与封堵溃口有关的重物落水后运动过程的数学建模.doc

全国第七届研究生数学建模竞赛
题 目 与封堵溃口有关的重物落水后运动过程的数学建模
摘 要：
我国经常发生洪水，溃坝溃堤进而引发泥石流灾害造成国家和人民生命财产的严重损失。对封堵溃口的研究刻不容缓。
本文在对流水中物体进行受力分析的基础上完成了以下工作：
1、找出了影响重物在水中运动的关键因素：水文状况，包括水流速度、水深、水流密度；物体的入水状况，入水姿态、物体的密度、物体的形状等等；
2、通过合理假设，建立了流水中物体运动的数学模型：
垂直方向： 水平方向：
利用半时间步长中心差分的方法对建立的不同模型进行了求解；从而比较好的解决了单物体以及简单情况下两物体在水中运动轨迹求解的问题；
3、阐述了模型中参数Cl与Cd的确定过程，同时为了提高模型的适用性，对物体入水过程进行了深入的探讨，修正了试验数据，并据此对模型进行了检验，验证了模型的有效性以及改进模型的优越性；
4、针对试验中的不足，提出了使用光感应器件以及传感器来获取试验数据的方法，提高了测量数据的可靠性和实时性；
5、使用MATLAB（见附件3）平台开发了针对箱体在水中运动规律可视化的软件。 6、找出了试验所满足的相似准则提高了模型解决实际问题的效率。

目 录
题 目 与封堵溃口有关的重物落水后运动过程的数学建模 1
1．问题的重述 3
2．名词、符号说明及基本假设 4
2.1 名词符号说明 4
2.2 基本假设 5
3．问题分析 5
3.1 物体在空中的自由下落的过程 6
3.2 物体在水中下沉的过程 6
3.3 物体的入水过程 8
4．实体大方砖在流水中运动过程的模型 9
4.1 大方砖在水中的受力分析 9
4.2 运动模型I（运动方程）的建立 10
4.3 Cd和Cl的确定 10
4.4 运动方程的求解 11
5．单个重物以及两个重物连接后在水中运动过程的模型 14
5.1 对小型试验中物体运动轨迹数据的修正 14
5.2 为适应不同重物在水中运动的模型建立所需进行的修正 15
5.3 单个重物在流水中运动模型II的建立 16
5.4 两个重物水中运动模型的建立 19
5.5 模型I和模型II的比较与分析 20
5.6 通过模型的建立我们可以得到以下的结果： 22
6．对模型误差的分析以及有效性验证 26
6.1 模型的误差分析 27
6.2 模型有效性的验证 27
7．相似准则研究与试验、模型的应用 31
7.1 相似准则概述 31
7.2 本模拟试验中所满足的相似准则 31
7.3模型应用 32
8．结论与展望 35

