高中数学课程标准.ppt

单击此处编辑母版标题样式,.,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,抽象代数,(第2章),理论、问题与方法,西南大学,数学与统计学院,1,.,第,2,章 数环与数域,2.1,整数剩余类环,2.2,整环的分式域,2.3,素域与扩域,2.4,素数的欧拉分解,2.5,Hamilton,四元数环,2.6,Lagrange,平方和定理,2,.,2.1,整数剩余类环,定义1 整数剩余类运算,定理2 Z,m,成为一个环,例1 环Z,2,.,3,.,环同构,定义,3,环同态,f:R,S,定义,4,环同构,f:R,S,例,2,环同态,f:Z,Zn,4,.,剩余类环Z,p,定理6 a、bZ，则a、b互素当且仅当存在s、t,Z使sa+tb=1.,定理7 若是p素数则剩余类环Z,p,是域.,5,.,理想与剩余类环,定义,8 理想;剩余类环,定理9(同态基本定理)设有环同态,:R,R,则A=r,R|=,0,=Ker(同态核)是R的理想;反之若R有理想A,则存在,环同态,:R,R/A=,R,.,6,.,2.2,整环的分式域,例 从整数环,Z,到有理数域,Q.,定义1,整环,例 整数环,Z;Zn是,整环当且仅当,n=p是素数.,定义2 环嵌入,7,.,整环的分式域,定理,3,每个整环都可以,嵌入,一个域,(,分式域,).,证明 分3步,第1步 定义2元集A,得商集F.,第2步 验证F是一个域.,第3步,整环,R嵌入,域,F.,8,.,整环的分式域,定理,4,如果一个非零环,R,含在一个域,F,中,那么F含R的分式域,说明分式域是包含环的最小域.,定理5 同构的环分式域也同构.,例 Fx的分式域F(x).,9,.,分式域:问题思考,问题:,整数环与偶数环有相同的分式域,.,一般地,问一个无零因子交换环R与它的子环S在什么条件下有相同分式域?,10,.,问题思考,典型事实观察:,以下的环与子环有相同分式域:,Z与nZ;Zx与Qx;,设R是没有零因子的交换环，S是它的子环，对,R记,S=,u|uS.,猜想:,R与S有相同分式域当且仅当每,R都有,S,S,0.,11,.,问题思考定理 无零因子交换环R与它的子环,S有相同分式域当且仅当每,R都,有,S,S,0,.,12,.,2.3,素域与扩域,复习和问题:,从任何整环可以获得分式域,反过来,任意一个域可以通过什么一般的途径而获得呢,?,答:域扩张的方法,13,.,素,域定义,两个已知的域:Q与Zp,特点:最小域,问题:是否还有其他最小域?,14,.,素,域定义,定义,1,素,域,定理,2 (无零因子环的特征),设R是一个没有零因子的环,则,(1)na=0,0,a,R,n=0,这时记charR=0.或者,(2)存在素数p使每pa=0,这时记charR=p,.,15,.,素,域与扩域,定理,3 设F是素域,则,(1)char F=0,F,Q,或者,(2)char F=p,F,Zp.,注 由定理3知道,任一个域或者是Q的扩 域或者是一个p元域Zp的扩域.,16,.,素,域与扩域,定理4,域上的,n次多项式最多有n个根.,证明 利用带余除法,17,.,2.4,素数的欧拉分解,本节证明下面的欧拉定理：,定理,2.4.3(,欧拉,)奇素数p在复整数环Z(i)中有非平凡因子当且仅当p,1(4),18,.,素数的欧拉分解,定理,1(Fermat)设p是素数,pa则a,p-1,1(p),证 记b=a-1,则a,p,(b+1),p,b,p,+1,(a-1),p,+1,(a-2),p,+2,a(p),故a,p-1,1(p).,19,.,素数的欧拉分解,定理,2(Wilson)设p是素数,则(p-1)!,-,1(p).,证 由定理1,1,2,3,p-1(p)是方程,x,p-1,-1,0(p)的根,由定理2.3.3此方程仅有这p-1个根,由根与系数关系(p-1)!,-,1(p).,20,.,欧拉定理,定理,3(,欧拉,)奇素数p在复整数环Z(i)中有非平凡因子当且仅当p,1(4).,证由本节第一段的说明,只需证方程,有解.若有解则x、y一奇一偶,p,1(4).,现设p,1(4),记a=(p-1)/2!由Wilson定理,记b=,p,则 .整数集x-ay|x、y=0.b,有x,1,-ay,1,x,2,-ay,2,取x=x,1,-x,2,y=y,1,-y,2,则,于是 .,21,.,