1、
初中数学竞赛辅导资料(9)一元一次方程解的讨论
甲内容提要
1， 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x＋6＝0， x（x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解
分别是： x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。
2， 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后，
讨论它的解：当a≠0时，有唯一的解 x=；
当a=0且b≠0时，无解；
当a=0且b＝0时，有无数多解。（∵不论x取什么值，0x＝0都成立）
3, 求方程ax
2、b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解
当a｜b时，方程有整数解；
当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解；
当a、b同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b
乙例题
例1 a取什么值时，方程a(a－2)x=4(a－2) ①有唯一的解？②无解？
③有无数多解？④是正数解？
解：①当a≠0且a≠2 时，方程有唯一的解，x=
②当a=0时，原方程就是0x= －8，无解；
③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解
④由①可知当a≠0且a≠2时，方程的解是x=,∴只要a与4同号，
即当a>0且a≠2时，方程的解是正数。
例
3、2 k取什么整数值时，方程
①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？
②（1－x）k=6的解是负整数？
解：①化为最简方程（k＋2）x=4
当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数
∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数。
②化为最简方程kx=k－6，
当k≠0时x==1－，
只要k能整除6, 即 k=±1，±2，±3，±6时，x就是整数
当 k=1,2,3时，方程的解是负整数－5，－2，－1。
例3 己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a 无解。问a和b应满足什么关系？
解：原方程化为最简方程： (a－b)x=b
∵
4、方程无解，∴a－b=0且b≠0
∴a和b应满足的关系是a=b≠0。
例4 a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？
解：原方程化为最简方程：（3a+2b－8）x=2a+3b－7，
根据 0x＝0时，方程有无数多解，可知
当 时，原方程有无数多解。
解这个方程组得
答当a=2且b=1时，原方程有无数多解。
丙练习（9）
1, 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：
① (x+1)=0, ②x2=9, ③|x|=9， ④|x|=－3,
⑤3x+1=3x－1, ⑥x+2=2+x
2,关于x的方程ax=x+2无解，那么a____
5、
3,在方程a(a－3)x=a中，
当a取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a＿＿＿时无解；
当a＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a＿＿＿＿时,解是负数。
4， k取什么整数值时，下列等式中的x是整数？
① x= ②x= ③x= ④x=
5， k取什么值时，方程x－k=6x的解是 ①正数？ ②是非负数？
6， m取什么值时，方程3（m+x）=2m－1的解 ①是零？ ②是正数？
7， 己知方程的根是正数，那么a、b应满足什么关系？
8， m取什么整数值时，方程的解是整数?
9， 己知方程有无数多解，求a、b的值。
初一下部分参参答案
练习9
1. ①－1 ②±3 ③±9 ④无解 ⑤无解 ⑥无数多个解
2. a=1 3. a≠3,a≠0；a=3；a=0； a<3且a≠0
4.① k=±1,±2,±4 ②2，0，3，－1，4，－2，7，－5
③±1，±3 ④4，－5，0－2（）
5. ①k<0 ②k ≤0 6. ①m=－1 ②m＜－1 7. 2a+b>0
8. 化为最简方程mx=m+3, 当m=±1,±3时，有整数解
9.化为最简方程(3a－b)x=b+2
当时方程无解，解得
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