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阴影透视教案
第一部分 轴测投影

教学主要内容：
本章介绍的轴测图是将物体连同其参考直角坐标系，沿不平行于任一坐标面的方向，用平行投影法将其投射在单一投影面上所得的图形。它能同时反映出物体的长宽高三个方向的尺度，尽管物体的一些表面形状有所变化，但形象比多面正投影生动，富有立体感，可以作为帮助读图的辅助图样。
教学难点：如何选择最合适的轴测体系进行轴测图的绘制。
教学重点：正轴测图、斜轴测图。
作业布置：习题集

一.概述：主要介绍轴测图的形成,轴间角和轴向伸缩系数的概念以及轴测图的投影特性。
轴测图:是将物体连同其参考直角坐标系，沿不平行于任一坐标面的方向，用平行投影法将其投射在单一投影面上所得到的具有立体感的三维图形。 该投影面称为轴测投影面，物体的长、宽、高三个方向的坐标轴OX,OY,OZ在轴测图中的投影O1X1,O1Y1,O1Z1称为轴测轴。
轴测图根据投射线方向与轴测投影面的不同位置，可分为两大类：正轴测图和斜轴测图
　　正轴测图：用正投影法得到的轴测图

斜轴测图：用斜投影法得到的轴测图

轴间角——轴测轴之间的夹角；
　　原点——三条轴测轴的交点；
　　轴向伸缩系数—— 轴测轴上的单位长度与相应坐标轴上的单位长度的比值。
　　O1X1、O1Y1、O1Z1 轴上的伸缩系数分别用p1、q1、r1表示。

　　正轴测图按三个轴向伸缩系数是否相等分为三种：
　　正等轴测投影（正等轴测图）——三个轴向伸缩系数相等的轴测投影；
　　正二等轴测投影（正二轴测图）——只有两个轴向伸缩系数相等的轴测投影；
　　正三轴测投影（正三轴测图）—— 三个轴向伸缩系数各不相等的轴测投影。
　　斜轴测图也相应分为：斜等轴测图、斜二轴测图和斜三轴测图。
　　其中，常用的有正等轴测图（简称正等测）和斜二轴测图（简称斜二测）两种。
正等轴测图

斜二等轴测图

　　三个轴向的伸缩系数相等均为0.82，在画图中，取简化的轴向伸缩系数p=q=r=1,轴间角如图所示。

　　p=r=1,q=0.5的斜轴测图；轴间角如图所示；O1X1与O1Y1可以互换。
轴测图上的线、面的投影特性
轴测图采用的是平行投影法，其上的线、面具有如下特性：
1.线性不变，直线或平面的轴测投影仍为直线或平面图形的类似形；
　　2.平行性不变，相互平行的直线的轴测投影仍平行；
　　3.从属性不变；
　　4.比例性不变；
　　5.相切性不变；
　　同时还应注意，虚线在轴测图中一般不画。
二.正等轴测投影：主要介绍了基本立体的正等轴测图画法和组合体的正等轴测图画法。
1．基本立体的正等轴测图画法： 正立方体的正等轴测图画法
现以正立方体为例，说明正等轴测图的画法。

　　(1)在已知视图上定出坐标轴OX、OY、OZ(双击恢复）
　　(2)定出轴测轴O1X1、O1Y1、O1Z1
　　(3)量取线段O1B1=o＇b＇；
画A1B1平行O1X1，A1B1=ab；
画B1C1平行O1Y1，B1C1=bc；

　　(4) 画A1D1平行且等于B1C1；
画C1D1平行且等于A1B1；
过A1、D1、C1各点作线平行于O1Z1轴且等于立方体的高度O1B1，得到E1、F1、G1各点；
用直线连接E1、F1、G1各点。
　　(5)擦去辅助作图线，加深，即完成正立方体的正等轴测图。
由图可知：
　　（1）与坐标轴相平行的线段在正等轴测图中平行关系不变，若取简化的轴向伸缩系数pq=r=1时，线段的长度不变；
　　（2）轴测图上组成正立方体顶面、底面、侧面的三个面是处于不同位置的三个相同的菱形。
2．基本立体的轴测图画法： 六棱柱的正等轴测图画法

　　(1)六棱柱顶面与底面都是平行于水平投影面的正六边形，确定OX、OY、OZ轴的方向和原点O的位置；
　　(2)画出轴测轴O1X1、O1Y1，在O1X1轴上从O1点量取O1A1=oa、O1D1=od，同样，在O1Y1轴上从O1、O2；
　　(3)以1、2点为中点分别作O1X1轴的平行线，量取EF=ef、BC=bc；
　　（4）依次连接各点，即得顶面的轴测图；
　　（5）由各点沿O1Z1轴方向量取六棱柱的高度，得底面正六边形；
　　(6)擦去多余线条，加深可见轮廓线，即得六棱柱的正等轴测图。
3．基本立体的轴测图画法： 四棱台的正等轴测图画法

