习题7 静电场.doc

习题7
7-1　电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点.试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)？(2)这种平衡与三角形的边长有无关系？
解: 如题7-1图示
(1) 以处点电荷为研究对象，由力平衡知：为负电荷

解得
(2)与三角形边长无关．

题7-1图 题7-2图

题7-2图
7-2　两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ，如题7--2图所示.设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量.
解: 如题7-2图示

解得

7-3　在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为＋q和－q.则这两板之间有相互作用力f，有人说，又有人说，因为f＝qE，，所以试问这两种说法对吗？为什么？f到底应等于多少？
解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为，另一板受它的作用力，这是两板间相互作用的电场力．

7-4　长l＝15.0 cm的直导线AB上均匀地分布着线密度的正电荷.试求：(1)在导线的延长线上与导线B端相距处P点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距处Q点的场强.
解： 如题7-4图所示

题7-4图
(1)在带电直线上取线元，其上电量在点产生场强为

用，, 代入得
方向水平向右
(2)同理 方向如题7-4图所示
由于对称性，即只有分量，
∵

以, ,代入得
，方向沿轴正向

7-5　(1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少？
解: (1)由高斯定理
立方体六个面，当在立方体中心时，每个面上电通量相等
∴ 各面电通量．
(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长的立方体，使处于边长的立方体中心，则边长的正方形上电通量
对于边长的正方形，如果它不包含所在的顶点，则，
如果它包含所在顶点则．
如题7-5(a)图所示．题7-5(3)图

题7-5(a)图 题7-5(b)图 题7-5 (c)图

7-6　均匀带电球壳内半径6 cm，外半径10 cm，电荷体密度为.试求距球心5cm,8 cm及12 cm的各点的场强.
解: 高斯定理,
当时，,
时，
∴ ， 方向沿半径向外．
cm时,
∴ 沿半径向外.

7-7　半径为和 ()的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和－λ，试求：(1) ；(2) ；(3) 处各点的场强.
解: 高斯定理
取同轴圆柱形高斯面，侧面积
则
对(1)
(2)
∴ 沿径向向外
(3)
∴

7-8 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为和-，试求空间各处电场强度。
解：两面间，
面外，
面外，
：垂直于两平面由面指为面

7-9　如题7-9图所示，在A，B两点处放有电量分别为＋q，－q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力做的功.
解: 如题7-9图示

∴

题7-9图　　　　　　　　　　　　　题7-10图

7-10　如题7-10图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷，两段直导线的长度和半圆环的半径都等于R.试求环中心O点处的场强和电势.
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，和段电荷在点产生的场强互相抵消，取
则产生点如图，由于对称性，点场强沿轴负方向

题7-10图

［］

(2) 电荷在点产生电势，以

同理产生
半圆环产生
∴

7-11两个平行金属板A、B的面积为200cm2，A和B之间距离为2cm，B板接地，如图7-11所示。如果使A板带上正电7.0810-7C，略去边缘效应，问：以地的电势为零。则A板的电势是多少?
A
B
a
解：如图7-11所示，设平行金属板A、B的四个面均匀带电的面电荷密度分别为
接地时
对于平行金属板A中的a点有

对于平行金属板B中的b点有

得到：，，
平行金属板A、B之间的电场强度大小为
A板的电势

7-12 两个半径分别为R1和R2（R2>R1）的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试计算：
（1）外球壳上的电荷分布及电势大小；
（2）先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势。
解: (1)内球壳带电；外球壳内表面带电则为,外表面带电为，且均匀分布，其电势

题7-12图

(2)外壳接地时，外表面电荷入地，外表面不带电，内表面电荷仍为．所以球壳电势由内球与内表面产生：

7-13 在半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为r，金属球带电Q。试求：
（1）电介质内、外的电场强度；
（2）电介质层内、外的电势；
（3）金属球的电势。
解: 利用有介质时的高斯定理
(1)介质内场强
;
介质外场强

(2)介质外电势

介质内电势

(3)金属球的电势

7-14 计算球形电容器的电容和能量。已知球形电容器的内外半径分别为R1和R2,带电量分别为Q和-Q。为简单起见，设球内外介质介电常数均为0。
R1
R2
r
o
解：，
和,
体积元
能量

电容器的电容

7-15　如题7-15图所示，，，，上电压为50 V.求：.

题7-15图
解: 电容上电量

电容与并联
其上电荷
∴