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七年级上册数学压轴题(含答案).docx

1、七年级上册 数学压轴题参考答案与试题解析一解答题(共 22 小题)1(2021 秋普陀区期末)如图 1,长方形纸片 ABCD(ADAB),点 O 位于边 BC 上,点 E 位于边 AD 上,将纸片沿 OE 折叠,点 C、D 的对应点分别为点 C、D(1) 当点 C与点 A 重合时,如图 2,如果 AD12,CD8,联结 CE,那么CDE 的周长是 20 ;(2) 如果点 F 位于边 AB 上,将纸片沿 OF 折叠,点 B 的对应点为点 B当点 B恰好落在线段 OC上时,如图 3,那么EOF 的度数为 90 ;(直接填写答案)当BOC20时,作出图形,并写出EOF 的度数.【分析】(1)证明 D

2、E+ECAD12,可得结论;(2)利用角平分线的定义以及平角的性质解决问题即可;分两种情形,分别画出图形,利用角平分线的定义,平角的性质解决问题即可【解答】解:(1)如图 2 中,点 C与点 A 重合时,由翻折的性质可知,EAEC,DE+ECDE+EAAD12,CDE 的周长DE+EC+CD12+820 故答案为:20;第31页(共31页)(2)如图 3 中,由翻折的性质可知,BOFBOF,EOCEOC,BOC180,EOFEOB+FOB (COB+BOB) BOC90 故答案为:90;如图 41 中,当 OB值 OC的下方时,BOC20,BOB+COC18020160,FOB BOB,EOC

3、 COC,FOB+EOC 16080,EOFFOB+EOC+BOC100 如图 42 中,当 OB在 OC的上方时,BOC20,BOB+COC180+20200,FOB BOB,EOC COC,FOB+EOC 200100,EOFFOB+EOCBOC80 综上所述,EOF 的度数为 100或 802(2021 秋浦东新区期末)生活中,有人喜欢把传送的便条折成“”形状,折叠过程按图、的顺序进行(其中阴影部分表示纸条的反面):如果由信纸折成的长方形纸条(图)长为 26 厘米,分别回答下列问题:(1) 如果长方形纸条的宽为 2 厘米,并且开始折叠时起点 M 与点 A 的距离为 3 厘米,那么在图中,

4、BE 21 厘米;在图中,BM 15 厘米(2) 如果长方形纸条的宽为 x 厘米,现不但要折成图的形状,而且为了美观,希望纸条两端超出点 P 的长度相等,即最终图形是轴对称图形,试求在开始折叠时起点 M 与点 A 的距离(结果用 x 表示)【分析】(1)观察图形,由折叠的性质可得,BE纸条的长宽AM,BM 的长等于中 BE 的长2 个宽;(2)根据轴对称的性质,由图可得 APBM,继而可求得在开始折叠时起点 M 与点 A 的距离【解答】解:(1)图中 BE263221(厘米),图中 BM212315(厘米)故答案为:21,15;(2)图为轴对称图形,APBM ,AMAP+PM +x13 x即开

5、始折叠时点 M 与点 A 的距离是厘米3(2020 秋虹口区期末)如图,在边长为 6 的正方形 ABCD 内部有两个大小相同的长方形 AEFG、HMCN,HM与 EF 相交于点 P,HN 与 GF 相交于点 Q,AGCMx,AECNy(1) 用含有 x、y 的代数式表示长方形 AEFG 与长方形 HMCN 重叠部分的面积 S 四边形 HPFQ,并求出 x 应满足的条件;(2) 当 AGAE,EF2PE 时,AG 的长为 4 四边形 AEFG 旋转后能与四边形 HMCN 重合,请指出该图形所在平面内能够作为旋转中心的所有点,并分别说明如何旋转的【分析】(1)依据 PHHMPMy(6y)2y6,P

6、FEFPEx(6x)2x6,即可得到 S 四边形HPFQ(2x6)(2y6)4xy12x12y+36,x 应满足的条件是:3x6;(2)当 AGAE,EF2PE 时,四边形 AEFG、四边形 MCNH 都是正方形,点 P 为 EF 的中点,据此可得 AGEF AD;依据四边形 AEFG、HMCN 都是正方形,点 P 既是 EF 的中点也是 HM 的中点,点 Q 既是 GF的中点也是 HN 的中点,联结 HF、PQ,设交点为点 O,那么该图形所在平面上可以作为旋转中心的点为点 O、点 P、点 Q【解答】解:(1)由题意可得:PMBEABAE6y,那么 PHHMPMy(6y)2y6, PEBMBC