　　(1)四棱台的顶面和底面都是平行于水平投影面的矩形，确定OX、OY、OZ轴的方向和原点O的位置；
　　(2)画出轴测轴O1X1、O1Y1、O1Z1；
　　(3)画出四棱台底面，以O1点为中点在O1X1、O1Y1轴 上分别量取底面矩形的长和宽，再过所量得的点，作O1X1、O1Y1轴的平行线；

　　（4）画出四棱台顶面，沿O1Z1轴方向从O1点量取四棱台的高度，得顶面中心，用与画底面同样的方法画出顶面；
　　（5）连接顶面与底面相应各顶点；
　　（6）擦去多余的线条，加深可见轮廓线，即得四棱台的正等轴测图
4．基本立体的轴测图画法：圆的正等轴测图画法

◆作图步骤：
　　(1)圆所在的平面平行水平投影面，确定OX轴的方向和原点O的位置，并作外切正方形得切点a、b、c、d；
　　(2)作出轴测轴O1X1、O1Y1；
　　(3)从O1点出发，在O1X1、O1Y1轴上各量取圆的半径R，得切点A、B、C、D四点，通过A、C点作O1X1轴平行线，过B、D点作O1Y1轴平行线，画出一菱形，即为外切正方形的轴测投影；

　　（4）通过菱形钝角顶点，向对边中心作连线，相应连线的交点，就是圆心 ；
　　（5）先以钝角顶点O3为圆心，顶点到对边中点的距离为半径，画两个圆弧（从一中点以另一中点）；再以连线交点O2为圆心，交点到对边中点距离为半径，作两圆弧，与另两圆弧相切，即成近似的椭圆(
三.斜二等轴测等投影：主要介绍了基本立体的正等轴测图画法和组合体的正等轴测图画法。
1、斜二等轴测的画法及示例
圆的斜二测画法

    圆在斜二轴测图中三个基本投影面上的不同情况,当圆平行于轴测投影面时，其投影反映实形，其余是椭圆。

    圆较多或形状较复杂的零件, 如用正等轴测图，就得画很多椭圆，较麻烦。
2.法兰的斜二测画法
　　注意：使圆形尽可能都平行于轴测投影面，这样作轴测图时就很方便。
　　注意：O1Y1轴方向的伸缩系数q为0.5，量取尺寸时应取原尺寸的一半。

　　（1) 构成法兰的圆板、圆柱与圆孔的圆都平行于正面投影面；确定OX、OY、OZ轴的方向和原点O的位置；
　　(2)画出轴测轴O1X1、O1Y1、O1Z1；
　　(3)画出圆板；

　　(4)画圆柱；
　　(5)画圆板上四个圆孔及圆柱上圆孔；
　　(6)整理，加深，即得法兰的斜二轴测图。

第二部分 阴影及作图
教学主要内容：
主要介绍了阴影的基本概念，阴影的作图方法和步骤。
教学难点：阴影的作图方法和步骤。
教学重点阴影的作图方法和步骤。
作业布置：习题集阴影部分
一、阴影的基本概念
1、光平面：包含空间直线和光线的平面。
1、
2、光线的种类
（1）、平行光线：平行光线包括与画面平行的平行光线和与画面相交的平行光线。
（1）、辐射光线：中心光线, 点光源。
（3）、漫射光线

1、 阳面：面向光线照射方向的平面或曲面称为阳面，在透视图中比较明亮。
2、 阴面：背向光线照射方向的平面或曲面称为阴面，在透视图中较暗。
3、 承影面：物体被光线遮挡以后，在一些面上会出现阴影，这些面称为承影面。
图9-41 阴影的基本概念
4、 阴影：在阴面上出现的较暗部分称为阴；在承影面上出现的较暗部分称为影，其轮廓部分称为影线。阴和影统称为阴影。
二、画面平行光线下的阴影
图9-42 画面平行光线下点在基面上的落影
图9-43 点在竖直平面上的落影
1、画面平行光线的透视性质

光线的透视平行于光线的方向，光线的基透视平行于基线。如图9-42所示。
2、点的落影
（1）、水平面上点的透视

如图9-42所示，A点在基面上的落影就是过A点的光线的透视和基透视的交点A’。a在基面上的落影就是它本身。Aa在基面上的落影就是aA’。
（2）、点在竖直面的落影
如图9-43所示，点在竖直面上的落影为过A点的正平面与竖直面的交线与过A点的光线的交点。1点称为折影点。

