湖北省武汉市中考数学试卷（含解析版）.pdf

湖北省武汉市中考数学试卷湖北省武汉市中考数学试卷一、单项选择题（共一、单项选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分）1（3 分）（2014武汉）在实数2，0，2，3 中，最小的实数是（）A2B0C2D32（3 分）（2014武汉）若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（）Ax0Bx3Cx3Dx33（3 分）（2014武汉）光速约为 300 000 千米/秒，将数字 300000 用科学记数法表示为（）A3104B3105C3106D301044（3 分）（2014武汉）在一次中学生田径运动会上，参加跳高的 15 名运动员的成绩如表：成绩（m）1.501.601.651.701.751.80人数124332那么这些运动员跳高成绩的众数是（）A4B1.75C1.70D1.655（3 分）（2014武汉）下列代数运算正确的是（）A（x3）2=x5B（2x）2=2x2Cx3x2=x5D（x+1）2=x2+16（3 分）（2014武汉）如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（6，6），B（8，2），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点 C 的坐标为（）A（3，3）B（4，3）C（3，1）D（4，1）7（3 分）（2014武汉）如图是由 4 个大小相同的正方体搭成的几何体，其俯视图是（）ABCD8（3 分）（2014武汉）为了解某一路口某一时段的汽车流量，小明同学 10 天中在同一时段统计通过该路口的汽车数量（单位：辆），将统计结果绘制成如下折线统计图：由此估计一个月（30 天）该时段通过该路口的汽车数量超过 200 辆的天数为（）A9B10C12D159（3 分）（2014武汉）观察下列一组图形中点的个数，其中第 1 个图中共有 4个点，第 2 个图中共有 10 个点，第 3 个图中共有 19 个点，按此规律第 5 个图中共有点的个数是（）A31 B46C51D6610（3 分）（2014武汉）如图，PA，PB 切O 于 A、B 两点，CD 切O 于点 E，交 PA，PB 于 C，D 若O 的半径为 r，PCD 的周长等于 3r，则 tanAPB的值是（）ABCD二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分）11（3 分）（2014武汉）计算：2+（3）=12（3 分）分解因式：a3a=13（3 分）（2014武汉）如图，一个转盘被分成 7 个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向红色的概率为14（3 分）（2014武汉）一次越野跑中，当小明跑了 1600 米时，小刚跑了 1400米，小明、小刚所跑的路程 y（米）与时间 t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为米15（3 分）（2014武汉）如图，若双曲线 y=与边长为 5 的等边AOB 的边OA、AB 分别相交于 C、D 两点，且 OC=2BD则实数 k 的值为16（3 分）（2014武汉）如图，在四边形 ABCD 中，AD=4，CD=3，ABC=ACB=ADC=45，则 BD 的长为三、解答题（共三、解答题（共 9 小题，满分小题，满分 72 分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（6 分）（2014武汉）解方程：=18（6 分）（2014武汉）已知直线 y=2xb 经过点（1，1），求关于 x 的不等式 2xb0 的解集19（6 分）（2014武汉）如图，AC 和 BD 相交于点 O，OA=OC，OB=OD求证：DCAB20（7 分）（2014武汉）如图，在直角坐标系中，A（0，4），C（3，0）（1）画出线段 AC 关于 y 轴对称线段 AB；将线段 CA 绕点 C 顺时针旋转一个角，得到对应线段 CD，使得 ADx 轴，请画出线段 CD；（2）若直线 y=kx 平分（1）中四边形 ABCD 的面积，请直接写出实数 k 的值21（7 分）（2014武汉）袋中装有大小相同的 2 个红球和 2 个绿球（1）先从袋中摸出 1 个球后放回，混合均匀后再摸出 1 个球求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；求两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的概率；（2）先从袋中摸出 1 个球后不放回，再摸出 1 个球，则两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的概率是多少？请直接写出结果22（8 分）（2014武汉）如图，AB 是O 的直径，C，P 是上两点，AB=13，AC=5（1）如图（1），若点 P 是的中点，求 PA 的长；（2）如图（2），若点 P 是的中点，求 PA 的长23（10 分）（2014武汉）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第 x（1x90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间 x（天）1x5050 x90售价（元/件）x+4090每天销量（件）2002x已知该商品的进价为每件 30 元，设销售该商品的每天利润为 y 元（1）求出 y 与 x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于 4800 元？