7、CM6x,那么 PFEFPEx(6x)2x6, 所以重叠部分长方形 HPFQ 的面积为:S 四边形 HPFQ(2x6)(2y6)4xy12x12y+36,x 应满足的条件是:3x6;(2)当 AGAE,EF2PE 时,四边形 AEFG、四边形 MCNH 都是正方形,点 P 为 EF 的中点,EPPFGD,AGEF AD4, 故答案为:4;可以发现此时四边形 AEFG、HMCN 都是正方形,点 P 既是 EF 的中点也是 HM 的中点,点 Q 既是 GF 的中点也是 HN 的中点联结 HF、PQ,设交点为点 O,那么该图形所在平面上可以作为旋转中心的点为点 O、点 P、点 Q四边形 AEFG 绕

8、着点 O 逆时针方向(或顺时针方向)旋转 180 度可与四边形 HMCN 重合;四边形 AEFG 绕着点 P 顺时针方向旋转 90 度(或逆时针方向旋转 270 度)可与四边形 HMCN 重合; 四边形 AEFG 绕着点 Q 逆时针方向旋转 90 度(或顺时针方向旋转 270 度)可与四边形 HMCN 重合4(2021 秋宝山区期末)数学兴趣小组的同学发现:一些复杂的图形运动是由若干个图形基本运动组合形成的,如一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移,这样的一种图形运动,大家讨论后把它称为图形的“翻移运动”,这条直线则称为(这次运动的)“翻移线”如图 1,A2B2C2 就是由ABC 沿直

9、线 l 翻移后得到的,(先翻折,然后再平移)(1) 在学习中,兴趣小组的同学就“翻移运动”对应点(指图 1 中的 A 与 A2,B 与 B2)连线是否被翻移线平分发生了争议对此你认为如何?(直接写出你的判断)(2) 如图 2,在长方形 ABCD 中,BC8,点 E,F 分别是边 BC,AD 中点,点 G 在边 CD 延长线上,联结 AE, FG,如果GDF 是ABE 经过“翻移运动”得到的三角形请在图中画出上述“翻移运动”的“翻移线”直线a:联结 AG,线段 AG 和直线 a 交于点 O,若OGF 的面积为 3,求此长方形的边长 AB 的长(3) 如图 3,M 是(2)中的长方形边 BC 上一

10、点,如果 BM1,ABM 先按(2)的“翻移线”直线 a 翻折, 然后再平移 2 个单位,得到A1B1M1,联结线段 AA1、MM1,分别和“翻移线”a 交于点 K 和点 H,求四边形AKHM 的面积【分析】(1)画出图形,即可得出结论;(2) 作直线 EF,即为“翻移线”直线 a,再由“翻移运动”的性质和三角形面积关系求解即可;(3) 分两种情况:ABM 先按(2)的“翻移线”直线 a 翻折,然后再向上平移 2 个单位,ABM 先按(2)的“翻移线”直线 a 翻折,然后再向下平移 2 个单位,由“翻移运动”的性质、梯形面积公式和三角形面积公式分别求解即可【解答】解:(1)如图 1,连接 AA

11、2,BB2,则“翻移运动”对应点(指图 1 中的 A 与 A2,B 与 B2)连线被翻移线平分;(2) 作直线 EF,即为“翻移线”直线 a,如图 2 所示:四边形 ABCD 是长方形,ABCD,ADBC8,由“翻移运动”的性质得:ABDCGD,AFDFAD4,O 是 AC 的中点,SAOFSOGF3,SAFC2SOGF6,AFDF,SCDFSAFC6,SCDF DGDF DG46,DG3,AB3;(3) 分两种情况:ABM 先按(2)的“翻移线”直线 a 翻折,然后再向上平移 2 个单位,如图 3 所示:设ABE 翻折后的三角形为DCP,连接 PM1, 则 A1DB1CM1P2,同(2)得:

12、KF A1D1,HE M1P1,BE4,BM1,MEBEBM3,四边形 AKHM 的面积梯形 ABEK 的面积ABM 的面积HME 的面积(3+3+1)4 31 3111;ABM 先按(2)的“翻移线”直线 a 翻折,然后再向下平移 2 个单位,如图 4 所示:设ABE 翻折后的三角形为DCP,连接 PM1, 则 A1DB1CM1P2,同(2)得:KF A1D1,HE M1P1,BE4,BM1,MEBEBM3,四边形 AKHM 的面积梯形 AFEM 的面积AFK 的面积+HME 的面积(3+4)3 41+ 3110;综上所述,四边形 AKHM 的面积为 11 或 105(2020 秋普陀区期末

13、)如图,已知三角形 ABC 中,B90,将三角形 ABC 沿着射线 BC 方向平移得到三角形 DEF,其中点 A、点 B、点 C 的对应点分别是点 D、点 E、点 F,且 CEDE(1) 如图,如果 AB4,BC2,那么平移的距离等于 6 ;(请直接写出答案)(2) 在第(1)题的条件下,将三角形 DEF 绕着点 E 旋转一定的角度(0360),使得点 F 恰好落在线段 DE 上的点 G 处,并联结 CG、AG请根据题意在图中画出点 G 与线段 CG、AG,那么旋转角 等于 90或 270 ;(请直接写出答案)(3) 在图中,如果 ABa,BCb,那么此时三角形 ACG 的面积等于 ;(用含

14、a、b 的代数式表示)(4) 在第(3)小题的情况下,如果平移的距离等于 8,三角形 ABC 的面积等于 6,那么三角形 ACG 的面积等于 20 ;(请直接写出答案)如果平移距离等于 m,三角形 ABC 的面积等于 n,那么三角形 ACG 的面积等于 2n (用含 m、n 的代数式表示,请直接写出答案)【分析】(1)由平移的性质可得ABCDEF,可得 ABDE4CE,即可求解;(2) 由旋转的性质直接可求解;(3) 由“SAS”可证ABCCEG,可得 ACCG,BACGCE,可证ACG 是等腰直角三角形,由勾股定理和三角形面积公式可求解;(4) 由完全平方公式可求 BC2+AB2 的值,由勾

15、股定理和等腰直角三角形的面积公式可求解【解答】解:(1)将ABC 沿着射线 BC 方向平移得到DEF,ABCDEF,ABDE4,CEDE,CE4,平移距离BC+CE4+26, 故答案为:6;(2) 如图,点 G 为所求点,DEF 绕着点 E 顺时针旋转 270或DEF 绕着点 E 逆时针旋转 90, 故答案为:90或 270;(3) 如图,由折叠可知:GEEF, 又ABCE,ABCCEG90,ABCCEG(SAS),ACCG,BACGCE,BAC+ACB90,ACB+GCE90,ACG90,ACG 是等腰直角三角形,ABa,BCb,AC ,SACG AC2 , 故答案为:;(4) 若平移的距离

16、等于 8,三角形 ABC 的面积等于 6,BC+CE8, ABBC6,ABCEDE,BC+AB8,ABBC12,BC2+AB2+2ABBC64,BC2+AB240,AC2BC2+AB2,AC240,ACG 是等腰直角三角形,SACG AC220;若平移距离等于 m,三角形 ABC 的面积等于 n,BC+CEm, ABBCn,ABCEDE,BC+ABm,ABBC2n,BC2+AB2+2ABBCm2,BC2+AB2m24n,AC2BC2+AB2,AC2m24n,ACG 是等腰直角三角形,SACG AC2 2n, 故答案为:20,2n6(2019 秋金山区期末)如图一,已知在 RtABC 中,C90

17、,BCAC3,在 RtDEF 中,DFE90,EFDF5,点 B、F 重合,点 C、F、B、E 在同一直线上现将ABC 沿 FE 方向平移(1) 如图二,若平移距离为 1.2,求四边形 ACFG 的面积(2) 若平移距离为 x(0x5),设ABC 与DEF 的重叠部分的面积 y,那么 y 与 x 有怎样的数量关系【分析】(1)根据梯形面积即可解决问题;(2)分两种情况即可解决问题【解答】解:(1)根据题意可知:四边形 ACFG 的面积(1.2+3)(31.2)3.78;(2)当 0x3 时,yx2;当 3x5 时,y33 7(2019 秋黄浦区校级期末)若 x 满足(9x)(x4)4,求(4x