（3）、点在一般倾斜面上的透视
如图9-44所示，点在一般倾斜面上的透视为过点正平面与倾斜面的交线和过该点的光线的交点。
至于这个正平面与倾斜面的交线的求法可以有以下3种方法：
a)、连接12 ； b)、连接13 ； c)、由于过Aa的正平面与倾斜面的交线平行于倾斜面和画面的交线，而倾斜面的灭线与他的画面迹线平行，因此可以过1（或2、3）作倾斜面灭线的平行线（12∥FxF1）。
3、直线的落影

将属于直线上的两点的落影求出，连线即为直线的落影。直线在承影面上的落影为过直线的光平面与承影面的交线。
9-45 平行光线下直线的落影
如图9-45所示，过AB的光平面ABB’A’与基面的交线为A’B’，A’B’ 为AB在地面上的落影；过AC的光平面ACC’A’与基面的交线为A’C’， A’C’ 为AC在地面上的落影。图9-44 画面平行光线下点在倾斜面面上的落影

（1）、竖直线的落影

（a）、在平行基面的平面上的落影平行于基线；
（b）、在基面垂直面上的落影是一条竖直线；
（c）、在一般倾斜面上的落影平行于倾斜面灭线；
（2）、画面相交线的落影
如图9-46所示，画面相交线在各种位置承影面上的落影有如下的规律：
（a）、空间直线在承影面上的落影，通过光平面和承影面灭线的交点。如V3、V2、V1等。
（b）、直线的落影必通过直线与承影面的交点（如2、3、M等）；
（c）、直线在相交二承影面上的落影必相交，交点（承影点）必位于两个承影面的交线上；
（d）、相互平行的直线在同一承影面上的落影必平行，交于同一灭点；
（e）、直线平行于承影面，那么直线的落影与原直线平行，其透视与原直线的透视相交于同一个灭点。如MN、AB在基面上的透视；
（3）、画面平行线的落影
画面平行直线在水平、垂直、倾斜承影面上落影总是一条画面平行线，且平行于承影面的灭线（光平面平行画面，与承影面的交线（落影）自然就平行画面，且与承影面的灭线平行）。

图9-46 画面平行光线下各种位置直线的落影
4

4、平面的阴影
图9-47 平面的阴影
如图9-47所示，平面图形的落影, 就是平面图形各边线落影的集合。一般情况下，平面图形的落影与原平面图形类似，特殊情况下（平面平行于光线）平面图形的落影为一条直线。
5、立体的落影
Fx
Fy
F1
V1
V2
图9-48 立体的阴影
F2
立体的落影是立体各表面在光线照射下，在承影面上出现的落影。图9-48为一个小型建筑物的阴影作图方法，请读者自己进行分析。
三、与画面相交的平行光线下的阴影
图9-49 与画面倾斜的平行光线下点的阴影求法
与画面相交的平行光线的透视交于它们的灭点，光线的基透视通过光线的基灭点，如图9-49。
如果光线从画面后向观察者射来，

此时物体的前面出现阴影，光线与画面的角度较大时，前面与侧面有可能都是阴面。应当尽量避免。
如果光线从观察者身后射向画面，
此时物体的后面或侧面出现阴影，光线与画面的角度较大时，两个侧面有可能都是阳面。
图9-50 与画面倾斜的平行光线下竖直线的阴影

1、竖直线在水平、垂直面上的落影：

在水平面上的落影通过光线的基灭点Fl，如图9-49所示。
在倾斜面上的落影通过倾斜面的灭线和光平面灭线的交点。如图9-50所示，通过AB的光平面灭线为FlFL，平面KMNE的灭线为FxF1，两平面灭线的交点为V1，因此AB直线在KMNE平面上的落影通过V1。
2、与画面倾斜直线的落影

