段 OM0绕原点 O 逆时针方向旋转 45，M1M0OM0，OM0M1是等腰直角三角形，OM1=OM0=，同理，OM2=OM1=（）2，OM3=OM2=（）3，OM2014=OM2013=（）2014=21007故答案为：21007【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质，读懂题目信息，判断出等腰直角三角形是解题的关键三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，满分小题，满分 60 分）分）21（6 分）（2014衡阳）先化简，再求值（a+b）（ab）+b（a+2b）b2，其中 a=1，b=2【考点】整式的混合运算化简求值菁优网版权所有【分析】先利用平方差公式和整式的乘法计算，再合并化简，最后代入求得数值即可【解答】解：原式=a2b2+ab+2b2b2=a2+ab，当 a=1，b=2 时原式=1+（2）=1【点评】此题考查代数式求值，注意先利用整式的乘法化简，再代入求得数值22（6 分）（2014衡阳）小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）计算被抽取的天数；（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示优的扇形的圆心角度数；（3）请估计该市这一年（365 天）达到优和良的总天数【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图菁优网版权所有【分析】（1）根据扇形图中空气为良所占比例为 64%，条形图中空气为良的天数为 32 天，即可得出被抽取的总天数；（2）利用轻微污染天数是 50328311=5 天；表示优的圆心角度数是360=57.6，即可得出答案；（3）利用样本中优和良的天数所占比例得出一年（365 天）达到优和良的总天数即可【解答】解：（1）扇形图中空气为良所占比例为 64%，条形图中空气为良的天数为 32 天，被抽取的总天数为：3264%=50（天）；（2）轻微污染天数是 50328311=5 天；表示优的圆心角度数是360=57.6，如图所示：；（3）样本中优和良的天数分别为：8，32，一年（365 天）达到优和良的总天数为：365=292（天）估计该市一年达到优和良的总天数为 292 天【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小23（6 分）（2014衡阳）如图，在ABC 中，AB=AC，BD=CD，DEAB，DFAC，垂足分别为点 E、F求证：BEDCFD【考点】全等三角形的判定菁优网版权所有专题：证明题【分析】首先根据 AB=AC 可得B=C，再由 DEAB，DFAC，可得BED=CFD=90，然后再利用 AAS 定理可判定BEDCFD【解答】证明：DEAB，DFAC，BED=CFD=90，AB=AC，B=C，在BED 和CFD 中，BEDCFD（AAS）【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角24（6 分）（2014衡阳）学校去年年底的绿化面积为 5000 平方米，预计到明年年底增加到 7200 平方米，求这两年的年平均增长率【考点】一元二次方程的应用菁优网版权所有专题：增长率问题【分析】设这两年的年平均增长率为 x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果【解答】解：设这两年的年平均增长率为 x，根据题意得：5000（1+x）2=7200，即（1+x）2=1.44，开方得：1+x=1.2 或 x+1=1.2，解得：x=0.2=20%，或 x=2.2（舍去）答：这两年的年平均增长率为 20%【点评】考查了一元二次方程的应用，本题为增长率问题，一般形式为 a（1+x）2=b，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量25（8 分）（2014衡阳）某班组织班团活动，班委会准备用 15 元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本 2 元/本，中性笔 1 元/支，且每种奖品至少买 1 件（1）若设购买笔记本 x 本，中性笔 y 支，写出 y 与 x 之间的关系式；（2）有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；（3）从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率【考点】列表法与树状图法；二元一次方程的应用菁优网版权所有【分析】（1）首先由题意可得：2x+y=15，继而求得 y 与 x 之间的关系式；（2）根据每种奖品至少买 1 件，即可求得所有可能的结果；（3）由买到的中性笔与笔记本数量相等的只有 1 种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：（1）根据题意得：2x+y=15，y=152x；（2）购买方案：x=1，y=13；x=2，y=11，x=3，y=9；x=4，y=7；x=5，y=5；x=6，y=3，x=7，y=1；共有 7 种购买方案；（3）买到的中性笔与笔记本数量相等的只有 1 种情况，买到的中性笔与笔记本数量相等的概率为：【点评】本题考查了列举法求概率的知识注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比26（8 分）（2014衡阳）将一副三角尺（在 RtABC 中，ACB=90，B=60；在 RtDEF 中，EDF=90，E=45）如图摆放，点 D 为 AB 的中点，DE 交 AC 于点 P，DF 经过点 C（1）求ADE 的度数；（2）如图，将DEF 绕点 D 顺时针方向旋转角（060），此时的等腰直角三角尺记为DEF，DE交 AC 于点 M，DF交 BC 于点 N，试判断的值是否随着 的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 CD=AD=BD=AB，根据等边对等角求出ACD=A，再求出ADC=120，再根据ADE=ADCEDF 计算即可得解；（2）根据同角的余角相等求出PDM=CDN，再根据然后求出BCD 是等边三角形，根据等边三角形的性质求出BCD=60，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出CPD=60，从而得到CPD=BCD，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出DPM 和DCN 相似，再根据相似三角形对应边成比例可得=为定值【解答】解：（1）ACB=90，点 D 为 AB 