18、)2+(x9)2 的值解:设 9xa,x4b,则(9x)(x4)ab4,a+b(9x)+(x4)5,(9x)2+(x4)2a2+b2(a+b)22ab522417请仿照上面的方法求解下面问题:(1)若 x 满足(5x)(x2)2,求(5x)2+(x2)2 的值(2)已知正方形 ABCD 的边长为 x,E,F 分别是 AD、DC 上的点,且 AE1,CF3,长方形 EMFD 的面积是48,分别以 MF、DF 作正方形,求阴影部分的面积【分析】(1)设(5x)a,(x2)b,根据已知等式确定出所求即可;(2)设正方形 ABCD 边长为 x,进而表示出 MF 与 DF,求出阴影部分面积即可【解答】解

19、:(1)设(5x)a,(x2)b,则(5x)(x2)ab2,a+b(5x)+(x2)3,(5x)2+(x2)2(a+b)22ab32225;(2)正方形 ABCD 的边长为 x,AE1,CF3,MFDEx1,DFx3,(x1)(x3)48,(x1)(x3)2,阴影部分的面积FM2DF2(x1)2(x3)2设(x1)a,(x3)b,则(x1)(x3)ab48,ab(x1)(x3)2,(a+b)2(ab)2+4ab4+448196a+b14a8,b6,a+b14,(x1)2(x3)2a2b2(a+b)(ab)14228即阴影部分的面积是 288(2019 秋黄浦区校级期末)如图 1,长方形纸片 A

20、BCD 的两条边 AB、BC 的长度分别为 a、b(0ab),小明它沿对角线 AC 剪开,得到两张三角形纸片(如图 2),再将这两张三角纸片摆成如图 3 的形状,点 A、B、D、 E 在同一条直线上,且点 B 与点 D 重合,点 B、F、C 也在同一条直线上(1) 将图 3 中的ABC 沿射线 AE 方向平移,使点 B 与点 E 重合,点 A、C 分别对应点 M、N,按要求画出图形,并直接写出平移的距离;(用含 a 或 b 的代数式表示)(2) 将图 3 中的DEF 绕点 B 逆时针方向旋转 60,点 E、F 分别对应点 P、Q,按要求画出图形,并直接写出ABQ 的度数;(3) 将图 3 中的

21、ABC 沿 BC 所在直线翻折,点 A 落在点 G 处,按要求画出图形,并直接写出 GE 的长度(用含 a、b 的代数式表示)【分析】(1)根据平移作图的步骤进行平移作图即可,观察对应点之间的距离判断即可;(2) 根据旋转作图的步骤进行旋转作图即可,计算ABQ 的度数,可以通过通过旋转作图过程,求出QBF 的度数;(3) 根据翻折作图的步骤找到 A 点的对应点 G,然后连接 CG 即可【解答】解:(1)如图 31,即为所求作找出已知图形中的相关的点 A,B,C;过这些点作与已知平移方向平行的线段,使这些平行线段的长度都等于平移的长度 b依照图形依次连接对应点,得到新的图形,这个图形就是已知图形

22、的平移图形按要求画出正确的图形平移的距离是 b(2) 如图 32,即为所求作在已知图形上找到旋转中心 B,点 C、点 A;作出这些点的对应点,对应点的找法是:以旋转中心为顶点,以 BC 为一边,向逆时针方向作角的另一边,使这些角等于 60 度,且使另一边长度都等于对应线段到旋转中心的长度, 在这些“另一边“的端点 P 就是点 C 的对应点;同理找到点 A 的对应点 Q顺次连接对应点 P、Q、BABC90,又BQ 是由 BF 绕点 B 逆时针旋转 60得到的QBF60ABQABCQBF906030(3) 以点 B 为圆心,以 BA 长为半径作弧,交 BE 与点 G,连接 CG,CGB 即为所求的

23、图形如图 33:由题意知 BEb,ABaCGB 是由CAB 翻折而来,BABGa,GE 的长度是 BEBG(ba)9(2013 秋浦东新区期末)贾宪三角如图,最初于 11 世纪被发现,原图载于我国北宋时期数学家贾宪的著作中这一成果比国外领先 600 年!这个三角形的构造法则是:两腰都是 1,其余每个数为其上方左右两数之和它给出(a+b)n(n 为正整数)展开式(按 a 的次数由大到小的顺序排列)的系数规律例如,在三角形中第三行的三个数 1,2,1,恰好对应着(a+b)2a2+2ab+b2 的展开式中的系数;第四行的四个数 1,3,3,1,恰好对应着(a+b)3a3+3a2b+3ab2+b3 展