如图9-50中的直线EN，可以直接求出E、N两点的落影E’、N’，相连即可，也可以求出其中一个，然后连向通过EN的光平面灭线F1FL与承影面（地面）的灭线FxFy的交点V2，当然也可以在透视图中求出EN与地面的交点，然后连线。
直线与承影面交点的落影就是它本身，这一点在作图中非常重要。
与承影面平行的直线，在平行光线的照射下，其落影在空间平行于原直线，在透视图中与原直线有共同的灭点，如图9-50中MN直线平行于地面，在地面上的落影与MN直线具有相同的灭点。
立体的落影，就是求出有关的影线如图9-50中的CE’、N’E’等，然后将阴影部分描深即可。
图9-51 与画面相交的平行光线下物体的阴影作图方法
对于具有突出边沿的立体，如房檐、桌沿等也可以利用屋顶的透视作为基面进行作图，其结果应该是一样的。在图9-51 中棱线BC平行于前侧面，因此在前侧面上的落影在空间与BC平行，在透视图中通过BC的灭点Fy。B点的落影求法可以在顶面上连BFl，得2点，过2作竖直线23，连BFL交23于3点，3点即为B点在前侧面的落影，过3连3Fy即为BC在前侧面的落影。3Fy与前侧面的右边线交于4点，即BC上只有一部分影子在前侧面上，其余部分将投射到地面上。连接4FL并延长交BC于5点，5、4两点在地面上的落影为6点。连6Fy、CFL交于7点，7点即为C点在地面上的落影。连7Fl得出CD直线段在地面上的落影78，连8Fx即为顶板的右侧上边缘在地面上的落影。9、10的求法请读者自己分析。
注意：直线与承影面的交点一定通过直线在承影面上的落影。在图9-51中，BE直线在前侧面的落影，由于B的落影已经求出，因此只需求出BE直线与前侧面的交点11，连接3和11即为BE直线在前侧面上的落影。在作图过程中，同时可以得到遮影点12，连接12与Fx即为BE直线在左侧面上的落影。
四、中心光线（辐射光线下）的阴影
中心光线是指光线延长后交于一点（发光点S），光源的位置可由它的透视和基透视来表示，如图9-52中在光源S（透视S、基透视s）照射下的阴影的求法可以通过连接光源和空间点的光线的透视和基透视的交点求出，如SA和sa交于A’，A’即为A点在中心光源S（或点光源）下的落影。在图9-52中，表示的是在地面上的落影，其中的Aa、Bb、Cc等的空间高度都相同，因此AB、BC、CD等都是水平线，在点光源的照射下，AB、BC、CD在地面上的落影与原直线平行，在透视图中与原直线有共同的灭点，AB、A’B’延长后交于F1，CD、C’D’延长后交于F2。因此可以得出一个结论：如果直线与承影面平行，那么直线在承影面上的落影与原直线平行，在透视图中与原直线交于相同的灭点。
求直线的落影中，要注意利用直线与承影面的交点，直线在承影面上的落影一定通过直线与承影面的交点。如图9-53所示，可以求出A’或B’之一，然后连接直线与承影面的交点C，即可求出AB在承影面上的落影方向。图9-51在前侧面上的落影就是根据这一方法求出的。
图9-52 中心光源照射下点与线的阴影及作图
图9-54 光源位于中立面上的阴影
图9-53 直线承影面的交点及应用
特殊情况下，如果光源位于中立面上（过视点平行于画面的平面），虽然在空间所有的光线都交于一点，但在透视图中，光线的透视与基透视都是相互平行的，没有灭点，因为光源的透视在无穷远处。如图9-54所示。
图9-55为室内在光源S的照射下，左侧墙上的镜子和地板上柜子的阴影求法。为了求出在墙面上的阴影，首先求出光源在墙面上的基透视s1和s2，垂直于墙面的直线将通过光源在墙面上的基透视s1和s2（和垂直于地面的直线，在地面上的落影通过光源在地面上的基透视s一样，如HG在地面上的落影GH’通过s）。另外作图时注意直线与承影面的交点的落影就是本身。因此为了求出AB在左侧墙面上的落影，首先过A做直线垂直于左侧墙面，垂足为4，连s14即为辅助线A4在左侧墙面上的落影。连SA并延长，交s14的延长线于A’点，A’即为A点在左侧墙面上的落影。由于AB平行于该墙面，因此落影通过AB的灭点
连接A’D即为AD在该墙面上落影。
同样，HM平行于地面，在地面上的落影通过HM的灭点Fy；HM垂直于右侧墙面，在该墙面上的落影通过光源在该墙面上的基透视s2。
图9-55 室内中心光源照射下阴影的求法

