第5章恒定电流.doc

第五章 恒定电流思 考 题5-1电流是电荷的流动，在电流密度的地方，电荷体密度是否可能等于零？答：有可能等于零。例如，在金属导体中电荷的定向移动形成电流，此时在导体中存在着等量异号的电荷，故电荷体密度等于零。而当单独的正离子或负离子的运动形成电流时电荷的体密度不等于零。5-2如果通过导体中各处的电流密度不相同，那么电流能否是恒定的？为什么？答：电流能够恒定，因为即使导体中各处的电流密度不相同，但只要满足电流的恒定条件，通过导体的电流就是恒定的。5-3一根铜线外涂以银层，两端加上电压后，在铜线和银层中通过的电流是否相同？电流密度是否相同？电场强度是否相同？答：由欧姆定律，铜线和银层的长度一样，但它们的横截面积S不同，电阻率不同，所以，当两端施加同样的电压时通过铜线和银层的电流是不相同的。同理，由可知，铜线和银层的电流密度也不相同。由可知，铜线和银层中的电场强度是相同的。5-4截面相同的铝丝和钨丝串联，接在一个直流电源上，问通过铝丝和钨丝的电流强度和电流密度是否相等？铝丝内和钨丝内的电场强度是否相等？答：因为铝丝和钨丝串联，所以通过铝丝和钨丝的电流强度相等。又因二者截面积相同，根据，则通过的电流密度也相等。根据，由于两种材料的电阻率不相等，通过的电流密度相等，所以，两种材料内的电场强度不相等。5-5 将电压加在一根导线的两端，设导线的截面半径为r，长度为l。试分别讨论下列情况对自由电子漂移速率的影响：(1)增至原来的两倍；(2)r不变，l增至原来的两倍；(3)l不变，r增至原来的两倍。答：自由电子的平均漂移速率与导体内某点处单位体积内的自由电子数n、电流密度j的关系为，S=为导线的截面积。(1) S、l保持不变，则电阻R不变。增至原来的两倍时，由可知，I也增至原来的两倍，故也增至原来的两倍。(2)S、不变，l增至原来的两倍时，由可知，R增至原来的两倍，由可得I减小为原来的1/2，故也减小为原来的1/2。(3)l、不变，r增至原来的两倍时，S为原来的4倍，由可知，R为原来的1/4，而由可知I增大为原来的4倍，故不变。5-6电源的电动势和端电压有什么区别？两者在什么情况下才相等？答：电动势是单位正电荷从负极经电源内部移到正极时非静电力所做的功，端电压是指电源正负两极之间的电压，一般情况下电源的端电压不等于电动势，两者之差为Ir，即电源电流与内阻r之积，称内阻电位降。当电源内阻为0，即Ir=0时，端电压在数值上等于电动势。对于有内阻的电源，只要流过它的电流为零（处于开路状态的电源就是如此），端电压也与电动势在数值上相等。 5-7如果选择两种逸出功和电子密度差别都非常大的金属A和B，让它们互相接触，是否就可以作为具有几伏电动势的永远不会耗竭的电源呢? 答：两种逸出功和电子密度差别都非常大的金属A和B接触并达到平衡状态后，在接触界面区域可以形成电势差即接触电势差。但是，在同一温度下，若使这两种金属构成闭合回路，或利用其他金属与它们构成闭合回路，整个回路都将不会有电流流动，因为不同金属的接触处都存在这种效应，对整个回路而言，各接触处的电势差的代数和为零。 所以，是不可能利用接触电效应作为永远不会耗竭的电源的，这也不符合能量守恒与转换定律。 5-8 试说明基尔霍夫第二定律与电路中的能量守恒是等价的。 答：基尔霍夫第二定律为 它表明沿任一闭合回路的电动势的代数和等于回路中各电阻上电势降落的代数和。 对于只具有单一回路的电路，很容易证明基尔霍夫第二方程与电路中的能量守恒等价。在此情况下，电路中的电动势和电阻呈串联关系，它们中的电流相等且沿同一方向，这时将第二定律两端乘以Idt再积分得 此式左端是在0t时间内各电源供能的代数和，右端是在该时间内各电阻负载耗能之和。这就证明了电路中电源供能之和(代数和)等于电路中负载耗能之和，符合能量守恒关系，说明基尔霍夫第二方程与电路中的能量守恒等价。练习题EdS练习题5-15-1 大气中由于存在少量的自由电子和正离子而具有微弱的导电性。已知地球表面附近空气的电导率，场强，地球半径。若将大气电流视为恒定电流，计算由大气流向地球表面的总电流强度。解：已知，。