24、开式中的系数;等等(1)请根据贾宪三角直接写出(a+b)4、(a+b)5 的展开式:(a+b)4 a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 (a+b)5 a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 (2)请用多项式乘法或所学的乘法公式验证你写出的(a+b)4 的结果【分析】(1)根据系数规律,由题意展开即可;(2)利用多项式乘以多项式,以及完全平方公式计算,即可得到结果【解答】解:(1)(a+b)4a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4;(a+b)5a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5;(2)(a+b)4(a+b)2(a+b)2(a2+b2+2ab)

25、(a2+b2+2ab)a4+a2b2+2a3b+a2b2+b4+2ab3+2a3b+2ab3+4a2b2a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4故答案为:(1)a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4;a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b510(2019 秋宝山区期末)已知:如图长方形纸片 ABCD 中,ABAD将长方形纸片 ABCD 沿直线 AE 翻折,使点 B 落在 AD 边上,记作点 F,如图(1) 当 AD10,AB6 时,求线段 FD 的长度;(2) 设 AD10,ABx,如果再将AEF 沿直线 EF 向右起折,使点 A 落在射线 FD 上,记作点 G,若线段

26、 FD DG,请根据题意画出图形,并求出 x 的值;(3) 设 ADa,ABb,AEF 沿直线 EF 向右翻折后交 CD 边于点 H,联结 FH,当时,求的值【分析】(1)根据折叠的性质可得 AFAB6,从而求出结论;(2) 根据点 G 的位置分类讨论,分别画出对应的图形,根据折叠的性质分别用 x 表示出 FD 和 DG,根据题意列出方程即可求出结论;(3) 过点 H 作 HMEF 于 M,根据用 a 和 b 表示出 SHFE 和 S 四边形 ABCD,结合已知等式即可求出结论【解答】解:(1)由折叠的性质可得 AFAB6,AD10,FDADAF4;(2) 若点 G 落在线段 FD 上时,如图

27、 1 所示,由折叠的性质可得:FGAFABx,FDADAF10x,DGFDFG102x,FD DG,10x (102x),解得:x ;若点 G 落在线段 FD 的延长线上时,如图 2 所示,由折叠的性质可得:FGAFABx,FDADAF10x,DGFGFD2x10,FD DG,10x(2x10),解得:x ;综上:x 或;(3) 如图 3 所示,过点 H 作 HMEF 于 M,HMFD,由题意可知:AFABb,EFABb,FDADAFab,HMab,SHFEEFHMb(ab),S 四边形 ABCDADABab, ,整理可得:3a4b, 11(2019 秋普陀区期末)如图,正方形 ABCD,点

28、M 是线段 CB 延长线上一点,联结 AM,ABa,BMb(1) 将线段 AM 沿着射线 AD 方向平移,使得点 A 与点 D 重合用代数式表示线段 AM 扫过得平面部分得面积 a2 (直接写出答案)(2) 将三角形 ABM 绕着点 A 旋转,使得 AB 与 AD 重合,点 M 落在点 N,联结 MN用代数式表示三角形 CMNa2 b2 的面积 (直接写出答案)(3) 将三角形 ABM 顺时针旋转,使旋转后的三角形有一边与正方形的一边与正方形的一边完全重合(第(2) 小题的情况除外)请在图中画出符合条件的三种情况,并写出相应的旋转中心和旋转角【分析】(1)根据平移的性质和平行四边形的面积计算即

29、可;(2) 根据三角形的面积计算即可;(3) 根据旋转的性质画出图形得出旋转中心和角度即可【解答】解:(1)ADDCa2,故答案为:a2;(2)MCNC(a+b)(ab)a2b2,故答案为:a2 b2,(3)如图 1,旋转中心:AB 边的中点为 O,顺时针 180, 如图 2,旋转中心:点 B;顺时针旋转 90如图 3,旋转中心:正方形对角线交点 O;顺时针旋转 90,;12(2020 秋浦东新区期末)如图 1,图 2,图 3 的网格均由边长为 1 的小正方形组成,图 1 是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制的“弦图”,它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成,赵爽利用这个“弦图”对勾股定理作出