请直接写出结果24（10 分）（2014武汉）如图，RtABC 中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，动点 P 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 5cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 4cm 的速度向点 B 匀速运动，运动时间为 t 秒（0t2），连接 PQ（1）若BPQ 与ABC 相似，求 t 的值；（2）连接 AQ，CP，若 AQCP，求 t 的值；（3）试证明：PQ 的中点在ABC 的一条中位线上25（12 分）（2014武汉）如图，已知直线 AB：y=kx+2k+4 与抛物线 y=x2交于 A，B 两点（1）直线 AB 总经过一个定点 C，请直接出点 C 坐标；（2）当 k=时，在直线 AB 下方的抛物线上求点 P，使ABP 的面积等于 5；（3）若在抛物线上存在定点 D 使ADB=90，求点 D 到直线 AB 的最大距离湖北省武汉市中考数学试卷湖北省武汉市中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、单项选择题（共一、单项选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分）1（3 分）（2014武汉）在实数2，0，2，3 中，最小的实数是（）A2B0C2D3【考点】实数大小比较菁优网版权所有【专题】常规题型【分析】根据正数大于 0，0 大于负数，可得答案【解答】解：2023，最小的实数是2，故选：A【点评】本题考查了实数比较大小，正数大于 0，0 大于负数是解题关键2（3 分）（2014武汉）若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（）Ax0Bx3Cx3Dx3【考点】二次根式有意义的条件菁优网版权所有【专题】常规题型【分析】先根据二次根式有意义的条件得出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可【解答】解：使 在实数范围内有意义，x30，解得 x3故选：C【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于 03（3 分）（2014武汉）光速约为 300 000 千米/秒，将数字 300000 用科学记数法表示为（）A3104B3105C3106D30104【考点】科学记数法表示较大的数菁优网版权所有【专题】常规题型【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 300 000 用科学记数法表示为：3105故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4（3 分）（2014武汉）在一次中学生田径运动会上，参加跳高的 15 名运动员的成绩如表：成绩（m）1.501.601.651.701.751.80人数124332那么这些运动员跳高成绩的众数是（）A4B1.75C1.70D1.65【考点】众数菁优网版权所有【专题】常规题型【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的数即可【解答】解：1.65 出现了 4 次，出现的次数最多，这些运动员跳高成绩的众数是 1.65；故选：D【点评】此题考查了众数，用到的知识点是众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数5（3 分）（2014武汉）下列代数运算正确的是（）A（x3）2=x5B（2x）2=2x2Cx3x2=x5D（x+1）2=x2+1【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；完全平方公式菁【专题】计算题【分析】根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则及完全平方公式，分别进行各选项的判断即可【解答】解：A、（x3）2=x6，原式计算错误，故 A 选项错误；B、（2x）2=4x2，原式计算错误，故 B 选项错误；C、x3x2=x5，原式计算正确，故 C 选项正确；D、（x+1）2=x2+2x+1，原式计算错误，故 D 选项错误；故选：C【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的运算，掌握各部分的运算法则是关键6（3 分）（2014武汉）如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（6，6），B（8，2），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点 C 的坐标为（）A（3，3）B（4，3）C（3，1）D（4，1）【考点】位似变换；坐标与图形性质菁优网版权所有【专题】几何图形问题【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出 