35

1．问题的重述
与封堵溃口有关的重物落水后运动过程的数学建模
我国经常发生洪水，溃坝溃堤进而引发泥石流灾害造成国家和人民生命财产的严重损失。历年来的洪灾，尤其是最近的溃坝、泥石流险情给了我们深刻的教训：必须有效地开展封堵溃口的研究。由于溃口水流的流量和速度会比较大，在通常情况下很难在短时间之内将溃口彻底封堵，但如果通过投放重物对尚存的坝体产生一定的保护作用，就可以延缓溃坝溃堤的过程，为人民群众的撤离争取更多的时间。
利用直升飞机投放堵口组件，不仅能显著提高溃口抢险的快速反应能力，而且容易解决溃口交通不便、堵口物资缺乏等问题。 如2005年8月，美国陆军工程师团针对新奥尔良第17大街运河的防洪堤坝缺口展开修补行动时动用直升飞机向缺口处投放砂袋，终于在几日后成功封住了缺口。
显然，投入溃口的重物落水后受到溃口水流的作用会向下游漂移。为了使封堵用的重物落水后能够沉底到、并保持在预想的位置，尽可能减少无效投放，必须掌握重物落水后的运动过程，在预定沉底位置的上游一定距离投放达到一定体积和重量的重物。由于溃坝溃堤的高度危害性、不可重复性和经济损失过大，肯定无法通过相关实物试验去研究封堵用重物落在溃口后的运动过程，而只能先通过理论分析和小型试验获取相关数据的方法进行研究，特别后者具有客观、经费省、风险小、时间短、易重复、条件可以改变等优点。
由于具体情况不同，溃口的纵、横断面千差万别，而且都不是规则的矩形、梯形或V字形；溃口的底面也都不是水平或具有稳定斜率的平面，粗糙度各异；溃口各部分的流速分布肯定也是不均匀的；更值得注意的是，溃口形状和大小一般是不断变化的，流速、流量也随着水位和溃口形状的变化而变化。由于往往是就地取材，封堵用重物的形状、大小千变万化；重量、体积、面积各不相同，不可能一模一样。虽然它们都影响封堵用重物落在溃口后的运动过程和沉底后状况，但在研究前期，无论理论分析或者小型试验获取相关数据的方法都不应该考虑上述全部因素，否则只能是欲速则不达。只有在简单情况下，通过固定大多数因素、条件，只让少数因素发挥作用，才能发现事物内部的规律，揭示问题的本质。为此我们这里暂不考虑重物沉底后的稳定性，只探索重物落水后的运动规律。
即便如此，理论分析和小型试验获取相关数据的方法也无法穷尽所有的情况，做到面面俱到。所以我们设计的小型试验先选取几种重物形状、四种不同速度的稳定水流、在三种不同的高度多次重复进行投放试验。希望从大量数据的分析中发现重物在水中运动的规律，同时为机理模型的建立提供思路及检验模型用的数据。
在理论分析和小型试验数据分析的基础上，我们将根据水力学已经有的方法进行推广，同时变动试验的条件和物理、几何等参数再进行新试验。一方面可以补充原来方案的不足，另一方面使新试验更接近真实情况，验证我们已经发现的“疑似规律”和建立的数学模型，并加以改进和推广。在进一步总结后再将改进后的试验方法、手段包括测试方案、数据采集、数学模型,推广应用到野外中型试验，在获得成功并掌握重物在水中运动的规律后才能够最终应用于实际抢险行动。
附件1给出了小型试验的试件名称及相关物理、几何参数，附件2给出了相关试验方法的说明，附件3给出了相关试验工况，附件4给出了经整理归类的试验原始数据，附件5给出了相关试验部分工况的小型试验录像与截图。请根据题意、相关附件及其说明回答如下问题并完成相关数学建模。

问题1、以附录1中各单件试件为例，利用所学知识及相关参考资料分析影响重物在水中运动过程的因素，并建立大实心方砖（如图1）落水后运动过程的数学模型。
问题2、利用小型试验数据或相关数学、物理方法，建立包含上述各种因素，从而能够适应不同情况的、描述重物水中运动过程的数学模型。其中建立单个重物在水中运动过程的数学模型是必做项目，建立两个重物连接后的组件在水中运动过程的数学模型为选做项目。
问题3、对你们所建立的数学模型进行误差分析，利用相关的数学、物理概念、小型试验数据，验证你们所建立的数学模型的合理性，并根据你们的数学模型提出让堵口重物恰好在你们认为最有效位置触底的猜想和应该进行哪些新试验来验证你们的猜想。
问题4、由于水流运动非常复杂，至今一些水流现象还无法从小型试验得到，因此小型试验的结论不能任意推广到真实情况。水力学理论研究的结论是：小型试验的流动与真实情况的流动具有一定的相似性时，小型试验的结果方可用到原型中去。流动相似是指在对应点上、对应瞬时，所有物理量都成比例。具体的可以表述成几何相似、运动相似和动力相似。几何相似是指模型和原型的全部对应线形长度的比值为一常数；运动相似是指满足几何相似的流场中，对应时刻、对应点流速（加速度）的方向一致，大小成比例；动力相似是指两个运动相似的流场中，对应空间点、对应瞬时，作用在两相似几何微团上的力，方向相同、大小成比例。在几何相似的条件下，两种物理现象保证相似的条件或准则，称之为相似准则。流体力学试验中常采用的相似准则包括重力相似准则（费劳德准则）、粘性力相似准则（雷诺准则）、压力相似准则（欧拉准则）等（有关流动相似和相似准则方面的知识可参见相关流体力学资料，如浙江大学国家级精品课程--工程流体力学，网址：
（1）本题所提及的小型试验满足了什么相似准则？如何依据相似准则将本试验及你们所建立的数学模型的成果加以推广，对未来需要进行的试验和研究工作提出建议。
（2）假定溃口几何形状及水流速度与小型试验相似，溃口水深分别为3m和4m，溃口流速为4m/s和5m/s，若重物重量为1.5t，根据你们建立的数学模型求解距离水面2m投放重物时，应分别提前多远投放才能使重物沉底到预定位置？
2．名词、符号说明及基本假设
2.1 名词符号说明
2.1.1名词说明
兴波效应：是指物体在水中前进时，使水离开原来的位置产生振动、形成波浪。波是振动的传播，也是能量的传播。物体是产生振动的物体，在物体前进的时候，一部分能量传递给水，并且随着水波向外传播，能量也向外传播、在产生振动的过程中减少。从能量减少的角度，可以认为物体在运动中受到水的阻力，这种力称为兴波阻力。
湍流：液体流速达到一定值的时候，流场中出现许多小漩涡，导致流体作不规则运动，有垂直于流管方向的分速度产生的运动状态。
流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量都成比例
几何相似：模型和原型的全部对应线形长度的比值为一常数
运动相似：是指满足几何相似的流场中，对应时刻、对应点流速（加速度）的方向一致，大小成比例
动力相似：两个运动相似的流场中，对应空间点、对应瞬时，作用在两相似几何微团上的力，方向相同、大小成比例
2.1.2 符号说明