30、了证明,是中国古代数学的一项重要成就,请根据下列要求解答问题(1) 图 1 中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是 中心 对称图形(填“轴”或“中心”)(2) 请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换,在图 2,3 的方格纸中设计另外两个不同的图案,画图要求:每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上,且四个三角形互不重叠,不必涂阴影;图 2 中所设计的图案(不含方格纸)必须是轴对称图形而不是中心对称图形;图 3 中所设计的图案(不含方格纸)必须既是轴对称图形,又是中心对称图形【分析】(1)利用中心对称图形的意义得出答案即可;(2)每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上,且四个三角形

31、不重叠,是轴对称图形;所设计的图案(不含方格纸)必须是中心对称图形或轴对称图形画出图【解答】解:(1)图 1 中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是中心对称图形故答案为:中心;(2)如图 2 是轴对称图形而不是中心对称图形;图 3 既是轴对称图形,又是中心对称图形13(2019 秋浦东新区期末)在初中数学学习阶段,我们常常会利用一些变形技巧来简化式子,解答问题 阅读材料:在解决某些分式问题时,倒数法是常用的变形技巧之一所谓倒数法,即把式子变成其倒数形式,从而运用约分化简,以达到计算目的例:已知:,求代数式 x2+的值解:因为 ,所以 4 即 x+4,所以 x2+216214 根据材料回答问题

32、(直接写出答案):(1) ,则 x+ 3 (2)解分式方程组,解得方程组的解为【分析】(1)根据题目中的例子,将题目中的分子分母的位置颠倒,然后化简即可求得所求式子的值;(2)根据题目中的例子,对所求式子化简变形,即可求得分式方程组的解【解答】解:(1), 2,x1+ 2,x+ 3, 故答案为:3;(2), 化简,得,即,令 ,则得, 解得, 故,故答案为:14(2019 秋奉贤区期末)如图,在长方形 ABCD 中,AB8cm,BC10cm,现将长方形 ABCD 向右平移 xcm,再向下平移(x+1)cm 后到长方形 ABCD的位置,(1) 当 x4 时,长方形 ABCD 与长方形 ABCD的

33、重叠部分面积等于 18 cm2(2) 如图,用 x 的代数式表示长方形 ABCD 与长方形 ABCD的重叠部分的面积(3) 如图,用 x 的代数式表示六边形 ABBCDD 的面积【分析】(1)表示出重叠部分的长与宽,然后根据长方形的面积公式列式整理,将 x4 代入解答即可;(2) 表示出重叠部分的长与宽,然后根据长方形的面积公式列式整理即可;(3) 利用平移前后的长方形的面积的和加上两个正方形的面积,然后再减去重叠部分的面积列式进行计算即可得解【解答】解:(1)AB8cm,BC10cm,重叠部分的长为(10x),宽为8(x+1),重叠部分的面积(10x)8(x+1)(10x)(7x)7010x

34、7x+x2x217x+70(cm2),把 x4 代入 x217x+7016174+7018(cm2),故答案为:18;(2)AB8cm,BC10cm,重叠部分的长为(10x),宽为8(x+1),重叠部分的面积(10x)8(x+1)(10x)(7x)7010x7x+x2x217x+70(cm2),(3)六边形 ABBCDD 的面积1082+x(x+1)2(x217x+70)160+x2+xx2+17x7018x+90(cm2)15(2018 秋浦东新区期末)如图,点 O 为直线 MN 上一点,过点 O 作直线 OC,使NOC60将一把直角三角尺的直角顶点放在点 O 处,一边 OA 在射线 OM

35、上,另一边 OB 在直线 MN 的下方,其中OBA30(1) 将图中的三角尺沿直线 OC 翻折至ABO,求AON 的度数;(2) 将图中的三角尺绕点 O 按每秒 10的速度沿顺时针方向旋转,旋转角为 (0360),在旋转的过程中,在第几秒时,直线 OA 恰好平分锐角NOC;(3) 将图中的三角尺绕点 O 顺时针旋转,当点 A 点 B 均在直线 MN 上方时(如图所示),请探究MOB 与AOC 之间的数量关系,请直接写出结论,不必写出理由【分析】(1)如图中,延长 CO 到 C利用翻折不变性求出AOC即可解决问题;(2) 设 t 秒时,直线 OA 恰好平分锐角NOC构建方程即可解决问题;(3)