的中点，CD=AD=BD=AB，ACD=A=30，ADC=180302=120，ADE=ADCEDF=12090=30；（2）EDF=90，PDM+EDF=CDN+EDF=90，PDM=CDN，B=60，BD=CD，BCD 是等边三角形，BCD=60，CPD=A+ADE=30+30=60，CPD=BCD，在DPM 和DCN 中，DPMDCN，=，=tanACD=tan30，的值不随着 的变化而变化，是定值【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并判断出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点27（10 分）（2014衡阳）如图，已知直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于点 A（4，0）、B（0，3），点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿直线 AB向点 B 移动，同时，将直线 y=x 以每秒 0.6 个单位的速度向上平移，分别交AO、BO 于点 C、D，设运动时间为 t 秒（0t5）（1）证明：在运动过程中，四边形 ACDP 总是平行四边形；（2）当 t 取何值时，四边形 ACDP 为菱形？且指出此时以点 D 为圆心，以 DO长为半径的圆与直线 AB 的位置关系，并说明理由【考点】一次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，由待定系数法就可以求出直线AB 的解析式，再由点的坐标求出 AO，BO 的值，由勾股定理就可以得出 AB 的值，求出 sinBAO 的值，作 PEAO，表示出 PE 的值，得出 PE=DO，就可以得出结论；（2）由三角函数值表示 CO 的值，由菱形的性质可以求出菱形的边长，作 DFAB于 F 由三角函数值就可以求出 DO，DF 的值，进而得出结论【解答】解：（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，由题意，得，解得：，y=x+3直线 AB直线 y=xA（4，0）、B（0，3），OA=4，OB=3，在 RtAOB 中，由勾股定理，得AB=5sinBAO=，tanDCO=作 PEAO，PEA=PEO=90AP=t，PE=0.6tOD=0.6t，PE=ODBOC=90，PEA=BOC，PEDO四边形 PEOD 是平行四边形，PDAOABCD，四边形 ACDP 总是平行四边形；（2）ABCD，BAO=DCO，tanDCO=tanBAO=DO=0.6t，CO=0.8t，AC=40.8t四边形 ACDP 为菱形，AP=AC，t=40.8t，t=DO=，AC=PDAC，BPD=BAO，sinBPD=sinBAO=作 DFAB 于 FDFP=90，DF=DF=DO以点 D 为圆心，以 DO 长为半径的圆与直线 AB 相切【点评】本题考查了待定系数法求函数的将诶相似的运用，勾股定理的运用，三角函数值的运用，平行四边形的判定及性质的运用，菱形的性质的运用，解答时灵活运用平行四边形的性质是关键28（10 分）（2014衡阳）二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴的交点为 A（3，0）、B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3m）（其中 m0），顶点为 D（1）求该二次函数的解析式（系数用含 m 的代数式表示）；（2）如图，当 m=2 时，点 P 为第三象限内的抛物线上的一个动点，设APC的面积为 S，试求出 S 与点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式及 S 的最大值；（3）如图，当 m 取何值时，以 A、D、C 为顶点的三角形与BOC 相似？【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）利用交点式求出抛物线的解析式；（2）如答图 2，求出 S 的表达式，再根据二次函数的性质求出最值；（3）ACD 与BOC 相似，且BOC 为直角三角形，所以ACD 必为直角三角形本问分多种情形，需要分类讨论，避免漏解【解答】解：（1）抛物线与 x 轴交点为 A（3，0）、B（1，0），抛物线解析式为：y=a（x+3）（x1）将点 C（0，3m）代入上式，得 a3（1）=3m，m=a，抛物线的解析式为：y=m（x+3）（x1）=mx2+2mx3m（2）当 m=2 时，C（0，6），抛物线解析式为 y=2x2+4x6，则 P（x，2x2+4x6）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，则有，解得，y=2x6如答图，过点 P 作 PEx 轴于点 E，交 AC 于点 F，则 F（x，2x6）PF=yFyP=（2x6）（2x2+4x6）=2x26xS=SPFA+SPFC=PFAE+PFOE=PFOA=（2x26x）3S=3x29x=3（x+）2+S 与 x 之间的关系式为 S=3x29x，当 x=时，S 有最大值为（3）y=mx2+2mx3m=m（x+1）24m，顶点 D 坐标为（1，4m）如答图，过点 D 作 DEx 轴于点 E，则 DE=4m，OE=1，AE=OAOE=2；过点 D 作 DFy 轴于点 F，则 DF=1，CF=OFOC=4m3m=m由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=9m2+9；CD2=CF2+DF2=m2+1；AD2=DE2+AE2=16m2+4ACD 与BOC 相似，且BOC 为直角三角形，ACD 必为直角三角形i）若点 A 为直角顶点，则 AC2+AD2=CD2，即：（9m2+9）+（16m2+4）=m2+1，整理得：m2=，此种情形不存在；ii）若点 D 为直角顶点，则 AD2+CD2=AC2，即：（16m2+4）+（m2+1）=9m2+9，整理得：m2=，m0，m=此时，可求得ACD 的三边长为：AD=2，CD=，AC=；BOC 的三边长为：OB=1，OC=，BC=两个三角形对应边不成比例，不可能相似，此种情形不存在；iii）若点 C 为直角顶点，则 AC2+CD2=AD2，即：（9m2+9）+（m2+1）=16m2+4，整理得：m2=1，m0，m=1此时，可求得ACD 的三边长为：AD=2，CD=，AC=3；BOC 的三边长为：OB=1，OC=3，BC=，满足两个三角形相似的条件m=1综上所述，当 m=1 时，以 A、D、C 为顶点的三角形与BOC 相似【点评】本题是二次函数综合题型，考查了函数的图象与性质、待定系数法、相似、勾股定理、图形面积计算等知识点，难度不大第（2）问重点考查了图形面积的计算方法；第（3）问重点考查了分类讨论的数学思想