齐民友高数下册上课第09章01-02多元函数微分法及其应用(1).doc

第9章 多元函数微分法及其应用
第9章 多元函数微分法及其应用
本章讨论多元函数的微分学．多元函数的基本概念、理论和方法与一元函数中的概念、理论、方法有很多相似之处．只是由于自变量的增加，而使问题变得多样和复杂些．
我们将着重以二元函数为例讨论多元函数．其理由有二：（1）从一元函数到二元函数，在内容和方法上会有一些实质性的差别和变化，而从二元函数到三元函数乃至一般的元函数，只是形式上的不同，没有本质的区别，掌握了二元函数的相关理论和方法后，很容易将其推广到一般的多元函数中去；（2）二元函数有直观几何帮助思考，而多于二元的函数再也没有直观几何。
我们必须时时注意多元函数与一元函数有哪些相似之处和哪些本质差别。
熟练二元，推广到元。
本章必需上册一元函数的极限、连续与间断、导数、微分基础知识和求导方法．请同学们务必认真复习。

第1节 多元函数的基本概念
1.1　点集
我们知道，数轴上的点与实数一一对应，直角坐标系下，平面上的点与二元坐标一一对应，空间中的点与三元坐标一一对应。数轴是，称为1维空间；平面是，称为2维空间；空间是，称为3维空间．表示全体元坐标的集合，即
，
称为维空间，其中每个元坐标都称为一个（维）点．
我们把维向量也写为。表示维点还是维向量，要看上下文。
两个维向量相加（减）还是对应坐标相加（减）；数乘维向量还是乘遍每个坐标。
维空间的两点，间的距离为
，
称为维向量的模．

1.2　邻域
设。
点集

称为点的圆邻域。是以点为中心，为半径，去掉圆周的圆盘．
点集称为的去心圆邻域．
点集称为点的方邻域．点集称为的去心方邻域．
推广到维空间：
设。
点的圆邻域；的去心圆邻域：；的方邻域：；的去心方邻域：．
容易看出，点的任一圆邻域一定包含某个方邻域；反之，任一个方邻域也一定包含一个圆邻域．通常说邻域是指的圆邻域．

- 73 -
思考题：
1．集合与, 是否相同？
（见右图。）
。

1.3　内点、外点、边界点、聚点
我们来考察点与点集的关系．
设。

观察右图，看看点有什么不同的本质。
1．点：若存在点的某邻域使。这样的点称为点集的内点．的全部内点构成的集合记为或．

2．点：存在点的某邻域使。这样的点称为点集的外点．
3．点：在点的任一邻域内，既有属于的点，又有不属于的点，即：。这样的点称为点集E的边界点．
点集的全体边界点的集合称为的边界，记为．
4．聚点：若的任一去心邻域内，总含有属于集合的点，即，，则称点P为点集的聚点．的全部聚点记为．
5．孤立点：若，且不是的聚点，即存在P的某邻域，使，则称点P为的孤立点．
显然有：；，且右端三个集合互不相交．
集合的内点必是聚点，外点一定不是聚点；而边界点可能是聚点也可能不是聚点；孤立点一定是边界点，非孤立点的边界点一定是聚点．
例如，。若，则P为E的内点；若或，则P为的边界点，也是聚点；但为的孤立点、边界点，不是聚点．
以上全部内容都可推广到维空间。
1.4　区域、闭区域
观察右图，看看点集有什么不同的本质。

１．点集：的点都是的内点。这样的点集称为开集．
２．点集：的余集（）是（中的）开集。即包含自己的全部聚点。这样的点集称为闭集．
称集合的全部聚点}为集合的闭包．

２．点集：不开不闭．
例如：为中闭集，为中开集， 既不是中开集，也不是中闭集．
关于开集和闭集，有如下结论．
定理1.1 (1) 空集与全集是开集；任意多个开集之并为开集；有限多个开集之交为开集．
(2) 空集与全集是闭集；有限多个闭集之并为闭集；任意多个闭集之交为闭集．
3．有界集：设。若存在一定点又存在，使得，有，则称是有界集，否则称是无界集．有界集可以包含在某个大圆盘内，无界集则不可以。
4．区域：设D是中的一个开集，如果对D中的任意两点P1,P2，都可
用D内的一条折线 (由有限条直线段连接起来的连续曲线) 将P1与P2连接起来，则称D是一个连通的开集．连通的开集称为开区域，简称为区域．
如果区域D中的任一条闭曲线所包围的点都属于D，则称区域D为单连通区域，否则称D为复连通区域．
5．闭区域区域与它的边界一起所构成的集合，称为闭区域．
连通
不连通
单连通
复连通