表1 符号说明

符号
代表意义
单位
g
重力加速度
m/s2
sx
物体的水平位移
m
sy
物体的垂直位移
m
vx
物体水平方向运动速度
m/s
vy
物体垂直方向运动速度
m/s
ax
物体水平方向运动加速度
m/s2
ay
物体垂直方向运动加速度
m/s2
v0
水流的速度
m/s
Cl
垂直绕流系数
无量纲
Cd
水平绕流系数
无量纲
Fl
上举力
N
Fd
水平拖曳力
N
ρ
水的比重
kg/m3
H
水深
m
h
投放高度
m
m
物体的质量
kg
Al
物体在水平面上的投影
m2

Ad
物体在法相平行于水流方向上的投影
m2

2.2 基本假设
1、投放物的运动过程划分为空气中和水中两个部分，即，将物体考虑成质点，不考虑物体在入水过程受到的水面的张力、入水过程。
2、投放物在入水前后状态不发生改变，即不发生旋转与翻滚，直到到达水底停止运动。
3、水流的方向与物体的表面垂直，水流对物体的作用只是使其发生水平的平动而不会发生转动。
4、物体的入水对水流的速度不造成影响。
5、不考虑水的粘附性。
6、物体在水中是受到水平方向和垂直方向的力的作用，而没有侧向力。
7、物体在着底时依然保持其入水姿态，而不发生翻倒现象。
3．问题分析
根据题目所述，要想建立物体在流体中的运动模型，首先要将物体的运动阶段以及各个运动阶段的受力情况进行分析，进而可以根据牛顿第二定律列出关于物体受力和速度以及加速度的运动方程，然后对所列出的方程进行求解（解析解或是数值解），从而可以得出物体在水中的运动速度或是位移，从而得出物体在水中的运动轨迹。
首先要明确物体不同阶段的受力情况以及不同的运动状态（如图1所示）：