第三部分 透视投影

教学主要内容：
主要介绍了透视图的基本概念，根据投影图画透视图的方法和步骤，平行于H面的直线的透视图的画法。
教学难点：一般位置直线的透视。
教学重点：特殊位置直线的透视及一般位置直线的透视。
作业布置：透视习题
§3-1 透视图的基本原理
一、透视图的基本概念
1、垂直画面
基面面
画面
视点点
站 点
视高高
视距距
心点点
视平线线
空间直线与点
基 线
基 点
视 线
透视
基透视
图9-1 透视的基本概念
图1-2
透视图采用的是中心投影方法，如图9-1所示，这是垂直画面的投影示意图。
（1）、画面（P）：投影平面，为作图方便，常垂直于地面，称为垂直画面，相当于正投影中的正投影面。如果画面与地面倾斜，称为倾斜画面。
（2）、基面(G)：相当于水平地面或正投影中的水平投影面，用来确定视点的位置和作图。
（3）、视点(S)：观察者眼睛所处的位置。
（4）、视高（H）:观察者眼睛的高度。
（5）、视距（D）:观察者眼睛到画面的距离。
（6）、心点(s’):视点在画面上的正投影。
（7视平线（h-h）:过视点作一个平行基面的平面，该平面与画面的交线称为视平线。
（8）、视线：过空间点（如A）与视点的连线称为视线，如SA。
（9）、透视：过空间点（如A）的视线（如SA）与画面的交点，称为空间点（A）的透视，用A’表示。
（10）、基点：空间点在基面上的投影称为基点,用小写字母表示（如a）。
（11）、基透视：基点的透视称为基透视，用小写字母加一撇表示（如a’）。
（12）、基线：基面和画面的交线。用g-g表示。基线与视平线间平行，距离等于视高。
将画面从图9-1中取出放正，并删除画面的边框，如图9-2所示，心点s’的位置，说明了视点在长度方向的位置，基线(g-g)和视平线（h-h）的位置反映了视高的大小。该图虽图9-2 透视、基透视的位置
然没有直接反映出视距的大小，但可以通过几何关系求出。如中ag为站点和基点的连线与基线的交点，从图9-1可以看出，点的透视、基透视和基点、站点连线与基线的交点共线（A’、a’、ag共线），且垂直于基线，这也是将来作图的一个依据。
对垂直画面来说有如下的透视规律：
（a）、点的透视与基透视位于一条竖直线上，透视与基透视间的距离称为透视高度，透视高度可能大于、小于或等于真实高度。
（b）、画面上点的透视就是它本身。
图9-3 透视空间、点的位置与基透视的关系
图9-4 倾斜画面示意图
（c）、透视图中点的位置可以由透视、基透视来确定。仅有一个投影将无法确定点的位置。
如图9-3所示：点的基透视位于视平线和基线之间时，点的位置位于画面之后，基透视的位置越靠近视平线，点距画面的距离越远；如果点的基透视位于基线之下，则点位于视点和画面之间；如果点的基透视位于视平线之上，则点的位置位于视点之后，透视为虚像（一般不画）。在图9-3中，画面、过视点垂直于基面的平面将空间分为三个部分：物空间、中空间和虚空间。
2、倾斜画面
对于高大的物体，采用垂直画面时，一般需要的图纸较大，可以采用倾斜画面，图9-4为倾斜画面的示意图。
在倾斜画面中，透视、基透视、ag与FZ四点共线。
由于倾斜画面作图比较困难，一般不太常用，本章中后面部分全部采用垂直画面进行介绍。
二、点的透视作图方法
点的透视作图方法依据的是图9-5的几何原理。需要用画面、基面组成的两面正投影进行辅助作图。
点的透视的求法，可以理解为两种投影的交点，在图9-5a中，视线SA无论采用什么样的投影方法，其投影一定通过视线SA与画面的交点A’,透视投影也不例外，因此点A的透视A’一定通过视线在画面上的正投影s’a’。而点的透视和基透视一定位于一条竖直线上，且通过视线的水平投影与基线的交点ag。这种作图方法也称为视线迹点法（视线的画面迹点，与工程制图正投影求迹点的方法相似）。
图9-7 直线的灭点和基灭点
图9-5 点的透视作图的基本原理1
图9-6 点的透视作图的基本原理2
水平投影可以放在上面
视距较大时的站点位置
物高<视高 p-p、h-h可重合

物体的水平投影可以放置在画面的下方，如图9-5c；也可以放在画面的上方，如图9-6a；视距较大时，为了作图方便，站点的位置可以放在画面的下边，相当于水平投影与画面重叠在一起，如图9-6b所示。物体的高度小于视高时，g-g、p-p可以共用一条线。
g
三、直线的透视、灭点
图9-8 各种位置直线的灭点
直线上无穷远处点的透视称为该直线的灭点。图9-7中直线AB的灭点为F。直线水平投影（在基面上的投影）的灭点称为基灭点，图9-7中直线AB的基灭点为f。直线灭点的作图方法就是过视点作直线的平行线，该平行线与画面的交点即为直线的灭点。
5、 直线灭点的有关规律
（a）、一组平行线具有相同的灭点，如图9-8中的AB、CD、MN直线的灭点为Fy；（b）、画面的平行线没有灭点（或在无穷远处）,如图9-8中的AD、BC、KQ。（c）、空间一般位置直线（斜线）的灭点与其基灭点的连线垂直于视平线。如图9-8中AC的灭点F、基灭点Fy连线为竖直线。（d）、所有水平线的灭点都位于视平线图9-8 各种位置直线的灭点
上。