在地球表面上取一个微元曲面，如本题图所示。则由大气流向曲面的电流强度为（1）对上式积分可得大气流向地球表面的总电流强度为因为地球表面积为于是，大气流向地球表面的总电流为 5-2 截面积为10mm2的铜线中，允许通过的电流是60A，试计算铜线中的允许电流密度。设每个铜原子贡献一个自由电子，可算得铜线中的自由电子密度是，试计算铜线中通有允许电流时自由电子的漂移速度。解：铜线截面积，允许通过的电流，则铜线中允许电流密度又知铜线中的自由电子密度，则铜线中通有允许电流时自由电子的漂移速度为 5-3 有一个灵敏电流计可以测量小到的电流，当铜导线中通有这样小的电流时，每秒内有多少个自由电子通过导线的任一个截面？如果导线的截面积是，自由电子的密度是，自由电子沿导线漂移需要多少时间？IvtS解：设导线中单位体积的电子数为n，导线截面积为S，电子运动的平均速度为，则t时间内通过截面S的电子数N应为如本题图所示的圆柱体内的电子数，即由于，即，将其带入上式得 练习题5-3由已知条件可知，铜导线中电流，t1s，则每秒内通过导线任一个截面的自由电子数为又知导线的截面积，自由电子的密度， 则电子的平均漂移速率为于是，自由电子沿导线漂移需要的时间为5-4 一个铜棒的截面积为，长为，两端的电势差为。已知铜的电导率，铜内自由电子的电荷体密度为。求：（1）该铜棒的电阻；（2）电流；（3）电流密度；（4）铜棒内的电场强度；（5）铜棒中所消耗的功率；（6）棒内电子的漂移速度。解：铜棒的截面积，长，电导率，则（1） 铜棒电阻为（2） 由于铜棒两端的电势差为，则电流为 （3） 由电流密度的定义可知电流密度为 （4） 棒内的电场强度 （5） 铜棒中所消耗的功率为 （6） 由于自由电子的电荷体密度，则电子的漂移速度为（ms-1） 5-5 把大地看成均匀的导电介质，其电导率为。将半径为a的球形电极的一半埋于地面下，如本题图所示，求此电极的接地电阻。 解：以电极球心为原点，在离原点距离为l处取厚度为dl的半球面，该球面的电阻为故，总电阻为 练习题5-5用图 5-6 如本题图所示，圆锥体的电阻率为，长为l，两端面的半径分别为和。试计算此锥体两端面之间的电阻。 练习题5-6用图 练习题5-6题解用图解：取半径为r，厚度为dx的导体元。该导体元的电阻为由几何关系可得 即 微分得 于是5-7大多数生物细胞的形状类似球形，可将其细胞膜视为一个同心球壳体系。由于活体细胞内外均有许多带电粒子，这些粒子可通过细胞膜进行交换，形成跨膜电流。设细胞膜内半径为Ra，外半径为Rb，膜中介质的电阻率为。求（1）细胞膜电阻；（2）若膜内外的跨膜电势为Uab，求跨膜电流的电流密度与半径r的关系。练习题5-7d rRaRbr 解：（1）设想细胞膜是由许多个薄层圆形球面组成。以r代表其中任意一个薄层球面的半径，其面积，以dr表示薄层的厚度，如图所示。由题意可知电流沿径向方向流动，该薄层的电阻应为，则细胞膜的总电阻为（2）由于膜内外的跨膜电势为，跨膜电流由于在距离球心r处的总电流所通过的“截面积”，则跨膜电流的电流密度与半径r的关系为5-8 电缆的芯线是半径为的铜线，在铜线外面包有一层同轴的绝缘层，绝缘层的外半径为，电阻率。在绝缘层外面又用铅层保护起来。求：（1）长的这种电缆沿径向的电阻；（2）当芯线与铅层间的电势差为100V时，在这电缆中沿径向的电流多大？Il练习题5-8d rr (a) (b)解：（1）设想整个绝缘层是由许多个薄圆桶形绝缘层叠合而成。如图所示，以r代表其中任意一个薄层的半径，该薄圆桶形绝缘层的表面积，以dr表示此薄层的厚度，则由电阻公式，该薄层的径向电阻应为长的这种电缆沿径向的总电阻为代入数据后，解得（2）当芯线与铅层间的电势差时，根据欧姆定律求得径向电流为 AB、rIAB、rI充电放电练习题5-95-9 如本题图所示，一个蓄电池在充电时通过的电流为3.0A，此时蓄电池两极间的电势差为4.25V。当这个蓄电池放电时，通过的电流为4.0A，此时两极间的电势差为3.90V。求该蓄电池的电动势和内阻。解：如图所示，设所选定的积分路径是自A端经蓄电池到B端，应用含源电路的欧姆定律可得AB两端的电势差。