1、第十二章 压杆的稳定性
12-1 图示细长压杆，两端为球形铰支，弹性模量，对下面三种截面用欧拉公式计算其临界压力。（1）圆截面，；（2）矩形截面，，（3）16号工字钢，。
解：结构为两端铰支，则有
圆截面杆，
矩形截面杆，
16号工字查型钢表知
题12-1图 题12-2图
12-2 图示为下端固定，上端自由并在自由端受轴向力作用的等直压杆。杆长为，在临界力作用下杆失稳时有可能在平面内维持微弯曲状态下的平衡。杆横截面积对轴的惯性矩为，试推导其临界压力的欧拉公式，并求出压杆的挠曲线方程。
解：，结合 设
2、则有微分方程：
通解为
边界条件：则，解出
（转角为零），，解出
解得挠曲线方程为：
因为在处为，则，由于，可得： （最小值）
而，得
注：由，本有，计算可见（时），对应的值是最小的，这一点与临界力的力学背景是相符的。
12-3 某钢材，，，，试计算和值，并绘制临界应力总图（）。
解：式中
题12-3图
12-4图示压杆的横截面为矩形，杆长，材料为优质碳钢，。两端约束示意图为：在正视图（）的平面内相当于铰支；在俯视图（）的平面内为弹性固定，并采用。试求此杆的临界应力。
3、题12-4图
解：在正视平面内，
俯视平面内，
因为，对同一结构，按正视平面内的公式计算（取较小值）：
12-5 钢结构压杆由两个的等边角钢组成，杆长，两端为球形铰支受轴向压力，角钢为钢。试确定压杆的临界应力及工作安全系数。
解：查型钢表得：，则
采用抛物线公式：
题12-5图 题12-6图
12-6 图示立柱，长，由两根10号槽钢组成，下端固定，上端球形铰支。试问当为多大时立柱的临界压力最高，其值为何？已知材料的弹性模量，比例限。
解：的变化只会引起的变化，对没有影响；在两个
4、平面内，值相同，同，同一结构，仅仅由的大小决定结构在那一平面内最易失稳（最小）
可见，立柱的临界压力最高时，应该有
则由，有，查型钢表，为
而
解得
此时，
题12-7图 题12-8图
12-7 由三根相同的钢管构成的支架如图所示，钢管的外径，内径，长度，材料的弹性模量。支架顶点三杆铰接，取稳定安全系数求支架的许可载荷。
解：结构和载荷对称，各管所受压力相等，设为，
取，则载荷
即许可载荷为。
12-8 在图示结构中，为圆形截面杆，直径
5、端固定，端为铰支；为正方形截面杆边长，端为铰支。、两杆可独自发生弯曲变形而互不影响，材料均为钢，。已知，压力，规定的稳定安全系数，试校核结构的稳定性。
解：作用下，两段的压力均为，现分别求出各自的临界压力
段:,(与方向无关)
，即，段安全
段，（与方向无关）
，即，段安全
综上分析，结构安全。
12-9 四根等长杆相互铰接成正方形，并与杆铰接如图所示。各杆的弹性模量、截面积极惯性矩均相等。当（1）两点处受一对拉力，图（）；（2）两点处受一对压力，图（），分别求达到临界状态的最小载荷。
题12-9图
解：图示作用下，四杆受拉，受压，若按受压失稳与否确定值，只需考查
6、杆：（压）
，即
图示作用下，四杆受压，（压），受拉。
，即
12-10 图示结构中，为铸铁圆杆，直径，许用应力，弹性模量。为钢圆杆，直径，许用应力，若横梁可视为刚性，试用折减系数法求载荷的许用值。
题12-10图
解：问题是一次超静定的，设杆中拉力为，杆中压力为
有平衡条件：，且有变形条件：
虎克定律代入得： （公共项消掉未写）
即 ，代回平衡方程中，解得
若杆完全发挥力学性能，则
此时，
若杆完全发挥力学性能，
查表得，有
此时，
综合两种情况，取（较小者）。
12-11 工字钢压杆两端铰支，杆长，承受压力，若许用应力 ，试用折减系数法选折工字钢的型号。
解：，稳定条件为，因为与均未知，只能试算：
取，则
查型钢表，选取16号，
，查表时按160取，得
得到 。工作应力为
，不合理，所设过大，再取时，减小，取
，则 ，
选取工字钢，，
，安全。所以，经计算校核，应选用号工字钢。
12-12 两端铰支的等截面圆杆，杆长直径，材料的比例极限，弹性模量，线膨胀系数。设安装时的温度为，求温度升高到多少度时此圆杆将失稳。
解：，，
，，
温度应力：，，
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