二次函数解析式的求法及其简单应用.doc

二次函数解析式的求法及其简单应用第16时 二次函数解析式的求法及其简单应用【基础知识梳理】在二次函数的问题中，经常会遇到求二次函数解析式的问题.用待定系数法求二次函数的解析式有三种常用的方法1、设顶点式，即设 当知道抛物线的顶点坐标或对称轴方程与函数最值时,除代入这一点外，再知道一个点的坐标即可求函数解析式2、设一般式，即设 一般的，知道三个点坐标或自变量与函数的三组对应数值可设为一般式，从而列三元一次方程组求得函数解析式.3、已知抛物线与x轴有两个交点(或已知抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式:即设 【注意:求二次函数解析式，要根据具体图象特征灵活设不同的关系式,除上述常用方法以外,还有：如抛物线顶点在原点可设 ；以y轴为对称轴，可设 ;顶点在x轴上，可设 ；抛物线过原点可设 等】顶点式的几种特殊形式。 yxO3x=1图1【基础诊断】1。 抛物线的图象如图所示,则此抛物线的解析式为 2。已知关于的二次函数图象顶点（1，1)，且图象过点（0，3）,则这个二次函数解析式为 。3.已知一抛物线与x轴的交点是、B(1,0），且经过点C（2,8）。（1）求该抛物线的解析式;（2）求该抛物线的顶点坐标。【精典例题】例1（2012佛山)（1）任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；y随x变化的部分数值规律如下表：x10123y03430有序数对（1，0)、（1，4）、(3，0)满足y=ax2+bx+c;已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分（如图）（2）直接写出二次函数y=ax2+bx+c的三个性质点拨：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象,二次函数的性质关键是熟练掌握二次函数的三种形式，灵活运用解析式的三种形式解题例2(2012珠海)如图,二次函数y=（x2)2+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0)及点BABCOxy（1)求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b（x2）2+m的x的取值范围点拨：本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与不等式组，求出B点坐标是解题的关键例3.(2011湖南永州)如图,已知二次函数的图象经过A（,)，B（0,7）两点求该抛物线的解析式及对称轴；当为何值时，？在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于C,D两点(点C在对称轴的左侧），过点C，D作轴的垂线,垂足分别为F,E当矩形CDEF为正方形时,求C点的坐标【自测训练】A基础训练一、选择题(每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.)1（2012株洲)如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=1,则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（) A(3，0） B（-2,0） Cx=-3 Dx=22. （2011江苏无锡，)下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴,且经过点（0，1）的是（ )Ay = （x 2)2 + 1 By = (x + 2)2 + 1 Cy = (x 2）2 3 Dy = (x + 2）2 33。把函数y=2x2+1的图象沿x轴对折，得到的图象的解析式为（ ). A、y=2x2 B、y=2x21 C、y=2(x+1)2 D、y=2(x1）2 4(2012年四川德阳)在同一平面直角坐标系内，将函数的图象沿轴方向向右平移2个单位长度后再沿轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是A.（，1) B.（1，）C。（2，）D.(1，）5. （2011泰安）若二次函数yax2bxc的x与y的部分对应值如下表：x765432y27133353则当x1时，y的值为（）A5B3 C13D27二、填空题1.当m=_时，函数y = （m2 4）x + 3是二次函数,其解析式是_2（2012无锡)若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0),则抛物线的函数关系式为 3对称轴是轴且过点A（1，3）、点B（2，6)的抛物线的解析式为 4一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y= - 2x2相同，这个函数解析式为_5抛物线与x 轴的交点横坐标为1和5,并且经过点（0，5）,这个函数解析式为_三、解答题1。 （2011重庆江津）已知双曲线与抛物线y=ax2+bx+c交于A（2，3)、B(m,2）、c(3,n)三点. （1）求双曲线与抛物线的解析式;(2）在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C,并求出ABC的面积,yx11o-1-12(2012佳木斯)如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2,0)（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3)若抛物线上有一点B，且SOAB=3，求点B的坐标3. （2011湖南湘潭）如图，直线交轴于A点,交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3，0）. OCBA 求抛物线的解析式; 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由。B提升训练一、选择题(每小题有四个选项,只有一个选项是正确的.）1。若抛物线的顶点在x轴下方，则m的值为 （ )(A） m=5 (B）m=-1 （C) m=5或m=-1 (D） m=52若y=ax2+bx+c，则由表中信息可知与的函数关系式是（ ）x-101ax21y=ax2+bx+c83A. y=x24x+3 B. y=x23x+4 C. y=x23x+3 D. y=x24x+83. 二次函数y=x+bx+c的图象向左平移两个单位,再向上平移3个单位得二次函数则b与c分别等于（ ）（A)2，2 (B）-6,6 (c)8，14 （D)-8，18。4.（2012桂林）如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线y=x上的A处，则平移后的抛物线解析式是（)Ay=（x+1）2-1 By=（x+1）2+1 Cy=（x-1）2+1 Dy=（x-1）2-1 5.