例1：已知直线AB的基面（水平）投影ab，与基面的倾角为15°，A点高20，求该直线透视、基透视、灭点、基灭点。
1
2
3
5
4
6
图9-9 斜线的灭点及作图
作图步骤：
1)、求直线AB的基灭点。过站点S作ab的平行线交p-p于1点，从该点引垂线交视平线h-h于f，该点即为AB直线的基灭点。其灭点位于过基灭点的竖直线上。
2）、求A点的透视位置。过空间点A和基点a作两条平行于ab的直线，它们应该具有相同的灭点f，这两条平行线与画面的交点连线56等于A的高度（这两条平行线间的距离处处相等）。延长ab交p-p与2点，过2点作竖直线交g-g于5，过5作一条高度为20的竖直线56。连接5f、6f即为这两条平行线的透视。从而求出A点的透视和基透视。
3）、将图9-9中的1S旋转到p-p上得到点3，自3点作与水平线成15°的直线，得到AB直线的灭点F。
4）、连AF，求出AB的透视方向。然后求出B点的透视和基透视。
物体上X、Y、Z方向的灭点称为主向灭点，一般用Fx、Fy、Fz表示。
3、特殊位置直线的透视
（1）、画面平行线的透视平行于原直线，反映与基面的夹角，基透视平行于基线或视平线，如图9-10所示。
（2）、画面内直线的透视就是它本身。
（2）、通过视点的直线，透视为一点。
（3）、基面（水平）投影通过站点的直线，透视和基透视为竖直线。如图9-11所示。
（4）、基面垂直线的透视为竖直线，如图9-12所示。

图9-13 已知透视、基透视求点的透视高度
图9-11 水平投影通过站点的直线透视
图9-12 基面垂直线的透视
图9-10 画面平行线的透视和基透视
例2：如图9-13，已知A点的透视和基透视求A点的高度。
我们知道，两条平行线间的距离处处相等，因此可以过点A和它的基点a做两条水平线（平行于基面，灭点在视平线上），两条平行线与画面的交点连线在透视图中可以反映实长（1：1作图为实长，采用缩小的比例时，要乘以比例的倒数）。因此我们可以在视平线上任取一点F,作为平行线的灭点，连FA’、Fa’,延长后交画面于Tt, Tt即为点A的高度。

4、集中真高线
在透视图中，距离画面距离相等的两条等高竖直线，其透视高度也相等。如图9-14，A、B两点的高度相等，距离画面的距离相同（基透视a’b’平行于基线），则A、B的透视高度A’a’、B’b’相等。根据这一原理在视平线上任取一点F,连接FA’、Fa’并延长，得到Tt（我们将其称为真高线）,如果已知b’的位置，则可以求出B的透视位置B’。
在图9-15中，A的高度为H，将其延长并根据比例刻上相应的刻度，以真高线Tt为量尺就可以度量透视图中任何一点的高度，也可以根据基透视和实际高度求出点的透视位置，这种方法称为集中真高线法。例如已知b’和B的高度为H1，求B的透视位置，可以自b’作基线g-g的平行线交Ft于1，在Tt上量取H1的高度并连接到F，该线交过1点的竖直线于2点，过2点作直线2B’交过b’的竖直线于B’,B’即为B点的透视。
图9-15 集中真高线求点的透视高度
图9-14 集中真高线作图原理
5、直线的等分与延长
对于基面内直线的等分可以借助于直线的灭点F和一组平行线的灭点F1，只要求出这组平行线的透视，那么它们和原直线的交点，即为等分点。在图9-16a中，已知AB（水平线）的透视AB’，要将其3等分，可以在视平线上任取一点F1，连接F1B’延长后交基线于B1，将AB1三等分，得两个等分点D1、C1，连接F1C1、F1D1交AB’于C’、D’， C’、D’即为等分点透视。
图9-16 直线的等分
为了作图方便也可以将等分后线段的实长直接量取在基线上，得到各等分点，然后连接B1B’交视平线于F1，连接F1C1、F1D1即可求出等分点的位置，这就是以后介绍的量点法。
对于空间一般直线的等分，可以先等分它的基透视，根据基透视与透视位于一条竖直线上的原理，即可等分空间的一般位置直线。
直线的延长可以按照相似的方法进行。
四、平面的透视及灭线
1、平面的透视与灭线的概念
一般情况下，平面的透视与基透视均为原平面图形的类似形，四边形的透视仍为四边形，三角形的透视仍为三角形。如平面通过视点，平面的透视或基透视为一条直线。
平面内任意两条直线灭点的连线称为该平面的灭线。平面的灭线也可由过视点平行于原平面的平面与画面求交线而得。因此平面的灭线平行于平面与画面的交线（画面迹线）。常见平面的灭线有如下特点：
（1）、平面图形基透视的灭线在视平线上。
（2）、所有水平面的灭线就是视平线。画面的平行面没有灭线。