C 点坐标【解答】解：线段 AB 的两个端点坐标分别为 A（6，6），B（8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，端点 C 的横坐标和纵坐标都变为 A 点的一半，端点 C 的坐标为：（3，3）故选：A【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键7（3 分）（2014武汉）如图是由 4 个大小相同的正方体搭成的几何体，其俯视图是（）ABCD【考点】简单组合体的三视图菁优网版权所有【专题】常规题型【分析】找到从上面看所得到的图形即可【解答】解：从上面看可得到一行正方形的个数为 3，故选：C【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图8（3 分）（2014武汉）为了解某一路口某一时段的汽车流量，小明同学 10 天中在同一时段统计通过该路口的汽车数量（单位：辆），将统计结果绘制成如下折线统计图：由此估计一个月（30 天）该时段通过该路口的汽车数量超过 200 辆的天数为（）A9B10C12D15【考点】折线统计图；用样本估计总体菁优网版权所有【专题】常规题型【分析】先由折线统计图得出 10 天中在同一时段通过该路口的汽车数量超过 200辆的天数，求出其频率，再利用样本估计总体的思想即可求解【解答】解：由图可知，10 天中在同一时段通过该路口的汽车数量超过 200 辆的有 4 天，频率为：=0.4，所以估计一个月（30 天）该时段通过该路口的汽车数量超过 200 辆的天数为：300.4=12（天）故选：C【点评】本题考查了折线统计图及用样本估计总体的思想，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键9（3 分）（2014武汉）观察下列一组图形中点的个数，其中第 1 个图中共有 4个点，第 2 个图中共有 10 个点，第 3 个图中共有 19 个点，按此规律第 5 个图中共有点的个数是（）A31 B46C51D66【考点】规律型：图形的变化类菁优网版权所有【专题】规律型【分析】由图可知：其中第 1 个图中共有 1+13=4 个点，第 2 个图中共有1+13+23=10 个点，第 3 个图中共有 1+13+23+33=19 个点，由此规律得出第 n 个图有 1+13+23+33+3n 个点【解答】方法一：解：第 1 个图中共有 1+13=4 个点，第 2 个图中共有 1+13+23=10 个点，第 3 个图中共有 1+13+23+33=19 个点，第 n 个图有 1+13+23+33+3n 个点所以第 5 个图中共有点的个数是 1+13+23+33+43+53=46故选：B方法二：n=1，s=4；n=2，s=10；n=3，s=19，设 s=an2+bn+c，a=，b=，c=1，s=n2+n+1，把 n=5 代入，s=46方法三：，a5=19+12+15=46【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，利用规律解决问题10（3 分）（2014武汉）如图，PA，PB 切O 于 A、B 两点，CD 切O 于点 E，交 PA，PB 于 C，D 若O 的半径为 r，PCD 的周长等于 3r，则 tanAPB的值是（）ABCD【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义菁优网版权所有【专题】几何图形问题；压轴题【分析】（1）连接 OA、OB、OP，延长 BO 交 PA 的延长线于点 F利用切线求得 CA=CE，DB=DE，PA=PB 再得出 PA=PB=利用 RtBFPRTOAF得出 AF=FB，在 RTFBP 中，利用勾股定理求出 BF，再求 tanAPB 的值即可【解答】解：连接 OA、OB、OP，延长 BO 交 PA 的延长线于点 FPA，PB 切O 于 A、B 两点，CD 切O 于点 EOAF=PBF=90，CA=CE，DB=DE，PA=PB，PCD 的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，PA=PB=在 RtPBF 和 RtOAF 中，RtPBFRtOAF=，AF=FB，在 RtFBP 中，PF2PB2=FB2（PA+AF）2PB2=FB2（r+BF）2（）2=BF2，解得 BF=r，tanAPB=，故选：B【点评】本题主要考查了切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分）11（3 分）（2014武汉）计算：2+（3）=【考点】有理数的加法菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据有理数的加法法则求出即可【解答】解：（2）+（3）=5，故答案为：5【点评】本题考查了有理数加法的应用，注意：同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加12（3 分）分解因式：a3a=【考点】提公因式法与公式法的综合运用菁优网版权所有【专题】因式分解【分析】先提取公因式 