图1.1物体在空中的下落过程图 1.2物体入水过程图 1.3物体在水中下沉的过程

图 1物体不同阶段的受力状况示意图

3.1 物体在空中的自由下落的过程
物体在空中自由下落的过程，忽略空气的阻力，物体在此过程中只受到重力的作用因此物体做的是自由落体运动。由此可以建立运动方程：
(1.1)
初始条件：
vy=0|t=0 (1.2)
由此可以得出物体在进入水面时的速度作为物体入水过程运动模型的初始条件。
3.2 物体在水中下沉的过程
在流体中的单个块体，作用在其上的作用力可分为以下几类[1]
(1)与流体——块体的相对运动无关的力(即使相对运动的速度和加速度为零，此力也不消失)；
(2)依赖于流体——块体间相对运动的，其方向沿着相对运动方向的力，即为纵向力；
(3)依赖于流体——块体间相对运动的、其方向垂直于相对运动方向的力，即为侧向力。
根据流体力学的经典理论，在流体中的物体将受到以下各种力的作用：
属于第一类的有惯性力、重力和压差力等;属于第二类的有拖曳力，附加质量力，Basest力等;属于第三类的有上举力、Mangus力和Saffman力等。第一类力中的压差力和所有的第二类、第三类力，都是来自流体的作用力，统称为相间力。而第二类统称为广义相间阻力。
因此，作用在块体上的广义力平衡方程为：
惯性力+重力+压差力+附加质量力+Basset力+Magnus力+Saffman力+拖曳力+上举力=0
假设物体为单个球体（直径为d、密度为ρp），利用已有的研究成果来研究以上这些力。作用在研究物体上的力一般有：
①重力 (1.3)
②压差力 (1.4)
其中， 为压强梯度。
③附加质量力 (1.5)
其中，相对加速度α的定义为：
(1.6)
与在真空中的运动情况不同，球体以相对加速度α(t)在流体中作加速运动时，必将带动其周围的部分流体加速。根据理想流体动力学理论，这种效应等价于颗粒具有一个附加质量。对于球形颗粒，这部分质量等于球体所排开的流体质量之半。
④Basset力 (1.7)
式中，χ为运动粘性系数。由于流体中粘性的存在，当球形颗粒速度发生变化时，即颗粒有相对加速度时，颗粒周围场不能马上达到稳定。因此，流体对颗粒的作用力不仅依赖于当时颗粒的相对速度（阻力部分），及当时的相对加速度（附加质量力），还依赖于在这之前加速度的历史，这部分力就是Basset力。
⑤Magnus力 (1.8)
若球形颗粒以角速度ω旋转，旋转轴垂直于相对速度 (v0-v)，则颗粒不仅受到一个纵向阻力，还受到一个垂直于(v0-v)及旋转轴的侧向力，其方向与(v0-v)、ω构成右手系，这种现象为马格纳斯(Magnus)效应，产生的力即为Magnus力。
⑥Saffman力 (1.9)
式中，μ为动力粘性系数。如流场有速度梯度则颗粒将受到一个附加的侧向力，这就是Saffman力。
⑦拖曳力 (1.10)
⑧上举力 (1.11)
通过以上列举的各种在流体中的物体受到的力，我们不难发现物体在流体中受力的决定因素有：
流体的流速，常以垂线平均流速v代替；流体的密度ρ；流体的动力粘滞系数μ；水深H；块体外形特征（长度a、宽度b、高度c的长方体）、顺水流方向上的长度L，等等。因此，水流作用力可表达为[1]：
F=f (v，ρ，μ，H，L，a，b，c，θ) (1.12)
可以得到以下的方程：
(1.13)
总之，物体在水中下沉的过程中：在不考虑侧向力以及翻转、滚动等姿态变化的情况下：水平方向受到的作用力是与流体与物体速度差异、自身形状等相关的一个变力Fd，因此在物体运动速度与水流速度不相等的时候，会进行变加速运动，而当物体运动速度与水流速度相等时，水平方向上受到的合力为零，这之后，物体在水平方向上将做匀速直线运动；在垂直方向上，物体受到重力和浮力，它们的合力为一个定值，同时物体在垂直方向上还将受到一个与物体运动速度的平方成正比的上举力的作用，当物体受到的重力和浮力的合力大于上举力的时候，物体将做加速度不断变化的变速运动，当物体受到的重力与浮力的合力等于上举力的时候，在垂直方向上，物体也将做匀速直线运动。
综上，如果物体在水中的运动时间足够长，物体将做水平方向和垂直方向均为匀速运动的合成匀速运动，运动方向与合力为零时刻物体末速度的方向相同。
3.3 物体的入水过程
由图1.2与图1.3可以看出，物体一旦有一部分浸入水中，就将受到与物体全部浸入水中相同种类的力的作用。但是，由于物体在下落的过程中，其浸入水的体积是一个不断变化的过程，因此，在垂直方向上，它受到的浮力也是一个不断变化的过程，这研究导致物体的速度不断变化，从而物体受到的上举力也在不停地变化，上举力的不断变化又会反作用于物体的速度变化直到物体完全没入水中；在水平方向上，由于物体浸入水的深度不断变化，法相与水流速度方向平行的表面的面积也在不断变化，因此受到的水平拖曳力也在不断的变化，物体将作变加速运动，直到物体全部浸入水中，这之后物体将按照3.2中分析的过程进行运动。
下图给出的时相同物体在不同水流速度、不同投放高度的位移试验数据图：
图 2不同流速下物体的运动轨迹 图 3不同投放高度时物体的运动轨迹
（vo=0.4m/s,h=0m）