（3）、所有基面垂直面的灭线为竖直线。
（4）、如果直线在平面内， 其灭点一定在平面的灭线上。

图9-17 平面的灭线

（5）、两个平面交线的灭点一定是两个平面灭线的交点。
以上灭线的特点，也是将来作图的依据。图9-17为各种位置平面的作图求法。

2、平面的等分与扩展
（a）

图9-18 平面的等分与扩展
(b)

平面的等分和扩展通常通过对角线的灭点来进行，如图9-18的顶面。如果平面上有已知的画面平行线，也可以根据平行线的性质及已知的灭点进行等分，如图9-18b的两个侧面。
五、透视图的分类
透视图的分类一般按照景物相对于画面的位置来进行划分：
1、 一点透视：
物体上有一个主向平面与画面平行，在组成这个平面的两个轴（一般用X、Z表示）方向没有灭点，另一个方向（用Y表示）垂直于画面，灭点为心点。
2、 两点透视
物体上有一个轴（一般用Z表示）与画面平行，
在这个轴方向没有灭点，另两个轴（X、Y）方向相交于画面，灭点Fx、Fy在视平线上。
3、 三点透视
物体上三个主方向均与画面相交。透视图有三个灭点。
图9-19 一点透视
图9-20 两点透视
六、透视参数及其选择
1、 人眼的视觉范围视角的选择
视锥：以视点为顶点，以中心视线为轴线的锥面，称为视锥。视锥为一个椭圆锥。
视域：视锥与画面的相交部分称为视域。
视角：视锥的顶角称为视角。
水平视角：一般水平视角大于垂直方向的视角，可达120~148°；
垂直视角：约110°。
生理视角和生理视域：由于人们观察的习惯，视域中清晰可辨的只有较小的一部分，因此一般将视锥看成一个正圆锥，视域也就变成一个圆了。其视角和视域称为生理视角和生理视域。
绘制透视图时，生理视角一般控制在６０°以内，以30~60°为最佳；
如果绘制室内透视，由于受到空间的限制，视角可以大于60°，但无论如何也不 能超过90°，此时透视已开始产生失真。
从人眼向所描绘物体的周边引出的视线形成的视锥，其视角和视域称为实物视角和实物视域。
2、视点的选择

（1）、站点的选择
选择站点的原则是：保证视角大小适宜；能够体现物体的特点，如长宽比、不能有遮挡。
（2）、视高的选择
视高为视平线和基线间的距离；一般取人的平均身高1.5 ~ 1.8米。为了表达某些特殊的效果，可以适当降低或提高。如为了表达建筑物的高大，可以适当的降低视高，相当于蹲下来照相；如果要清晰表达大厅内部的布置情况，可以适当的提高视点的位置，相当于站在凳子上照相。
（3）、视距的选择
当视点与物体的位置，以及物体与画面的角度确定以后，画面可以放在物体前面也可以放在物体后面，也可以穿过物体，都不影响透视图的形状，只要这些画面是相互平行的，那么在这些画面上的透视图都是相似的图形。视距越大，透视图形越小；视距越小，透视图形越大，透视变形也就越大。
对于单件的家具等物品，视距一般选择1.5—5米，对于大件的家具或者组合家具等物品，视距可以适当加大，可以选择3-7米。大于大型建筑物或室内透视则视距更大。

3、偏角的选择
物体的主向和基线的夹角称为偏角。偏角越小，则该立面水平方向的灭点就越远，该立面反映的也越多；反之偏角越大，则该立面水平方向的灭点就越近，变形也越大。一般偏角的选择，应使透视图与实际物体的尺寸大致一致，物体为正方体时，偏角不宜选择45°，以免透视图显得比较呆板。
4、 作图比例
作图比例与要表达的物体大小有关，对于较小的物体应采用较小的比例，如写字台、书桌、茶几等可以采用1:10、1:15或1:20的比例，对衣柜、组合柜等较大的物体可以采用1:20
、1:30、1:50的比例，对于室内透视则应采用1:30、1:50、1:100的比例，对于大型建筑物则应采用更大的比例。