a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解【解答】解：a3a，=a（a21），=a（a+1）（a1）故答案为：a（a+1）（a1）【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底13（3 分）（2014武汉）如图，一个转盘被分成 7 个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向红色的概率为【考点】概率公式菁优网版权所有【专题】常规题型【分析】由一个转盘被分成 7 个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，红色的有 3 个扇形，直接利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：一个转盘被分成 7 个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，红色的有 3 个扇形，指针指向红色的概率为：故答案为：【点评】此题考查了概率公式的应用注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比14（3 分）（2014武汉）一次越野跑中，当小明跑了 1600 米时，小刚跑了 1400米，小明、小刚所跑的路程 y（米）与时间 t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为米【考点】一次函数的应用菁优网版权所有【专题】数形结合【分析】设小明的速度为 a 米/秒，小刚的速度为 b 米/秒，由行程问题的数量关系建立方程组求出其解即可【解答】解：设小明的速度为 a 米/秒，小刚的速度为 b 米/秒，由题意，得，解得：，这次越野跑的全程为：1600+3002=2200 米故答案为：2200【点评】本题考查了行程问题的数量关系的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时由函数图象的数量关系建立方程组是关键15（3 分）（2014武汉）如图，若双曲线 y=与边长为 5 的等边AOB 的边OA、AB 分别相交于 C、D 两点，且 OC=2BD则实数 k 的值为【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；等边三角形的性质【分析】过点 C 作 CEx 轴于点 E，过点 D 作 DFx 轴于点 F，设 OC=2x，则BD=x，分别表示出点 C、点 D 的坐标，代入函数解析式求出 k，继而可建立方程，解出 x 的值后即可得出 k 的值【解答】解：过点 C 作 CEx 轴于点 E，过点 D 作 DFx 轴于点 F，设 OC=2x，则 BD=x，在 RtOCE 中，COE=60，则 OE=x，CE=x，则点 C 坐标为（x，x），在 RtBDF 中，BD=x，DBF=60，则 BF=x，DF=x，则点 D 的坐标为（5 x，x），将点 C 的坐标代入反比例函数解析式可得：k=x2，将点 D 的坐标代入反比例函数解析式可得：k=xx2，则x2=xx2，解得：x1=2，x2=0（舍去），故 k=x2=4=4故答案为：4【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题关键是利用 k 的值相同建立方程，有一定难度16（3 分）（2014武汉）如图，在四边形 ABCD 中，AD=4，CD=3，ABC=ACB=ADC=45，则 BD 的长为【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形菁【专题】计算题；压轴题【分析】根据等式的性质，可得BAD 与CAD的关系，根据 SAS，可得BAD与CAD的关系，根据全等三角形的性质，可得 BD 与 CD的关系，根据勾股定理，可得答案【解答】解：作 ADAD，AD=AD，连接 CD，DD，如图：BAC+CAD=DAD+CAD，即BAD=CAD，在BAD 与CAD中，BADCAD（SAS），BD=CDDAD=90由勾股定理得 DD=，DDA+ADC=90由勾股定理得 CD=，BD=CD=，故答案为：【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，作出全等图形是解题关键三、解答题（共三、解答题（共 9 小题，满分小题，满分 72 分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（6 分）（2014武汉）解方程：=【考点】解分式方程菁优网版权所有【专题】计算题【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：2x=3x6，解得：x=6，经检验 x=6 是分式方程的解【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根18（6 分）（2014武汉）已知直线 y=2xb 经过点（1，1），求关于 x 的不等式 2xb0 的解集【考点】一次函数与一元一次不等式菁优网版权所有【专题】计算题【分析】把点（1，1）代入直线 y=2xb 得到 b 的值，再解不等式【解答】解：把点（1，1）代入直线 y=2xb 得，1=2b，解得，b=3函数解析式为 y=2x3解 2x30得 x【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，要知道，点的坐标符合函数解析式19（6 分）（2014武汉）如图，AC 