36、分两种情形分别求解即可解决问题;【解答】解:(1)如图中,延长 CO 到 C三角尺沿直线 OC 翻折至ABO,AOCAOCCON60,AON180606060(2) 设 t 秒时,直线 OA 恰好平分锐角NOC 由题意 10t150 或 10t330,解得 t15 或 33s,答:第 15 或秒时,直线 OA 恰好平分锐角NOC;(3) 当 OB,OA 在 OC 的两旁时,AOB90,120MOB+AOC90,MOBAOC30当 OB,OA 在 OC 的同侧时,MOB+AOC120903016(2016 秋金山区校级期末)观察下列等式:1 , ,将以上三个等式两边分别相加得: 11 (1) 直

37、接写出计算结果: (2) 猜想并直接写出计算结果: + (3) 化简下列代数式(写出必要解题过程):+ 【分析】(1)根据已知的规律,分别将每一个式子写成两个分数差的形式,再计算;(2) 同(1),根据已知的规律,分别将每一个式子写成两个分数差的形式,再计算;(3) 先将分母写成两个连续奇数的乘积,再化为分数差的形式:(1),(),再计算即可【解答】解:(1)1+1;故答案为:;(2) + , + + , , , ;故答案为:;(3) + + + + , + + , (1 ), ,17(2017 秋青浦区期末)如图 1,小明将一张长为 4、宽为 3 的矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片(

38、如图 2),将这两张三角纸片摆成如图 3 的形状,但点 B、C、F、D 在同一条直线上,且点 C 与点 F 重合(在图 3至图 6 中统一用点 F 表示)小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决(1) 将图 3 中的ABF 沿 BD 向右平移到图 4 中A1FG 的位置,其中点 B 与点 F 重合,请你求出平移的距离 3 ;(2) 在图 5 中若GFD60,则图 3 中的ABF 绕点 F 按 顺时针 方向旋转 30 到图 5 的位置(3) 将图 3 中的ABF 沿直线 AF 翻折到图 6 的位置,AB1 交 DE 于点 H,试问:AEH 和HB1D 的面积大小关系说明

39、理由【解答】解:(1)图形平移的距离就是线段 BC1 的长,又在 RtABC 中,长为 4、宽为 3,BF3cm,平移的距离为 3cm; 故答案为 3(2)GFD60,AFA130,图 3 中的ABF 绕点 F 按顺时针方向旋转 30到图 5 的位置; 故答案为:F,顺时针,30(3)AHE 与DHB1 中,FAB1EDF30,FDFA,EFFBFB1,FDFB1FAFE,即 AEDB1, 又AHEDHB1,AHEDHB1(AAS),AEHHB1D18如图(1),有 A 型、B 型、C 型三种不同的纸板,其中 A 形是边长为 m 的正方形,B 型是长为 m、宽为 n的长方形,C 型是边长为 n

40、 的正方形由图(2)中四块纸板拼成的正方形的面积关系可以说明(m+n)2m2+2mn+n2成立(1) 类似地,由图(3)中六块纸板拼成的大长方形的面积关系可以说明的等式是 (m+n)(2m+n)2m2+3mn+n2 (2) 现有 A 型纸板 2 块,B 型纸板 5 块,C 型纸板 2 块,要求紧密且不重叠地拼出一个大长方形,如果纸板最多剩一块,请画出所有可能拼出的大长方形的示意图;类似地,根据所拼出的大长方形的面积关系写出可以说明的等式【分析】(1)六块纸板拼成的大长方形的宽为(m+n)、长为(2m+n),而它由 2 块 A 型、3 块 B 型、1 块 C 型组成,所以可以说明的等式是(m+n)(2m+n)2m2+3mn+n2;(2)A 型纸板 2 块,B 型纸板 5 块,C 型纸板 2 块不重叠地拼出一个大长方形可得到边长为 2m+n 与 m+2n 的长方形;若剩一块 C 型纸板,可得到边长为 2m+2n 与 m+n 的长方形【解答】解:(1)六块纸板拼成的大长方形的面积关系可以说明的等式为(m+n)(2m+n)2m2+3mn+n2;(2)图(4)中九块纸板拼成的大长方形的面积关系可以说明的等式为(2m+n)(m+2n)2m2+5mn+2n2;若剩一块 C 型纸

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