七年级数学家庭辅导-第二章-有理数-华东师大版.doc

第二章 有理数

l 应知：
一、基本概念
自然数：零和正整数称为自然数。
【注意】
①0不是正整数，也不是负整数，但它是整数。0可以表示没有，也可以表示一个实际存在的数量，如0℃．
②自然数又可分为奇数(2n-1)和偶数(2n)；0是偶数。质数(又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。)与合数(比1大但不是素数的整数)。零(0)和1既非质数也非合数。
正数和负数：用来表示具有相反意义的量的一对数。一般说，大于0的数称为正数，小于0的数称为负数。但在表示具有相反意义的量时，负数只是正数加上“-”号，不表示小于0。
整数：正整数(除0外的自然数)、负整数和0统称为整数。
有理数：整数和分数统称有理数（包括有限小数和无限循环小数）。
【注意】常见的不是有理数的数有π和有规律的但不循环的小数。如：0.010000001……将来会学到，这叫无理数，属实数范围。
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。划线部分称为数轴三要素。
相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零。
数的绝对值：一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点与原点的距离。一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。
【注意】
①绝对值的代数定义用数学符号语言表达：如果a＞0，那么=a；如果a＜0那么=-a；如果a=0，那么=0。实数绝对值的形式定义是：aR，
②“| |”有两重作用，即绝对值和括号。
③-(-5)读作-5的相反数，-|-5|读作-5绝对值的相反数。
④若表示两个非负数的式子和为0（或这两个式子互为相反数），则这两个式子都等于0。如：若，则(即),.
倒数：两个数乘积是1的数互为倒数，0没有倒数。
乘方：求几个相同因数的积的运算叫做乘方。
冪：乘方的结果叫做冪。读作a的n次方，或a的n次冪。式中a叫做底数，n叫做指数。
近似数：与实际数非常接近的数称为近似数。
【注意】
①近似数的精确度。
②近似数一般是用四舍五入的方法得到的，但实际生活中，有时也用估算法或进一法得到。
精确度：近似数与实际数近似的程度叫做精确度。
有效数字：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
科学记数法：把一个数写作的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。
二、基本法则
1. 有理数大小比较法则(注：学了实数后，实数大小的比较与此相同)：
①正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。
②两个正数，绝对值大的则大；两个负数，绝对值大的反而小。
③在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
④求差比较：设a、b是有理数，

⑤求商比较法：设a、b是两正有理数，
⑥绝对值比较法：设a、b是两负有理数，
⑦平方比较法：设a、b是两负有理数，
2. 有理数运算法则(注：实数运算法则与此同)
①加法交换律：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变。
用代数式表示：
②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
用代数式表示：
③乘法交换律：两个有理数相乘，交换乘数的位置，积不变。
用代数式表示：
④乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
用代数式表示：
⑤乘法对加法的分配律：两个数相加再乘另一个数,等于把这个数分别同两个加数相乘,再把两个积相加,得数不变。 　　
用代数式表示：
⑥有理数的运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
【注意】
①减去一个数，等于加上这个数的相反数。
②除以一个数等于乘以这个数的倒数。零不能作除数。
③正数的任何次冪都是正数，负数的奇次冪是负数，负数的偶次冪是正数。
l 应会：
1. 有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算。
【注意】①运算顺序。②运用各种运算律各公式，寻求简易算法。③去括号时的变号。
2. 用代数式表示运算律。
3. 在数轴上表示数、比较数的大小、确定数集。
4. 科学记数法。(注意：有效数字的位数。)
5. 取近似数。
6. 使用计算器。

l 例题
一、填空题
1. 在整数集合里的数是 ，在分数集合里的数是 ；
2. 整数和分数合起来叫做 ．
3. 当a＞1时，|a-1|=________；当a＜1时，|a-1|=________。
4. 若，则，.
5. 已知，|x|=5，y=3，则 　．
6. 在有理数范围内定义运算“☆”，其规则为：☆b=，则方程（4☆3）☆x=13的解为x= 。
二、选择题
1. 在以下说法中，正确的是       [    ]
A．非负有理数就是正有理数
B．零表示没有，不是有理数
C．正整数和负整数统称为整数
D．整数和分数统称为有理数
2. 在算式4-|-3□5|中的□所在位置，填入下列哪种运算符号，计算出来的值最小（ ）
A.+ B.- C.× D.÷
3. 的相反数是（ ）
A、 B、 C、 D、
三、判断题：
在下列各题中，正确的在括号中打“√号，不正确的在括号中打“×”号：
(1)两个数相加，和一定大于任一个加数．                              （    ）
(2)两个数相加，和小于任一个加数，那么这两个数一定都是负数．  （    ）
(3)两数和大于一个加数而小于另一个加数，那么这两数一定是异号．   （    ）
(4)当两个数的符号相反时，它们差的绝对值等于这两个数绝对值的和． （    ）
(5)两数差一定小于被减数．                                          （    ）
(6)零减去一个数，仍得这个数．                                      （    ）
(7)两个相反数相减得0．                                             （    ）
(8)两个数和是正数，那么这两个数一定是正数．                 （    ）
四、解答题
1. a的绝对值是多少？在数轴上如何表示？
2. 绝对值小于3的数有哪些?绝对值小于3的整数有哪几个?
3. 若|a|+|b-1|=0，求a，b
4. 计算
5. a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3，求 －cd的值
l 参考答案
一、1.正整数，零，负整数；正分数，负分数。 2.有理数
3. a－1，1－a 4. 4，－3 5. 2，－8 6. ±6
二、1. D 2. A 3. B
三、 (1)(5)～(8)× (2)～(4)√
四、 1.

2. 解：绝对值小于3的数是从-3到3中间的所有的有理数(注：学了实数后，则包括无理数)，有无数多个；但绝对值小于3的整数只有五个：-2，-1，0，1，2。
观察与分析：若a+b=0，则a，b互为相反数或a，b都是0。因为绝对值是非负数，若|a|+|b-1|=0，则只能|a|=0，|b-1|=0，由绝对值意义得a=0，b-1=0。

3.

解：因为|a|+|b-1|=0，所以a=0，b-1=0，所以a=0，b=1。
4. 解：原式=2+1-9+1=-5
观察与分析：∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，∴a+b=0，cd=1

5.

解： －cd =0+4－1=3