由图2、3我们可以看出，其他条件相同，物体水平方向上的运动距离随着投放的高度增加而增加，随水流的速度增加而增加。
进一步的分析这种趋势，可以知道：
以上只是对物体在流水中的运动情况的定性分析，为了得到物体在流水中的运动模型，就需要在必要的假设前提条件下，对物体进行科学的受力分析，从而构架出物体在流水中的运动模型。并且需要对构建的模型得出满足精度要求的数值解。下一节就将针对模拟试验中的大方砖在流水中的运动进行分析从而得出实体大方砖在流水中的运动过程的模型。
4．实体大方砖在流水中运动过程的模型
4.1 大方砖在水中的受力分析
为了建立实体大方砖在流水中运动过程的模型，首先要分析实体大方砖在水中的受力情况：
根据3.1.2中的论述，物体将受到包括重力浮力等在内的8种力的作用。但是考虑到方便建模以及反映主要矛盾的需要，为了研究物体在流体中的受力以及运动轨迹，根据题设的要求以及之前的假设，我们将考虑的情况进行了简化。将物体在流水中受到的力分成两大部分：水平方向受力和垂直方向受力，其中水平方向力为水平拖曳力Fd，垂直方向为重力、浮力以及垂直上举力Fl，而其它的使得物体翻转，旋转的力以及与粘性系数相关的力在此均不予以考虑。由此可以得到简化以后的受力模型为：
F=f(v，ρ，H，a，b，c) (4.1)
其中F为作用在物体上的水平力和垂直力的合力。在此我们主要考虑的影响因素有：水流的速度v0，物体的运动速度v，水的深度H，物体形状的相关量a(宽)，b(长)，c(高)。

图 4流水中物体的受力分析

其中，水平拖曳力[1]为：
(4.2)
物体在下沉过程中受到的水体的绕流阻力为[1]：
(4.3)
重力：
(4.4)
浮力：
(4.5)
4.2 运动模型I（运动方程）的建立

根据牛顿第二定律，在垂直方向我们可以得到以下方程：
(4.6)
将式带入由此可以构建关于物体下沉过程的垂直方向的运动方程为：
(4.7)
初始条件：
如果在水面投入：