和 BD 相交于点 O，OA=OC，OB=OD求证：DCAB【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定菁优网版权所有【专题】证明题【分析】根据边角边定理求证ODCOBA，可得C=A（或者D=B），即可证明 DCAB【解答】证明：在ODC 和OBA 中，ODCOBA（SAS），C=A（或者D=B）（全等三角形对应角相等），DCAB（内错角相等，两直线平行）【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和平行线的判定的理解和掌握，解答此题的关键是利用边角边定理求证ODCOBA20（7 分）（2014武汉）如图，在直角坐标系中，A（0，4），C（3，0）（1）画出线段 AC 关于 y 轴对称线段 AB；将线段 CA 绕点 C 顺时针旋转一个角，得到对应线段 CD，使得 ADx 轴，请画出线段 CD；（2）若直线 y=kx 平分（1）中四边形 ABCD 的面积，请直接写出实数 k 的值【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换菁优网版权所有【专题】作图题【分析】（1）根据关于 y 轴对称的点的横坐标互为相反数确定出点 B 的位置，然后连接 AB 即可；根据轴对称的性质找出点 A 关于直线 x=3 的对称点，即为所求的点 D；（2）根据平行四边形的性质，平分四边形面积的直线经过中心，然后求出 AC的中点，代入直线计算即可求出 k 值【解答】解：（1）如图所示；直线 CD 如图所示；（2）由图可知，AD=BC，ADBC，四边形 ABCD 是平行四边形A（0，4），C（3，0），平行四边形 ABCD 的中心坐标为（，2），代入直线得，k=2，解得 k=【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，还考查了平行四边形的判定与性质，是基础题，要注意平分四边形面积的直线经过中心的应用21（7 分）（2014武汉）袋中装有大小相同的 2 个红球和 2 个绿球（1）先从袋中摸出 1 个球后放回，混合均匀后再摸出 1 个球求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；求两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的概率；（2）先从袋中摸出 1 个球后不放回，再摸出 1 个球，则两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的概率是多少？请直接写出结果【考点】列表法与树状图法菁优网版权所有【专题】常规题型【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到绿球，第二次摸到红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；首先由求得两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；（2）由先从袋中摸出 1 个球后不放回，再摸出 1 个球，共有等可能的结果为：43=12（种），且两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的有 8 种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：（1）画树状图得：共有 16 种等可能的结果，第一次摸到绿球，第二次摸到红球的有 4 种情况，第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率为：=；两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的有 8 种情况，两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的为：=；（2）先从袋中摸出 1 个球后不放回，再摸出 1 个球，共有等可能的结果为：43=12（种），且两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的有 8 种情况，两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的概率是：=【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比22（8 分）（2014武汉）如图，AB 是O 的直径，C，P 是上两点，AB=13，AC=5（1）如图（1），若点 P 是的中点，求 PA 的长；（2）如图（2），若点 P 是的中点，求 PA 的长【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理菁优网版权所有【专题】几何综合题【分析】（1）根据圆周角的定理，APB=90，P 是弧 AB 的中点，所以三角形APB 是等腰三角形，利用勾股定理即可求得（2）根据垂径定理得出 OP 垂直平分 BC，得出 OPAC，从而得出ACB0NP，根据对应边成比例求得 ON、AN 的长，利用勾股定理求得 NP的长，进而求得 PA【解答】解：（1）如图（1）所示，连接 PB，AB 是O 的直径且 P 是的中点，PAB=PBA=45，APB=90，又在等腰三角形APB 中有 