如：是闭区域；是开区域；是闭集，但不是闭区域；是开集，但不是开区域．
思考题：
2．无限多个开集之交是否一定为开集；无限多个闭集之并是否一定为闭集．
（不一定。例如，。）
3．设，试指出其边界点及聚点．
（边界；聚点集。）
以上全部内容都可推广到维空间。

1.5*　平面点列的极限
一列无穷无尽的平面点
（1.1）
称为平面上的一个点列，记为。
定义 设是平面上的点列，定点。如果
对于任意给定的正数，总存在，当时，恒有
，
则称点为点列的极限．记作
或 ，或．
上面定义的意思是：。
定理1.2 平面点列收敛于的充分必要条件是：对应的坐标数列，分别收敛于．即
．
证　必要性．设，，，当时，有
，
，
于是，　．
充分性．设，．则对，，当时，有；，当时，有．取，当时，，故．
以上全部内容都可推广到维空间。
根据定理1.2，点列的极限可以转化为若干数列的极限。点列的极限再没有新的内容。
*定理1.3(柯西收敛定理)　平面点列收敛的充分必要条件是：对，，当时，有
．
证明略去．
【例1.1】 证明：是的聚点的充分必要条件是：存在的点列，．
证　充分性．若存在，，．则对，，当时，，又，故在的任一去心邻域中都含有中的点，所以是的聚点．
必要性．若是的聚点，则对，．令，则存在，令，则存在；且显然，如此下去，令，则存在，……。我们得到了点列，，．因此．

1.6　多元函数
一元函数是实数集到实数集的映射。类似地，多元函数是多维空间中点集到实数集的映射。
下面我们以二元函数为例，讨论其性质．所有内容和结果都可以推广到二元以上的函数中去．
定义1.1　设是的一个非空子集。从到实数集的一个映射f称为定义在上的一个二元函数，记作
或 ，．
定义1.1′ 设是的一个非空子集，为实数集，是与之间的对应法则。如果对于中的每一个点，按照对应法则f，在中有唯一一个实数z与对应，则称在上定义了一个二元函数，记作：，．称为函数在点的值。其中称为函数f的自变量，z称为函数f的因变量，称为f的定义域．
类似地，
定义1.2　设是的一个非空子集。从到实数集的一个映射f称为定义在上的一个三元函数，记作
或 ，．
定义1.2′ 设是的一个非空子集，为实数集，是与之间的对应法则。如果对于中的每一个点，按照对应法则f，在中有唯一一个实数与对应，则称在上定义了一个三元函数，记作：，．称为函数在点的值。其中称为函数f的自变量，u称为函数f的因变量，称为f的定义域．
以上全部内容都可推广到元。
定义1.n　设是的一个非空子集。从到实数集的一个映射f称为定义在上的一个n元函数，记作
或 ，．

定义1.n′ 设是的一个非空子集，为实数集，是与之间的对应法则。如果对于中的每一个点，按照对应法则f，在中有唯一一个实数与对应，则称在上定义了一个n元函数，记作：或．称为函数在点的值。其中称为函数f的自变量，y称为函数f的因变量，称为f的定义域．
二元函数的图像为3维空间中的点集：，它表示的是三维空间中的一张曲面。曲面在点的高正好是，曲面在面上的投影正好是函数的定义域．可见，二元函数有几何直观帮助思考。
二元以上的函数称为多元函数。
与一元函数类似，多元函数也有三种表示方法。由某个解析式表示的多元函数的（自然）定义域是所有使算式有意义的自变量的点所构成的集合．
例如：函数的定义域为；
函数的定义域为．
与一元函数类似，多元函数也可进行四则运算，也有复合函数。
多元基本初等函数：各种各样自变量的一元基本初等函数。例如，等等。
多元初等函数：基本初等函数进行有限次四则运算或复合的结果函数。
多元函数的复合函数有多种情形。例如，
（1）如果，则有结果是一元的复合函数。
（2）如果，则有结果是二元的复合函数。
（3）如果，则有复合函数。
（4）如果，则有结果是四元的复合函数。
等等。

