数列的通项与求和(教师版).doc

数列的通项与求和
一、选择题（每小题6分，共42分）
1.数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,则a4+a5+a6+…+a10等于（ ）
A.171 B.21 C.10 D.161
【答案】D
【解析】原式=S10-S3=2×102-3×10-(2×32-3×3)=161.
2.数列{an}的通项公式是an=，若前n项和为10，则项数n为（ ）
A.11 B.99 C.120 D.121
【答案】C
【解析】因an=，
故Sn=(-1)+(-)+…+()=-1,
由Sn=10,故n=120.
3.数列{an}的通项公式为an=4n-1,令bn=,则数列{bn}的前n项和为（ ）
A.n2 B.n(n+2) C.n(n+1) D.n(2n+1)
【答案】B
【解析】∵an=4n-1,∴数列{an}是等差数列，且a1=4-1=3,
∴bn==2n+1.
显然数列{bn}是等差数列，且b1=2+1=3，
它的前n项和Sn=b1+b2+…+bn==n(n+2).
4.数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2n-1）,…的前n项和等于（ ）
A.2n B.2n-n C.2n+1-n-2 D.n·2n
【答案】C
【解析】令n=1,排除A、D，又令n=2，排除B.选C.
5.数列1，，，，…，的前n项和等于( )
A.Sn=3-- B.Sn=3--1-
C.Sn=3-- D.Sn=3-n2n-
【答案】A
【解析】令Sn=1+++…+, ①
则Sn=++…+. ②
①-②得
∴Sn=1++…+
=1+
=.
∴Sn=3--,故选A.
或者用特殊法.
6.Sn=1++…+等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】an=,
∴Sn=2［(1-)+(-)+…+()］
=2(1-)
=.
7.(2010全国大联考，10)已知数列{an}满足an=则{an}的前2k-1项的和为( )
A.k2-k+1- B.k2+k+1-
C. D.
【答案】A
【解析】取k=1，S1=，排除B、C；取k=2,S3=,排除D。
二、填空题（每小题5分，共15分）
8.已知数列{an}的前n项和Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1(4n-3),那么S15+S22-S31的值为_________________.
【答案】-76
【解析】S15=1-5+9-13…+57=1+(9-5)+(17-13)+…+(57-53)=29,
同理可得：S22=-44，S31=61,
∴S15+S22-S31=-76.
9.(2010湖北八校模拟，14)数列{an}中，Sn是前n项和，若a1=1,an+1=Sn(n≥1),则an=__________.
【答案】an=
【解析】∵an+1=Sn, ①
∴an=Sn-1. ②
①-②得an+1-an=an,
∴(n≥2).
∵a2=S1=×1=,
∴当n≥2时，an=×()n-2.
∴an=
10.数列{an}满足a1=,a1+a2+…+an=n2an,则an=_______________.
【答案】(n∈N*)
【解析】∵a1+a2+…+an=n2an ①
∴a1+a2+…+an+an+1=(n+1)2·an+1. ②
②-①得
∴an+1=(n+1)2an+1-n2an,.
∴an=a1··…·.
三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）
11.求a+2a2+3a3+…+nan.
【解析】设S=a+2a2+3a3+…+nan.
若a=0,则S=0；
若a=1,则S=;
若a≠0,且a≠1,则S=a+2a2+3a3+…+nan, ①
aS=a2+2a3+…+(n-1)an+na n+1 ②
①-②得
（1-a）S=a+a2+…+an-nan+1
=-nan+1.
∴S=.
12.(2010湖北黄冈中学模拟，17)已知等比数列{an}中，a1=64,公比q≠1,a2,a3,a4又分别是某等差数列的第7项，第3项，第1项.
(1)求an;
(2)设bn=log2an,求数列{|bn|}的前n项和Tn.
【解析】（1）依题意有a2-a4=3(a3-a4)，
即2a4-3a3+a2=0,2a1q3-3a1q2+a1q=0，
即2q2-3q+1=0.∵q≠1,∴q=.
故an64×()n-1,
(2)bn=log2［64×()n-1］=log227-n=7-n，
∴|bn|=
n≤7时，Tn=;n＞7时，
Tn=T7+
=21+，
故Tn=
13.(2010中科大附中模拟，19)等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn,且a1,a3,a9成等比数列，S5=a52;
(1)求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的前99项的和.
【解析】(1)设数列{an}公差为d(d＞0),
∵a1,a3,a9成等比数列,
∴a32=a1a9,
(a1+2d)2=a1(a1+8d),d2=a1d. ①
∵d≠0,∴a1=d.
∵Sn=a52,
∴5a1+·d=(a1+4d)2. ②
由①②得：
a1= d=,
∴an=+(n-1)×=n.
bn=.
∴b1+b2+b3+…+b99
=［99+(1-)+(-)+…+()］
=(100-)=.
14.设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的n∈N*,都有Sn=2an-3n,
(1)求数列{an}的首项与递推关系式an+1=f(an);
(2)先阅读下面定理，若数列{an}有递推关系an+1=Aan+B,其中A、B为常数，且A≠1,B≠0,则数列{an-}是以A为公比的等比数列，请你在第（1）题的基础上应用本定理，求数列{an}的通项公式;
(3)求数列{an}的前n项和Sn.
【解析】(1)∵Sn=2an-3n,
∴Sn+1=2an+1-3(n+1).
∴an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3.
故an+1=f(an)=2an+3.
(2)∵an+1+3=2(an+3),
∴{an+3}为等比数列，首项为a1+3=6,公比为2，故an+3=6×2n-1=3×2n.
∴an=3×2n-3.
(3)Sn=a1+a2+a3+…+an
=3(2+22+…+2n)-3n
=3×2n+1-6-3n.