安徽省泗县双语中学2013届高三数学最后压轴卷-理-新人教A版.doc

双语中学2013届高三最后压轴卷数学（理）试题
注意：本试卷共分Ⅰ、Ⅱ两卷，所有答案必须写在答题卷的相应位置上，写在试卷上不予记分。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
１.在复平面内复数，对应的点分别为，若复数对应的点为线段的中点，则的值为（　　）
A. 61 　　 B．13 　 C．20 D．
2．已知，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A共有（　　）
A．11个 　 　　B．12个 　 C．15个 　 D．16个
3．设，则的值为( )
A. B . C. D.
4．等差数列的前项和为的值（　　）
A．18 　　　　 B．20 　　　　　 C．21 　　　　　D．22

9． 一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则椭圆的离心率为（ ）
A．　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　Ｄ．

第II卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．曲线（为参数）上一点到点、距离之和为________________。

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c =，
(1) 求角C的大小；
（2）求△ABC的面积.

17．（本小题满分12分）
某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等
品通过检测的概率为．现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．
（1）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；
（2）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列；w。w-w*k&s%5￥u
（3）随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率．

18. （本小题满分13分）
如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．
（1）求证：BD⊥FG；
（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，
并说明理由．
（3）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与
底面ABCD所成角的正切值．

19. （本小题满分13分）
已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；
（2）若对于都有成立，试求的取值范围；
（3）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.

20. （本小题满分12分）
已知椭圆C:的长轴长为，离心率．
Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
Ⅱ）若过点B（2，0）的直线（斜率不等于零）与椭圆C交
于不同的两点E，F（E在B，F之间），且OBE与OBF的面积之比为，求直线的方
程．w。w-w*k&s%5￥u

21. （本小题满分13分）
已知，且方程有两个不同的正根，其中一根是另一根的倍，记等差数列、的前项和分别为，且（
（1）若，求的最大值；
（2）若，数列的公差为3，试问在数列与中是否存在相等的项，若存在，求出由这些相等项从小到大排列得到的数列的通项公式；若不存在，请说明理由．
（3）若，数列的公差为3，且，.
试证明：.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
B
C
B
A
B
D
B
C
B

第II卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ）
11、8 12、6 13、5 14、1 15、0
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）

17．（本题满分12分）
解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为.
事件等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”

(Ⅱ) 由题可知可能取值为0，1，2，3. w。w-w*k&s%5￥u
,,
,.

0
1
2
3

(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为，
事件等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”
所以，.
18．（本题满分13分）
即
∵PA⊥面ABCD，
∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角 ………10分
连结EH，则

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是 …………12分
方法二解：以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）
D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,
（I）

则，而
，取z=1，得，
同理可得平面PBC的一个法向量
设所成的角为0，
则
即
…………10分
∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是 …………12分
19（本小题满分13分）
解: (I) 直线的斜率为1.函数的定义域为，，所以，所以. 所以. .由解得；由解得.
所以的单调增区间是,单调减区间是.
(II) ，由解得；由解得.
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
所以当时，函数取得最小值，.
因为对于都有成立，所以即可.
则. 由解得. 所以的范围是.
20．（本小题满分12分）
解：（I）椭圆C的方程为，由已知得
解得 ∴所求椭圆的方程为.
(II)由题意知的斜率存在且不为零，
设方程为 ①，将①代入，整理得
，由得

21.（本小题满分13分）
解：（1），，
故的最大值为。
（2）由（1）知，可得，
令，可得：矛盾
所以在数列与中不存在相等的项。
（3）证明：∵∴要证
即要证（直接用数学归纳法证明不出）

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