设，，

是的函数时我们画图

是的函数时我们画图

是的函数时我们画图

结果复合函数的图如下

根据函数结构画出来的这种图称为函数图（一棵横放的树）。上图中，函数称为函数图的根；有五个叶子；从一个叶子到根的路线称为一条路径（上函数图中共有五条路径：）。

思考题：
4．设为二元函数，试问（a为常数）能否写为？
（不能。）
5．与是否相等？
（不等。）
6．与是否表示同一函数？为什么？
（不同。定义域不一样。）
7．设；．问它们是否为的二元函数？
（是。）
习题9-1
A类
*1．设集合，问点，，，分别为集合的什么点？
*2．求下列集合的内点，外点，边界点．
(1) ； (2) ；
(3) ．
3．判断下列集合中，哪些是开集，闭集，有界集及区域．并指出其聚点和边界点．
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
*(5) ．
4．求下列函数的定义域：
(1) ；　　 (2) ；
(3) ；　　 (4) ．
5．求解下列各题．
(1) 设，求．
(2) 设，求．
(3) 设，若，求．
6．设．若当时，．求函数和．
7．设，，求．

B类
*１．证明：闭区域必为闭集．举例说明反之不成立．
*２．试仿照中点的邻域的定义，写出中点的邻域的定义．
*３．给维空间的每一个元赋予范数后，称为欧几里得(Euclid)空间，其范数称为向量的欧几里得长度．试证，范数有下列性质：
1) ；
(2) ；
(3) ．(三角不等式)

第2节　多元函数的极限及连续性
2.1　多元函数的极限
下面我们以二元函数为例，给出多元函数的极限的概念．
定义2.1　设是定义在上的一个二元函数，是的聚点，是固定的常数。如果
对于任意给定的，，只要，
就保证．
则称为函数当点趋于时的极限，记作或，也记为．
注意：

称此极限为二重极限．
注　① 二重极限的定义也可表示为：
，当（或当，，且）时，．
② 对于多元函数的极限，由于点的邻域是一个平面点集，点趋近于点时，可沿邻域内的任意曲线。因此，二重极限存在的充分必要条件是：当点在邻域内以任何方式趋近于时，都以常数为极限．如果找到点在邻域中以两种不同的方式趋近于时，趋近于不同的常数，则便可断定在点处极限不存在．（证明极限不存在的方法！）
③的意义有二：（1）左边极限存在；（2）等号成立。
一元函数的极限运算法则可平行地推广到二元函数的极限运算上来．
定义2.n　设是定义在上的一个n元函数，是的聚点，是固定的常数。如果
对于任意给定的，，只要，
就保证．
则称为函数当点趋于时的极限，记作或，也记为．
注意：

思考题：
1．二元函数极限的定义对于是函数定义域的边界点的情形是否适用？（是。）
2．对于二元函数来说，当沿任意直线趋近于时，极限值都存在且相等，问是否存在？（不一定。）

【例2.1】 用定义验证　．

解　，
取，当时，
，
故．

草稿：
因为　，，所以，

【例2.2】 求极限　．
解　
因为　，，所以
．
（题目：给定，求。
方法总结：把一组东西看作一个整体，变为一元函数求极限。）
【例2.3】 讨论极限是否存在．
解　考虑，即让动点沿直线趋近于原点，因
，
故当点沿直线趋近于原点时，函数趋近于数，此值与的取值有关，即当取不同的值时，函数趋近于不同的常数，故当时，函数的极限不存在．
（令，时 ，此时
，
与有关，故不存在．）
（题目（考点）：给定，证明不存在。
方法总结：凑一个函数（比如说经常），如果且与有关，则不存在。）
思考题：
3．运算正确吗？
（不对。时可能是异号的无穷大。当（不一定非得）时，不存在。）
4．因为不存在，所以不存在，对吗？
（不对。时，是无穷小而有界，所以存在。）
*（泥潭！）2.2* 二次极限
如果对于任意的，，进一步，若存在，则称它为先，后时的二次极限（也称为累次极限），记为．
同样可定义先，后时的二次极限：
如果对于任意的，，进一步，若存在，则称它为先，后时的累次极限．记为．
二次极限与二重极限的关系：
1．二次极限与二重极限是完全不同的极限概念，二重极限的存在，不能保证二次极限存在；两个二次极限都存在，也不能保证二重极限存在．
2．若，且对任意，存在，则．即＝．
　若，且对任意，存在，则．即＝．
　若，且及存在，则＝＝．
3．若两个二次极限存在，但不相等，则二重极限不存在．
【例2.4】 讨论函数下列函数在点处的二重极限与二次极限．
(1) ；　 (2) ；
(3) ；　　 (4)
解　(1) 因；，故不存在．
(2) 显然不存在，也不存在，即两个二次极限不存在，故也不存在．
(3) 因不存在，故不存在；因为，故．且．
(4) 显然，而不存在，故不存在，所以不存在；同理不存在．
因，故．
【例2.5】 证明：对于函数，有：
，而不存在．
证　因，故，
同理．
另一方面，若令，．