如果在距离水面一定距离投入：

由于在水平方向物体只受到水平拖曳力，因此可得力的平衡方程为：
(4.8)
将式带入可得物体在水中下沉过程中的水平方向的运动方程为：
(4.9)
4.3 Cd和Cl的确定
在上文的物体在水中的受力分析以及运动方程的建立过程中，都出现了两个十分重要的参数即所谓的垂直绕流系数Cl和水平绕流系数Cd。在许多关于物体在流体中运动的文献[1,2,4,5,6,7,9]中，也多次出现了这两个参数。根据文献中的论述，在大多数情况下，这两个参数的选取都依靠经验数据或是通过试验得到。
水平绕流系数Cd不是一个可以直接测量的参数，对于一个单个的物体，我们可以已知其它参数例如液体密度，投影面积和相对速度的情况下，基于力的平衡方程来计算物体的拖曳力，从而得到拖曳系数[8]。
根据文献[4]中的论述，Cd与物体的形状特征宽高比(a/c)有关系，在a/c =1.0时，Cd=1.05；b/s趋于无穷大时，Cd=2.05。Hoemer[6]综合了不同研究者关于长方体的拖曳力系数Cd随长高比b/c变化关系的研究成果，表明：在0< b/c <2.0时，其拖曳力系数近似为定值2.0；在2.04．0后，随长高比的增加，压强作用力系数缓慢减小，但由于块体长度的增加使得摩擦阻力持续增大，在b/c数值较大(b/c>4．0)时，由摩擦力和压强作用力组成的合力(拖曳力)系数将略微增加。
而本文中的宽高比在某些情况下符合在a/c =1.0，b/c基本符合b/c<2，因此对于本文中的情况，Cd的取值应为2.0。但是在大多数条件下，并不符合这个条件，因此考虑要得出计算Cd的公式而不是直接带入经验值。
有文献[5]中可知，
(4.10)
(4.11)
在文献[5]中，=0.78，=27.6，=1，，，将其代入得求的，的大小分别为
=0.26
=9.57
4.4 运动方程的求解
由于所列出的运动方程是非齐次，而且是非线性的，因此给解析表达式的求解带来了一定的困难因此我们采用半时间步长中心差分法，使用差分方程代替运动方程，解出了方程的数值解。我们注意到在文献[5]中对相类似的运动方程进行了解析求解，得到的是关于速度的方程，但是在使用这一结果对距离进行求解的时候就会需要求解一个比较复杂的积分，而且在后文中我们在对模型进行改善的时候，即加入物体落水过程的讨论的时候，运动方程的求解就无法利用这个解析解了，因此为了方便今后模型的进一步完善，我们使用了利用差分方程代替微分方程的方法对运动方程进行了求解。而并非直接引用文献中的现成的解析解。
物体的初始速度作为运动方程的初始条件，由于水深H是有限的，因此，物体在水中不可能无限制的运动下去，为了求得物体在水平方向上的位移sx，实际上就是我们最关心的问题：投掷的物体是否能够到达预定的位置，我们需要判断在什么时刻物体将触底，从而结束在水中的运动过程。因此需要判断物体在垂直方向上的运动距离何时达到水深，并以此作为终了条件，算出相应时刻物体水平运动的距离sx。
停止计算判断条件：
当物体的垂直运动距离达到水深H时，即：时，物体停止运动，
此时
(4.12)
由此可以得到物体水平位移sx。
4.4.1 垂直方向
垂直方向差分方程：
(4.13)
对于以上方程我们不方便直接求解，因此我们采用中心差分方式计算：
(4.14)
(4.15)
由于以上差分方程是一个二次方程不便于直接求解，因此采用半时间步的方法进行处理：
对于n+1/2 时刻：
(4.16)
解方程得：
(4.17)
同样的方法可以得到n+1 时刻的：
(4.18)
抛掷物水中的垂直运动距离
写成差分格式为：
(4.19)
垂直方向差分方程求解流程图：

图 5差分方程求解流程图(垂直方向)
4.4.2 水平方向
水平方向运动方程：
(4.20)
通过对比发现水平方向上的运动方程与垂直方向上的运动方程形式基本一致，我们按照垂直方向差分方程的处理方法得到水平方向上的运动差分方程：
n+1/2 时刻：
(4.21)
n+1 时刻的：
(4.22)
抛掷物水平方向上的运动距离
写成差分格式为：
(4.23)
(4.24)
水平方向差分方程求解流程图：

图 6差分方程求解流程图(水平方向)
5．单个重物以及两个重物连接后在水中运动过程的模型
5.1 对小型试验中物体运动轨迹数据的修正
5.1.1 由于拍摄角度引起的误差
为了通过利用小型试验数据得到重物在流水中的运动特性，必须首先获得小型试验中重物在流水中的运动轨迹。（修正后数据见附录1）（注：在做变换时出现的负值通过平移到0点的方法进行处理。）
如附录2所述，高清摄像机的镜头中心与刻度尺区域相距1.2m，镜头中心的水平坐标分别为25cm和20cm。组件下沉运动轨迹所在表面与刻度尺区域的距离为20cm，因此，只有物体运动到坐标点为25cm和20cm时，摄像机所拍摄到的物体的坐标对应物体的真实位置，除此以外，所有拍摄到的坐标均不能真实反映物体的位置。如图7所示：