§3-2 透视图的基本作图方法
一、视线法
图9-21 视线法法画透视图
我们在上一节点的透视作图中已经介绍了视线法，采用视线法时，必须作出物体的平面图，在平面图中定出视点的位置、画面的位置及物体相对画面的偏角，通过平面图求出主向灭点的位置，以便于作图。平面图可以画在透视图的图幅以内，也可以画在其它的图纸上或采用已有的工程图纸。平面图的比例可以和透视图相同，也可以不同，采用不同比例时，度量时应注意进行放大或缩小。
图9-21为采用视线法绘制透视图的一个例子，左侧为正投影图，将其中的画面迹线及其上的点1、2、…、6旋转到水平位置后移动到右图中，根据视高作出视平线h-h,求出主向灭点的位置Fx、Fy，然后根据各点的高度和1、2、3等位置求出他们的透视位置。图中的斜线也可以根据斜线灭点来求。作图时注意观察要表达的作图对象，分析作图方法，用最简单的方法作图可能达到较好的效果。
二、全线相交法
全线相交法作透视图是在主向灭点可以求出的情况下，过空间某点（如基面内点A）作平行于主向（如x、y）的两条辅助线(A1、A6),两条辅助线透视的交点即为所求点的透视。图9-22根据这一方法，作出了物体的基透视，其余部分可以根据物体的高度作出。

图9-22 全线相交法
三、量点法

1、量点法的作图原理
量点法主要用于在透视图中不平行画面的直线尺寸的度量，常用于两点透视图中主向（x、y）尺寸的度量。

图9-23 量点法作图原理
以前我们曾经讲过基面内直线的等分，AB直线为任意方向的直线，C、D为等分点，F为AB的灭点。现在，如图9-23所示，C、D为AB直线上的任意点，投射方向与原直线的夹角等于与基线的夹角。这样三角形ABB1和SMF都是等腰三角形。因此：
BC=B1C1,CD=C1D1, AD=AD1
直线的长度可以按照实长（当然要考虑作图比例）在基线上进行度量。
图9-24 量点法画透视图

1
M点是投射方向BB1的灭点。可以以AB直线的灭点为圆心，以视点到灭点的距离为半径画狐，交视平线于M点，该点称为AB方向的量点。
连接量点M与C1D1, 与AB直线透视的交点即为AB直线上指定长度点的透视。

2、量点法作图的步骤
（1）、选定画面的位置、偏角，尽量将一个特殊点（如1）放在画面上，以便于测量。

（2）、定出视点位置及透视图中1点的位置。 求出x和y方向的灭点Fx、Fy。

（3）、连1Fx, 1Fy。

（4）、以1点为基准点将X、Y方向的的距离量在透视图中1点左侧和右侧，注意画面前的点应该向相反方向度量。将它们连向量点求出对应点的透视。注意作图时不一定作出全部图线，只需要求出对应的透视位置即可，以免需要擦除过多的图线。

（5）、以1处的竖直线来度量高度，求出各点的透视高度。为避免图形图线太多，省略了作图过程。

（6）、擦去不必要的图线，描深上色。

图9-25 抬高或降低基线的位置对透视作图的影响
如果视高相对较小，则采用量点法作透视图时，很难做到作图准确，此时可以适当抬高或降低测量时基线的位置。在透视图中，水平投影相同的所有平面图形，其对应点在一条竖直线上。如图9-25中的B、C、D三点，其作图方法是一样的。
2、 量点、灭点、心点、视距的关系
已知透视的基本参数，如视高、视距站点、偏角可以求出透视图中主向灭点、量点的位置。如图9-26所示，以两个主向灭点为直径作一个圆，站点s应该在圆上，因为直径的圆周角为直角。从站点s向视平线h-h作垂线，垂足即为心点s’的位置，从站点连接两个灭点sFx、sFy，它们与视平线的夹角即为物体相对于画面的夹角，也就是透视参数中的偏角。以Fx、Fy为圆心，sFx、sFy为半径画弧交视平线于Mx、My，即为两个主向量点的位置。
α
D
图9-26 量点、灭点、心点、站点的关系

3、 计算量点法
在图9-27中的三角形Fxsa中 :
S
图9-27 计算量点法
a
tgα=Fxa/D=A/D
AD tgα
cosα=D/Fxs
Fxs=FxMy=D/cosα

F=FxMy-A=D/cosα-Dtgα=D(1/cosα-tgα)
同样在三角形Fysa中 :
tgα= D /Fya=D/B
B=D /tgα
Sinα=D/Fys
Fys=FyMy=D/sinα

E=FyMx-B=D/sinα-D/tgα=D(1/sinα-1/tgα)

表9-1为视距D=1时A、B、E、F的计算表。
计算方法：如视距为D=2.5米, α=25° ；
则：A=2.5×0.4663=1.165