八年级上册数学第一章知识点加经典例题.docx

第一章 认识三角形

1.1认识三角形
Ø 学习目标
1. 掌握三角形的概念，并能用符号正确表示三角形。
2. 能够正确地按角将三角形进行分类。
3. 理解三角形的三边关系，并利用其进行计算。
4. 理解三角形的角平分线、中线和高线的概念，会用量角器、三角尺等工具画三角形。
Ø 知识点
1. 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。 “三角形” 用符号“△”表示，顶点是ABC的三角形记做“△ABC”读作“三角形ABC”。三角形基本元素（三条边、三个内角、三个顶点）
三角形内角和为180°
2. 性质：三角形任何两边之和大于第三边；三角形的任何两边之差小于第三边（两点之间线段最短） ★注：判断三条线段能否组成三角形，只有把最长的一条线段与另外两条线段的和作比较。

3. 按角进行分类：
锐角三角形（三角形的三个内角都小于90°）；
直角三角形（三角形有一个角是90°）；（记作Rt△ABC）
钝角三角形（三角形有一个角大于90°）。

4. ★三角形的角平分线、中线和高线
角平分线定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的定点与交点之间的线段就叫三角形的角平分线。
中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线。
高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，定点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
★重要性质： 1角平分线上的点到角的两边距离相等。
2中线平分与它相交的边。
3一个三角形有三条角平分线、三条中线，并且都在三角形内部，交于一点。
4三种三角形都有三条高线，且其所在直线都交于一点。高线是顶点到对边所在直线的垂线段，所以垂足有可能在边的延长线上。
5. 三角形的面积：三角形的面积等于底乘于高除以2。
★同高等底的两个三角形面积相等。三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形。

1.2定义与命题
Ø 学习目标
1. 了解定义、命题的意义
2. 会区分命题的条件和结论
3. 会在简单情况下判断一个命题的真假
4. 了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的

Ø 知识点
1. 定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。（例如：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”，“无限不循环小数叫做无理数”）
★注意： 定义的常用叙述方式有“……叫做……””……叫……“ ”……是……”等。 定义是严密的，通常有以上几种判断动词。

2. 命题：一般地，判断某一件事情的句子叫做命题。
★注意：命题必须是一个完整的句子，是对某一件事情作出了正确或不正确的判断，或者说作出了肯定或否定的判断。

3. 命题的构成——条件与结论
命题由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，这种命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”开始部分为条件，“那么”后面的部分是结论。
★注意：有一些命题的叙述，其条件和结论并不那么分明，我们可以先把它改写为“如果……那么……”的形式，再找其条件和结论。

4．真命题和假命题
正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。
★ 举反例：举一个例子，若符合该命题的条件，而不符合该命题的结论，这种例子叫做反例，这种方法称为举反例。
★要说明一个命题是假命题，通常举一个反例即可。
★命题是判断一件事情的句子，即命题一定要对某件事情下结论，不管这个结论是对还是错。

1.3 证明
Ø 学习目标
1. 知道证明的意义和证明的必要性
2. 知道证明的过程及书写格式
3. 会证明三角形的内角和定理
4. 知道三角形的外角及外角的性质
Ø 知识点
1. 证明
要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。
2. 三角形的外角及外角的性质
外角：由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角叫该三角形的外角。
3. 重要结论：
A．三角形三个内角的和等于180°；
B．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
C. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
D.三角形的外角和为360°
4. 证明几何命题的一般格式
（1）按题意画出图形。
（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论。
（3）在“证明”中写出推理过程。
注意：1.有些题目已经画好图形，写好已知和求证，这是只要写出“证明”一步即可。
2.在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添加辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线。

1.4全等三角形+1.5三角形全等的判断
1. 全等三角形
定义： 1能够重合的两个图形称为全等图形；
全等用符号“≌”表示，读做“全等于“
2能够重合的两个三角形形称为全等三角形；
3两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点；互相重合的边叫做全等三角形的对应边；互相重合的角叫做全等三角形的对应角。
性质：★全等三角形的对应边相等，对应角相等。

★三角形全等的条件
1 三边对应相等的两个三角形全等（简称“边边边”或“SSS”） ；
2 有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）；
3 有两个角和这个两角的夹边对应相等的两个三角形全等（简称“角边角”或“ASA”）；
4 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简称“角角边”或“AAS”）；
5 HL（Rt△）； （两Rt△三角形一条斜边与一条直角边对应相等 则两三角形全等）
定义：垂直于平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。 1.6尺规作图 作法：

例题1 下面三种说法：①两个能够重合的三角形是全等三角形；②全等三角形的形状和大小相同；③全等三角形的面积相等。其中正确的说法有（ ）
A、3个 B、2个 C、1个 D、0个

例题2 若三角形的周长为17，且三边长都是正整数，那么满足条件的三角形有多少个？

例题3 如图，AD⊥BC，∠1=∠2 ，∠C=65°，求∠BAC的度数。

例题4 如图，已知：△ABC中，BD、CE分别是△ABC的两条角平分线，相交于点O。
（1）当∠ABC=60°,∠ACB=80°时，求∠BOC的度数；
（2）当∠A=40°时，求∠BOC的度数；
（3）当∠A=x时，求∠BOC的度数(用含x代数式表示）。

例题5 已知△ABC中，AC=5cm。中线AD把△ABC分成两个小三角形，这两个小三角形的周长的差是2cm。你能求出AB的长吗？

例题6 如图，把两根钢条AAˊ，BBˊ的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳。只要测量出AˊBˊ的长就知道内槽AB的宽。请说明理由。

例题7 一块三角形玻璃不小心摔成如图三片。只需带上其中的一片，玻璃店的师傅就能重新配一块与原来相同的三角形玻璃。你知道应带哪一片碎玻璃吗？请说明理由。

例题8 如图，点P是∠BAC的平分线上的一点，PB⊥AB，PC⊥AC，若PC=3cm，则点P到AB的距离是多少？

例题9 1.已知△ADF≌△CBE，则结论：①AF=CE ②∠1=∠2 ③BE=CF ④AE=CF，正确的个数是( )
（Ａ）1个 （Ｂ）2个 （Ｃ）3个 （Ｄ）4个

例题10 如图，要说明△ABD≌△ACE，还需增加两个什么条件？
（1）

（2）

例题11 已知∠、∠和线段a，用直尺和圆规作△ABC，使∠A ＝∠，∠B = ∠，AB = a。

例题12 如图，已知AB=DC，AD=BC,说出下列判断成立的理由：
(1) △ABC≌△CDA (2) ∠B=∠D

例题13 如图，△ABC中，AD垂直平分BC,H是AD上一点，连接BH,CH.
(1)AD平分∠BAC吗？为什么？
(2)你能找出几堆相等的角？请把它们写出来（不需写理由）。

例题14 如图，把大小为4×4的正方形方格图形分别分割成两个全等图形，例如图①，请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形分割成两个全等图形。