AB=13，PA=（2）如图（2）所示：连接 BCOP 相交于 M 点，作 PNAB 于点 N，P 点为弧 BC 的中点，OPBC，OMB=90，又因为 AB 为直径ACB=90，ACB=OMB，OPAC，CAB=POB，又因为ACB=ONP=90，ACB0NP=，又AB=13 AC=5 OP=，代入得 ON=，AN=OA+ON=9在 RtOPN 中，有 NP2=0P2ON2=36在 RtANP 中 有 PA=3PA=3【点评】本题考查了圆周角的定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线是本题的关键23（10 分）（2014武汉）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第 x（1x90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间 x（天）1x5050 x90售价（元/件）x+4090每天销量（件）2002x已知该商品的进价为每件 30 元，设销售该商品的每天利润为 y 元（1）求出 y 与 x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于 4800 元？请直接写出结果【考点】二次函数的应用菁优网版权所有【专题】销售问题【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于 4800，一次函数值大于或等于 48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案【解答】解：（1）当 1x50 时，y=（2002x）（x+4030）=2x2+180 x+2000，当 50 x90 时，y=（2002x）（9030）=120 x+12000，综上所述：y=；（2）当 1x50 时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为 x=45，当 x=45 时，y最大=2452+18045+2000=6050，当 50 x90 时，y 随 x 的增大而减小，当 x=50 时，y最大=6000，综上所述，该商品第 45 天时，当天销售利润最大，最大利润是 6050 元；（3）当 1x50 时，y=2x2+180 x+20004800，解得 20 x70，因此利润不低于 4800 元的天数是 20 x50，共 30 天；当 50 x90 时，y=120 x+120004800，解得 x60，因此利润不低于 4800 元的天数是 50 x60，共 11 天，所以该商品在销售过程中，共 41 天每天销售利润不低于 4800 元【点评】本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值24（10 分）（2014武汉）如图，RtABC 中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，动点 P 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 5cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 4cm 的速度向点 B 匀速运动，运动时间为 t 秒（0t2），连接 PQ（1）若BPQ 与ABC 相似，求 t 的值；（2）连接 AQ，CP，若 AQCP，求 t 的值；（3）试证明：PQ 的中点在ABC 的一条中位线上【考点】相似形综合题菁优网版权所有【专题】几何综合题；压轴题【分析】（1）分两种情况讨论：当BPQBAC 时，=，当BPQBCA时，=，再根据 BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；（2）过 P 作 PMBC 于点 M，AQ，CP 交于点 N，则有 PB=5t，PM=3t，MC=84t，根据ACQCMP，得出=，代入计算即可；（3）作 PEAC 于点 E，DFAC 于点 F，先得出 DF=，再把 QC=4t，PE=8CM=84t 代入求出 DF，过 BC 的中点 R 作直线平行于 AC，得出RC=DF，D 在过 R 的中位线上，从而证出 PQ 的中点在ABC 的一条中位线上【解答】解：（1）AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，当BPQBAC 时，=，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，=，t=1；当BPQBCA 时，=，=，t=，t=1 或时，BPQ 与ABC 相似；（2）如图所示，过 P 作 PMBC 于点 M，AQ，CP 交于点 N，则有 PB=5t，PM=PBsinB=3t，BM=4t，MC=84t，NAC+NCA=90，PCM+NCA=90，NAC=PCM 且ACQ=PMC=90，ACQCMP，=，=，解得：t=；（3）如图，作 PMBC 于点 M，PQ 的中点设为 D 点，再作 PEAC 于点 E，DFAC 于点 F，ACB=90，DF 为梯形 PECQ 的中位线，DF=，QC=4t，PE=8BM=84t，DF=4，BC=8，过 BC 的中点 R 作直线平行于 AC，RC=DF=4 成立，D 在过 R 的中位线上，PQ 的中点在ABC 