导数的应用(二).doc

任课教师：古向伟
课题
导数的应用（二）
课时
2
授课班级
11数控（4）（5)
11软件
11化工（2）
11焊接（3）
授课时间

教学目标
知识目标：掌握函数极值，最值的求法
能力目标：会求函数的极值，最值
德育目标：培养学生逻辑思维能力，理论联系实际的能力
教
材
分
析
重点
求函数的最值，解决实际问题
难点
求函数的最值，解决实际问题
教 具
无
教学方法
讲授法 讨论法
课 型
新授课
复习提问
函数单调性的判定？函数极值的求法？
作业布置
课后练习4,5
教学过程
[组织教学]
检查人数
[复习提问]
函数单调性的判定？函数极值的判定？
求函数的极值.
解 由于函数的各阶导数易求,故可选用定理5.12.为 .
令得驻点.又因为所以是极小值点,函数的极小值为.而,由定理5.12知,都不是极值点

[新授课]
最大值与最小值问题
在第三章中我们已经知道,在闭区间上连续的函数必存在最大值和最小值.显然,最值与极值是两个不同的概念,极值是函数在某点附近的局部概念,而最值却是函数在闭区间上的整体概念.由图5-16可知,在闭区间上连续的函数的最值只可能在极值点、不可导点和区间端点处取得.因而我们可以归纳出求函数的最值的基本步骤.
求在闭区间上连续函数的最值的步骤:
(ⅰ)求出函数在闭区间上的所有驻点和不连续点.
图5.4-6(b)
图5.4-6(a)
f在端点a处取得最大值.
而在驻点x4处取得最小值.

f在驻点x1处取得最大值.而
在不可导点x2处取得最小值.

(ⅱ)计算这个值,比较它们的大小可得最大(小)值(图5.4-6).
注1:上述方法只有在函数在闭区间上的驻点和不可导点有限时有效.
图5.4-7
注2:在闭区间上连续的函数如果只有一个驻点或一个不可导点,则这个点一定是最大(小)值点(图5.4-7).
注3 最值点可能不唯一,而最值是唯一的.
求最值应用举例
例9 求函数在闭区间上的最大值与最小值.
解 函数f在闭区间上连续,故必存在最大最小值.由于
==
图5.4-8
因此
=
又因,,所以由导数极限定理推知函数在处不可导.求出函数f在稳定点,2和不可导点,以及端点,的函数值
,,,,.
所以函数f在处取最小值0,在和处取得最大值5(图5.4-8) ▋
例10 需建造体积为的圆柱形油罐.问其直径与高的比为多少时,用料最省?(图5.4-9)
图5.4-9
解 所谓用料最省,就是要使油罐的表面积最小.设半径为,高为.则油罐的表面积为
.
由题目条件得: ,将此式代入上式就得导目标函数
,
令
,
解得驻点.又因.故是唯一极小值点,因而也就是最小值点.
将代入,解得,于是
.
即油罐的直径与高相等时,用料最省.
小结：函数最值的求法，步骤

学生活动

复习提问，为本节课的学习打基础

交流讨论：以前学过的求极值的方法

图示形象解决函数最大值的求法

总结解决实际问题的步骤

交流讨论建模的问题

练习

总结本节课的主要内容

教学后记：

审批意见

教学部主任：
年 月 日