第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第3讲 函数的奇偶性与周期性.doc

第3讲　函数的奇偶性与周期性
【2013年高考会这样考】
1．判断函数的奇偶性．
2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．
3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用．
【复习指导】
本讲复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题．

基础梳理
1．奇、偶函数的概念
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．
2．奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；
②两个偶函数的和、积都是偶函数；
③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．
3．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

一条规律
奇、偶函数的定义域关于原点对称．
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
两个性质
(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
三种方法
判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．
三条结论
(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．
(3)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.
双基自测
1．(2011·全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝(　　)．
A.－ B.－ C. D.
解析　因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f＝－f＝－f＝－.故选A.
答案　A

2．(2012·福州一中月考)f(x)＝－x的图象关于(　　)．
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
解析　f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝－(－x)＝－＝－f(x)，则f(x)为奇函数，图象关于原点对称．
答案　C
3．(2011·广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)．
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
解析　由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数，A项：偶＋偶＝偶；B项：偶－偶＝偶，B错；C项与D项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选A.
答案　A
4．(2011·福建)对于函数f(x)＝asin x＋bx＋c(其中，a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是(　　)．
A．4和6 B．3和1
C．2和4 D．1和2
解析　∵f(1)＝asin 1＋b＋c，f(－1)＝－asin 1－b＋c且c∈Z，∴f(1)＋f(－1)＝2c是偶数，只有D项中两数和为奇数，故不可能是D.
答案　D
5．(2011·浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
解析　法一　∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0.
法二　由f(－1)＝f(1)，
得|a－1|＝|a＋1|，得a＝0.
答案0　

考向一　判断函数的奇偶性
【例1】►下列函数：
①f(x)＝ ＋ ；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝ln(x＋)；④f(x)＝；⑤f(x)＝lg.其中奇函数的个数是(　　)．
A．2 B．3 C．4 D．5
[审题视点] 利用函数奇偶性的定义判断．
解析　①f(x)＝＋的定义域为{－1,1}，又f(－x)＝±f(x)＝0，
则f(x)＝＋是奇函数，也是偶函数；
②f(x)＝x3－x的定义域为R，
又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)，
则f(x)＝x3－x是奇函数；
③由x＋>x＋|x|≥0知f(x)＝ln(x＋)的定义域为R，
又f(－x)＝ln(－x＋)＝ln＝
－ln(x＋)＝－f(x)，
则f(x)为奇函数；
④f(x)＝的定义域为R，
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，
则f(x)为奇函数；
⑤由>0得－1f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(2)f(x)的定义域是(－∞，＋∞)．
当a＝0时，f(x)＝x2－|x|＋2，
f(－x)＝x2－|－x|＋2＝x2－|x|＋2＝f(x)．
因此f(x)是偶函数；
当a≠0时，f(a)＝a2＋2，
f(－a)＝a2－|2a|＋2，
f(－a)≠f(a)，且f(－a)≠－f(a)．
因此f(x)既不是偶函数也不是奇函数．
考向二　函数奇偶性的应用
【例2】►已知f(x)＝x(x≠0)．
(1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明：f(x)＞0.
[审题视点] (1)用定义判断或用特值法否定；(2)由奇偶性知只须求对称区间上的函数值大于0.
(1)解　法一　f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)
∵f(x)＝x＝·.
∴f(－x)＝·＝·＝f(x)．
故f(x)是偶函数．
法二　f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(1)＝，f(－1)＝，∴f(x)不是奇函数．
∵f(x)－f(－x)＝x＋x
＝x＝x＝x(－1＋1)＝0，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)证明　当x＞0时，2x＞1,2x－1＞0，
所以f(x)＝x＞0.
当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＞0，又f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，所以f(x)＞0.
综上，均有f(x)＞0.

根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法．奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可．
【训练2】 已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m的取值范围．
解　∵f(x)的定义域为[－2,2]，
∴有
解得－1≤m≤.①
又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，
∴在[－2,2]上递减，
∴f(1－m)＜－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m＞m2－1，
即－2＜m＜1.②
综合①②可知，－1≤m＜1.
考向三　函数的奇偶性与周期性
【例3】►已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．
[审题视点] (1)只需证明f(x＋T)＝f(x)，即可说明f(x)为周期函数；
(2)由f(x)在[0,1]上的解析式及f(x)图象关于x＝1对称求得f(x)在[1,2]上的解析式；
(3)由周期性求和的值．
(1)证明　函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．
(2)解　当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，
又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．
(3)解　∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，
f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1
又f(x)是以4为周期的周期函数．
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)
＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.
判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．
【训练3】 已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 013)＋f(2 015)的值为(　　)．
A．－1 B．1 C．0 D．无法计算
解析　由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，
又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x－1)＝－f(x＋1)，
∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，
∴f(x)的周期为4，
∴f(2 013)＝f(1)，f(2 015)＝f(3)＝f(－1)，
又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，
∴f(2 013)＋f(2 015)＝0.
答案　C　　
规范解答3——如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题
【问题研究】 函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质，它们之间既有区别又有联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，在命题时，常常将它们综合在一起命制试题.
【解决方案】 根据奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为f(－x)与f(x)的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为f(x＋T)与fx)的关系，它们都与f(x)有关，因此，在一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题.
【示例】►(本题满分12分)(2011·沈阳模拟)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；
(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．
第(1)问先求函数f(x)的周期，再求f(π)；
第(2)问，推断函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积；
第(3)问，由图象观察写出．
[解答示范] (1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，(2分)
∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)
＝－(4－π)＝π－4.(4分)
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得：f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f1－x)．

故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(6分)
又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．(8分)
当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则
S＝4S△OAB＝4×＝4.(10分)
(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1,4k＋1](k∈Z)，单调递减区间[4k＋1,4k＋3](k∈Z)．(12分)
关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．
【试一试】 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)．
A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
[尝试解答]　由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．故选D.
答案　D

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