的一条中位线上【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、中位线的性质等，关键是画出图形作出辅助线构造相似三角形，注意分两种情况讨论25（12 分）（2014武汉）如图，已知直线 AB：y=kx+2k+4 与抛物线 y=x2交于 A，B 两点（1）直线 AB 总经过一个定点 C，请直接出点 C 坐标；（2）当 k=时，在直线 AB 下方的抛物线上求点 P，使ABP 的面积等于 5；（3）若在抛物线上存在定点 D 使ADB=90，求点 D 到直线 AB 的最大距离【考点】二次函数综合题；解一元二次方程-因式分解法；根与系数的关系；勾股定理；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】方法一：（1）要求定点的坐标，只需寻找一个合适 x，使得 y 的值与 k 无关即可（2）只需联立两函数的解析式，就可求出点 A、B 的坐标设出点 P 的横坐标为 a，运用割补法用 a 的代数式表示APB 的面积，然后根据条件建立关于 a 的方程，从而求出 a 的值，进而求出点 P 的坐标（3）设点 A、B、D 的横坐标分别为 m、n、t，从条件ADB=90出发，可构造k 型相似，从而得到 m、n、t 的等量关系，然后利用根与系数的关系就可以求出t，从而求出点 D 的坐标由于直线 AB 上有一个定点 C，容易得到 DC 长就是点 D 到 AB 的最大距离，只需构建直角三角形，利用勾股定理即可解决问题方法二：（1）因为直线 AB：y=kx+2k+4，y=k（x+2）+4，所以 x=2 时，与 k 无关（2）利用三角形面积公式水平底与铅垂高乘积的一半可求解（3）列出 A，B，D 三点参数坐标，结合两根之和，两根之积得出关于 m 的一元二次方程，求出与 k 无关的 m 的值，并求出 D 点坐标，当直线 CD 与直线 AB垂直时距离最大【解答】方法一：解：（1）当 x=2 时，y=（2）k+2k+4=4直线 AB：y=kx+2k+4 必经过定点（2，4）点 C 的坐标为（2，4）（2）k=，直线的解析式为 y=x+3联立，解得：或点 A 的坐标为（3，），点 B 的坐标为（2，2）过点 P 作 PQy 轴，交 AB 于点 Q，过点 A 作 AMPQ，垂足为 M，过点 B 作 BNPQ，垂足为 N，如图 1 所示设点 P 的横坐标为 a，则点 Q 的横坐标为 ayP=a2，yQ=a+3点 P 在直线 AB 下方，PQ=yQyP=a+3 a2AM+NB=a（3）+2a=5SAPB=SAPQ+SBPQ=PQAM+PQBN=PQ（AM+BN）=（a+3 a2）5=5整理得：a2+a2=0解得：a1=2，a2=1当 a=2 时，yP=（2）2=2此时点 P 的坐标为（2，2）当 a=1 时，yP=12=此时点 P 的坐标为（1，）符合要求的点 P 的坐标为（2，2）或（1，）（3）过点 D 作 x 轴的平行线 EF，作 AEEF，垂足为 E，作 BFEF，垂足为 F，如图 2AEEF，BFEF，AED=BFD=90ADB=90，ADE=90BDF=DBFAED=BFD，ADE=DBF，AEDDFB设点 A、B、D 的横坐标分别为 m、n、t，则点 A、B、D 的纵坐标分别为 m2、n2、t2AE=yAyE=m2 t2BF=yByF=n2 t2ED=xDxE=tm，DF=xFxD=nt，=tm，tn，=去分母并整理得：mn+（m+n）t+t2+4=0点 A、B 是直线 AB：y=kx+2k+4 与抛物线 y=x2交点，m、n 是方程 kx+2k+4=x2即 x22kx4k8=0 两根m+n=2k，mn=4k84k8+2kt+t2+4=0，即 t2+2kt4k4=0即（t2）（t+2k+2）=0t1=2，t2=2k2（舍）定点 D 的坐标为（2，2）过点 D 作 x 轴的平行线 DG，过点 C 作 CGDG，垂足为 G，如图 3 所示点 C（2，4），点 D（2，2），CG=42=2，DG=2（2）=4CGDG，DC=2过点 D 作 DHAB，垂足为 H，如图 3 所示，DHDCDH2当 DH 与 DC 重合即 DCAB 时，点 D 到直线 AB 的距离最大，最大值为 2点 D 到直线 AB 的最大距离为 2方法二：（1）略（2）当 k=时，直线 AB：y=x+3，又 y=x2，x1=3，x2=2，A（3，），B（2，2），过点 P 作 x 轴垂线，交直线 AB 于 Q，设 P（t，），Q（t，t+3），SABP=（QYPY）（BXAX）=（t+3 t2）（3+2）=5，t2+t2=0，t1=2，t2=1，P1（2，2），P2（1，）（3）D 为抛物线上一点，设 D（m，m2），A（x1，），B（x2，），ADB=90，ADBD，KADKBD=1，=1，m2+（x1+x2）m+x1x2=4，y=kx+2k+4，y=x2，x22kx4k8=0，x1+x2=2k，x1x2=4k8，m2+2km4k8=4，m2+2km4k4=0，当 m=2 时，此式与 k 无关，D（2，2）y=kx+2k+4 经过定点 C（2，4），当 CDAB 时，距离最大，CD=【点评】本题考查了解方程组、解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、相似三角形的性质与判定等知识，考查了通过解方程组求两函数交点坐标、用割补法表示三角形的面积等方法，综合性比较强构造 K 型相似以及运用根与系数的关系是求出点 D 的坐标的关键，点 C 是定点又是求点 D 到直线AB 的最大距离的突破口