图 7摄像机拍摄位置坐标误差Δ

由图7可知，由于摄像机角度的问题，下沉物体的真实位置E与拍摄到的位置C存在一个距离误差Δ，要想得到下沉物体真实的运动轨迹，必须得到任意时刻下沉物体的真实位置。由图可知，ΔABC与ΔADE相似，于是AB/AD=BC/DE=1.2/1.4，在以AD为轴线，AE为母线的锥面上均满足这一比例关系，因此物体的横纵坐标都满足这一比例关系。由于摄像器镜头的中心坐标已知（25，20）由此可以求得对应于每一拍摄到的下沉物体位置的真实位置坐标。
实际上水的折射率也会影响测量摄像机拍摄的准确度，但是由于
(5.1)
其中，θo为折射角，θi为入射角，n为折射率

如果将折射因素考虑在内，由于sinθ0随时间的变化是非线性的，因此需要逐时刻求解物体由于折射因素而发生的观察偏移，这样将会大大增加模型的复杂程度，不便进行工程实践。
5.1.2数据中存在的不合理数据的剔除
附件中给出了在试验过程中物体在水流中的位置坐标随时间变化的数据。包括横坐标变化和纵坐标变化。但是，经过仔细的数据处理，发现有的数据中存在有以下明显的错误：
相邻两时刻的水平位移差与时间的比值所得到的速度值大于水流的速度，这一现象明显违反常理，水流作为物体在水流中水平运动的唯一力的来源使得物体在水平方向即沿着水流方向的速度不会大于水流的速度，通过水平拖曳力的计算公式也可以很清楚的观察到这一点，水平拖曳力的大小与物体相对于水流的速度成正比，当物体运动的速度达到水流的速度时，物体在水平方向的合力为零，速度将不会发生变化，因此，物体的水平运动速度不会超过水流的速度；
物体的在入水后，连续时刻的速度变化不单调，这样的数据显然也是有悖常理的，因为根据之前的分析，开始时，物体在水中无论是水平方向还是垂直方向进行的都是变加速运动，水平速度的变化趋势是不断增加的，直至水平方向合力为零。
在使用模型与试验数据进行验证的时候，我们将舍弃如下图所示的这种不可靠的数据组。

图 8不可靠试验数据举例

如图8所示34(1)的数据中存在许多速度随着时间跳跃的情况，根据之前的分析这种情况在实际中时不会出现的，而且其中大部分时刻，物体运动速度超过水流速度的情况。因此，在所给的实验数据中确实存在有不可靠的现象。
5.2 为适应不同重物在水中运动的模型建立所需进行的修正
对于不同的重物，影响其在流水中运动轨迹的因素主要为重物的材料和形状。物体的材料影响其在水中受到的浮力的大小，决定其在水中的运动时间，而物体的形状则不仅影响物体在水中的垂直受力，即垂直上举力的大小同时也影响水平拖曳力的大小，决定着物体在水平方向上运动距离的长短。为了使得我们所提出的模型可以适应于不同的投掷物体，我们将根据投掷物品的不同形状以及投放的姿态给出相应的需要在模型中改动的参数，读者可以通过改变这些相应的参数来获得不同物体在水中运动的数学模型，通过方程的求解得到物体的运动轨迹以及各个时刻物体的运动速度。

表2不同物体入水后需要进行的参数修正（Ad，Al）
物体形状
大空心方砖
大实心方砖
放置方式
平
立
竖
平
立
竖
Ad(mm2)
3200
4800
3200
3200
6400
3200
Al(mm2)
4800
3200
3200
6400
3200
3200
物体形状
小空心方砖
小实心方砖
放置方式
平
立
竖
平
立
竖
Ad(mm2)
800
1200
800
800
1600
800
Al(mm2)
1200
800
800
1600
800
800
物体形状
大空心蜂巢
大实心蜂巢
放置方式
平
立
竖
平
立
竖
Ad(mm2)
2165
4532
2165
2165
6495
2165
Al(mm2)
4532
2165
2165
6495
2165
2165
物体形状
小空心蜂巢
小实心蜂巢
放置方式
平
立
竖
平
立
竖
Ad(mm2)
520
1133
520
520
1624
520
Al(mm2)
1133
520
520
1624
520
520
物体形状
小三角锥
大三角锥
Ad(mm2)
708
2832
Al(mm2)
708
2832