当蓄电池充电时，有当蓄电池放电时，有将两式联立求解，并带入数据，；，可解得，IDCBA练习题5-10r2e1r1e2即蓄电池的电动势为4.10V,内阻为0.05。5-10 右图中的两个电源都是化学电池，,，内阻。求：（1）充电电流；（2）每秒内电源1消耗的化学能；（3）每秒内电源2获得的化学能。解：（1）如图所示，对闭合回路ABCDA应用基尔霍夫第二定律得：带入数据，解得（2）每秒内电源消耗的化学能为（3）每秒内电源获得的化学能为 （a） （b） 练习题5-11Be1e2CAI2RVRCBAe1e2I1V5-11 电动势为和的两个电池与外电阻R以两种方式连接，如图8-26所示，图（a）中伏特计的读数为。问：（1）图（b）中伏特计的读数为多少（伏特计的零点刻度在中央）？（2）讨论电池在两种情形中的能量转换关系。解：（1）设电动势为、的两电池内阻分别为、，两电路中的电流、及方向如本题图所示。对电路（a）应用含源电路的欧姆定律得对回路ABCA应用基尔霍夫第二定律得类似地，对电路（b）得对回路得联立求解、式，代入数据、即，可解出因伏特计的零点刻度在中央，在电路（a）中读数为0.6V，则在电路（b）中读数应为。（2）在（a）电路中，电流方向与的方向一致，电池2处于放电状态。电池2消耗的电能一部分输出给外电路，另一部分转化为其内阻上的焦耳热。R1e1，r1R2321e2，r2ABe3，r3练习题5-12用图在（b）中电池2处于充电状态，外电路输入的能量一部分转化为电池2的非静电能，另一部分转化为其内阻上的焦耳热。5-12 在右图所示的电路中，已知，。求：（1）通过3的电流；（2）R2消耗的功率；（3）3对外供给的功率。解：（1）设各支路中的电流强度分别为、，其指向如图8-27所示。对节点A应用基尔霍夫第一定律可得 对闭合回路A1B3A（绕行方向为顺时针方向）和A2B3A（绕行方向为顺时针方向）分别应用基尔霍夫第二定律可得 将数据、 代入回路方程、并与电流方程联立求解可解出 ,此结果中、为负值，说明它们的实际电流指向与图中假定方向相反， 为正值，说明实际电流方向与原假定方向相同。所以，通过3的电流大小为0.29A。（2）R2消耗的功率（3）3对外供给的功率5-13 在下图所示的电路中，已知，。求通过电阻R2的电流的大小和方向。ABR2Ri2I2e1，r1I1R1Ri1R4Rie2，r2R3Ri3I3e3，r3 练习题5-13用图解：设各支路中的电流强度分别为、，其指向如图所示，对节点A应用基尔霍夫第一定律可得 对闭合回路A1B2A（绕行方向为顺时针方向）和A2B3A（绕行方向为顺时针方向）分别应用基尔霍夫第二定律可得带入数据、和，可解得，此结果中为正值，说明其方向与原来假定方向相同；、为负值，说明实际电流指向与原假定方向相反。因此，通过电阻R2的电流的大小为0.46A，方向从A指向B。5-14 在下图所示的电路中，已知，并假设各电流的方向如图所示。求：（1）A、B两点间的电势差；（2）C、D两点间的电势差；（3）如C、D两点短路，这时通过R5的电流有多大？e2，r2RiI2ARiBRi21R1RiR3RiR2RiR4RiR5RiI33e3，r3DC 练习题5-14用图e1，r1I1解：（1）设回路中电流强度的方向如图8-29所示。对回路A1B2A，设回路绕行方向为顺时针方向，应用基尔霍夫第二定律可得当C、D断开时，由此解得 带入数据，解得。选择一段含源电路A1B应用含源电路的欧姆定律可得带入数据可解得，即A 、B两点间的电势差为10.2V。（2）取CA1B3D含源电路,则C、D两点间的电势差带入相关数据可得。即C 、D两点间的电势差为2.5V。（3）如C、D两点短路，设各支路中的电流强度分别为、，其指向如图所示。对节点A应用基尔霍夫第一定律可得 对闭合回路A1B3A（绕行方向为顺时针方向）和A3B2A（绕行方向为顺时针方向）分别应用基尔霍夫第二定律可得 将式、联立求解，带入数据可得，。此结果中、均为正值，说明实际电流方向与图中假定的方向相同。所以，通过R5的电流大小为0.38A，方向从A指向B。12