若令，则，故不存在．

2.3　多元函数的连续性
让自变量分别有增量，引起函数有全增量

容易看出

我们给二元函数在一点连续的定义如下．
定义2.2　设是定义在上的二元函数，是的聚点且，如果，则称函数在点连续，称为函数的连续点；否则称在是间断的，称为函数的间断点．
函数在一点的连续性也可用“”语言描述：

如果函数在内的每一点都连续，则称在内连续，或称为中的连续函数．
若区域是闭区域，则当在内的每一点都连续，且对于边界上的点满足
，
则称在闭区域上是连续的．
定义2.2′设是定义在上的二元函数，是的聚点且．若在处，自变量各自取得增量，，则相应的函数取得增量，若
，
则称为函数的连续点．
定义2.n　设是定义在上的n元函数，是的聚点且，()如果，则称函数在点连续，称为函数的连续点；否则称在是间断的，称为函数的间断点．
函数在一点的连续性也可用“”语言描述：

如果函数在内的每一点都连续，则称在内连续，或称为中的连续函数．
若区域是闭区域，则当在内的每一点都连续，且对于边界上的点满足
，
则称在闭区域上是连续的．
对于多元函数，除可能存在间断点外，还可能存在间断线，间断面等．
多元连续函数的运算法则及多元函数的连续性与一元函数相同：
多元连续函数的和、差、积、商（分母函数不为零处）仍是连续函数，多元连续函数的复合函数也仍是连续函数．
多元初等函数在其定义域内是连续的．
（题目（考点）：给定，证明在不连续。
方法总结：凑一个函数（比如说），如果且与有关，则不存在，从而在不连续。）
下面我们不加证明地给出有界闭区域上的多元连续函数的几个性质，其分别与有界闭区间上的一元连续函数的性质相对应：
定理2.1(有界性)　有界闭区域上的多元连续函数在此闭区域上是有界的．
定理2.2(最大值最小值定理) 有界闭区域上的多元连续函数在此区域上必存在最大值和最小值．
定理2.3(介值定理) 有界闭区域上的多元连续函数，对于介于其最大值和最小值之间的任意值，必存在闭区域上的一点，使得．
【例2.6】 讨论的连续性．

解　显然，当，时，连续．故的所有间断点是一系列以为半径的同心圆上的点的集合．
思考题：
（测）5．如果一元函数在处连续，在处连续，那么二元函数在点是否必然连续？（否。例如在(0,0)点）。反之是否成立？（是）

*定义2.3　设在区域上有定义．如果对，，若, ，当时，总有成立，则称在上一致连续．
即　当
（或，）
时，都有，则称在上一致连续．
*定理2.4(一致连续性)　设为有界闭区域，若是上的连续函数，则在上一致连续．

习题9-2
A类
1．求下列函数的极限：
(1) ；　　　 (2) ；
(3) ； (4) ；
(5)；　　 (6)．
解 （5）
，而，所以，从而。。
2．证明下列极限不存在．
(1) ；　 (2)．
证 （2）当时，

与k有关。故，不存在．
3．设，求出函数的定义域，并讨论函数的连续性．

解 函数的定义域：。
（1）在点。由于，又，所以。

又，因此，在点连续。
（2）在点。由于，所以。在点连续。
（3）在点无定义，是不连续的。
根据初等函数的连续性，在定义域内的其他点都是连续的。
在其定义域内都是连续的。
B类
1．设函数在的一个去心邻域内有定义且，且，证明．（提示：用局部保号性反证。）
2．讨论函数的连续性．
3．证明函数 在点沿过此点的每一条射线（）连续，即．但函数在点不连续．
证 如果，
。
如果，。
当时，与k有关，所以不存在，从而在点不连续．
*4．设函数关于自变量连续，又存在常数，使得对于任意两点，，有，证明函数连续．