注：在计算三角锥的投影面积的时候，因为不考虑投放姿态，所以用最大投影面积与最小投影面积的平均值来表征三角锥的投影面积。
其中：三角锥的最小投影面积为（l为正四面体的棱长）最大投影面积为
因此，记投影面积等于平均投影面积为
5.3 单个重物在流水中运动模型II的建立
5.3.1 将物体的入水过程考虑在内
为了使模型更加接近实际情况，特别增加了对物体入水过程的考虑，可以想象由于在入水过程中，浮力并没有直接达到最大而是一个逐渐增加的过程，因此物体在水中运动的时间将有所减少。
于是物体在从底面一接触水面开始，分为两个过程：
(1)过程一、浮力不断增大的阶段
根据受力分析得到的物体运动方程为：
垂直方向：
(5.2)
其中
将上述运动方程按照之前采用半时间步长方法得到以下差分方程：
n+1/2 时刻：
(5.3)
n1 时刻：
(5.4)
垂直运动距离：
(5.5)
(5.6)
水平方向：
(5.7)
将上述运动方程按照之前采用的半时间步长方法得到以下差分方程：
n+1/2 时刻：
(5.8)
n+1 时刻：
(5.9)
水平运动距离：
(5.10)
(5.11)
浮力不断增大过程时间
求解差分方程的流程图：

图 9 考虑入水过程的物体运动状态的求解流程图

(2)过程二、浮力增大到最大（物体完全没入水中）的阶段如4.4所述，可采用式～进行求解。
通过对运动方程的数值求解可以得到不同形状的物体在流水中运动的轨迹。
5.3.2 将物体的在水中的翻转考虑在内
通过仔细观察题目所给的录像照片，发现所有的物体在浸入流水中后都有翻滚的现象，物体受到的垂直上举力和水平拖曳力大小的会因为翻滚而导致在运动方向上的投影发生变化，如果单单使用物体的一个表面积来计算这两个力会引起一些误差，因此将物体由于翻滚所引起的投影面积的变化考虑在内。假设物体翻滚过程如图7所示：

图 10 物体翻转示意图

如果物体发生以垂直于ABCD面经过O点为轴的翻转，则投影到与流水方向垂直的面上的投影面积Ad会发生变化，为了减小由于翻转引起的误差特别将投影面积修正为：Ad= (Admax+ Admin)/2。
其中Admax为物体在旋转过程中的最大投影面积，Admin为物体在旋转过程中的最小投影面积。
同理Al= (Almax+ Almin)/2。
5.4 两个重物水中运动模型的建立
5.4.1考虑两个物体在水中的相互作用，建立运动模型
如果要考虑两个物体在水中运动时所引起的互相的作用，则要考虑以下的几个问题：
(1)在水中运动的物体会对水流形成兴波效应。
两个物体在距离较近的相对位置在流水中前进时，每个物体都会对周围的水流产生兴波效应，由此产生的水波会影响物体的运动状态，而且由一物体引起的兴波效应到达另一物体时还会引起波的反射，反射波与第一物体引起的入射波会产生叠加，从而使得影响物体运动的因素更加复杂。同时第二物体对第一物体也有相同的作用，两物体相互影响。直到物体的速度与水流的速度相等为止。对于在流水中的两运动物体相互作用的求解可以参考小水线面双体船的研究成果[3]，可以计算出流体中的运动物体所引起的行波效应。
但是，由于行波效应的求解依赖于恰当模型的建立以及复杂偏微分方程的求解，限于时间的关系无法将兴波所引起的影响计算实现。因此将使用软线连接的两物体考虑成两个独立的物体在水流中的运动过程。
5.4.2不考虑两个物体在水中的相互作用，建立运动模型
倘若不考虑两个物体在水中的相互作用，那么就相当于两个独立的物体分别在水中的运动状况，根据上一节的分析可以分别建立两物体的运动方程并对其进行数值求解，得到两物体的运动轨迹。
从图11和图12中我们不难看出模型对物体运动状态的模拟是十分接近真实情况的，而且也可以注意到模型II要优于模型I。说明使用两个物体分别计算代表两个连体物体的方法是可行的，主要原因可能是由于物体未发生碰撞，而且由于水很浅，兴波效应的作用尚未发挥。

图 11模型II：两大实心方体连接 图 12