（2011包头)已知二次函数y=ax2+bx+c同时满足下列条件：对称轴是x=1;最值是15;二次函数的图象与x轴有两个交点,其横坐标的平方和为15a，则b的值是（)A、4或30 B、30 C、4 D、6或20二、填空题1（2012宁波)把二次函数y=（x1）2+2的图象绕原点旋转180后得到的图象的解析式为 2.( 2011重庆江津）将抛物线y=x22x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是_。3。（2011浙江舟山)如图,已知二次函数的图象经过点（-1，0），（1，2）,当随的增大而增大时，的取值范围是 4已知抛物线与轴交于点A，与轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，SABC=3,则= ，= 5（2012扬州）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE长的最小值是 三、解答题1如图，点A在x轴上，OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2)求经过点AO、B的抛物线的解析式；（3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标;若不存在，说明理由2(2012遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为(3,）（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；(2）在抛物线上求点P，使SPOA=2SAOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使AQO与AOB相似？如果存在,请求出Q点的坐标;如果不存在，请说明理由3（2012湘潭）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点,已知B点坐标为(4，0)(1）求抛物线的解析式；(2）试探究ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标【0812济南】答案提示:【基础诊断】y=x2+2x+3 y=2（x1)2-1 y=2x2+2x4【精典例题】例1(1)抛物线解析式为y=（x-1）2+4,即y=x2+2x+3；(2）抛物线y=-x2+2x+3的性质如:对称轴为x=1，当x=1时,函数有最大值为4,当x1时，y随x的增大而增大例2(1）二次函数解析式为y=（x-2）2-1一次函数解析式为y=x1；（2）1x4例3(1）该抛物线的解析式为。对称轴为直线。(2）当函数值时，的解为。结合图象，容易知道时,。（3）点C的坐标为（1,4）.【自测训练】A 基础训练ACBBD m=3 y=5x2+3 ； y=x2+4x3； y=-3x2+6; y=2(x-2）2+1; y=x2-6x+5解答题1（1）把点A（2，3)代入得 ：k=6 反比例函数的解析式为： 把点B(m，2）、C（3，n)分别代入得： m=3，n=2 把A（2，3)、B（3，2)、C(3，2)分别代入y=ax2+bx+c得: 解之得 抛物线的解析式为：y=(2)描点画图SABC=(1+6）51164=5A(2,3)yx11o-1-1B(2,3)C(-2,-3)2 解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=x2+bx+c得，解得 ，所以解析式为y=x2-2x。（2）y=x22x=（x1）21，顶点为（1，-1），对称轴为:直线x=1 。（3）设点B的坐标为(a,b），则2b=3，解得b=3或b=3,顶点纵坐标为1,31 （或x22x=3中，x无解)b=3，x2-2x=3，解得x1=3，x2=1所以点B的坐标为（3，3）或(-1，3）.3解:(1)设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c。直线交轴于A点，交轴于B点,A点坐标为(-1,0)、B点坐标为(0,3）.又抛物线经过A、B、C三点，解得：，抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3（2）y=-x2+2x+3= ，该抛物线的对称轴为x=1设Q点坐标为（1，m)，则，又.当AB=AQ时， ，解得：，Q点坐标为（1，）或（1，）；当AB=BQ时,，解得：,Q点坐标为(1，0）或(1，6）；当AQ=BQ时，解得:，Q点坐标为（1，1）抛物线的对称轴上是存在着点Q（1，）、（1,）、(1，0）、（1，6）、（1，1)，使ABQ是等腰三角形B提升训练BABCC y=（x+1）2-2 ； y=（x5）2+2 或 y=x210x+27; ;b=-4, c=3; 1 .解答题1解：（1)如图，过B点作BCx轴，垂足为C,则BCO=90，AOB=120，BOC=60，又OA=OB=4,OC=OB=4=2，BC=OBsin60=4=2，点B的坐标为（2，2）；(2）抛物线过原点O和点AB，可设抛物线解析式为y=ax2+bx,将A（4,0），B(22）代入，得,解得，此抛物线的解析式为y=x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y)，若OB=OP，（21世纪教育网版权所有）则22+|y2=42，解得y=2，当y=2时,在RtPOD中，PDO=90，sinPOD=，POD=60，POB=POD+AOB=60+120=180，即P、O、B三点在同一直线上，y=2不符合题意，舍去,点P的坐标为（2,2)若OB=PB，则42+y+2|2=42，解得y=2，故点P的坐标为（2，2)，若OP=BP，则22+|y2=42+|y+2|2,解得y=2，故点P的坐标为（2,2)，综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为(2，2)，2解：（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax2+bx（a0),又函数的顶点坐标为(3,）,，解得：,故函数解析式为：，由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6，0）；（2）SPOA=2SAOB，点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为，代入函数解析式得:=，解得：x1=3+3，x2=3-3,即满足条件的点P有两个，其坐标为:P1（3+3，），P2（3-3，）（3）存在过点B作BPOA，则tanBAP=，故可得BOA=30,设Q1坐标为（x，），过点Q1作Q1Fx轴,OABOQ1A，Q1OA=30，故可得OF= 3 Q1F，即x=(），解得:x=9或x=0（舍去），经检验得此时OA=AQ1，OQ1A是等腰三角形，且和OBA相似即可得Q1坐标为（9，3 ），根据函数的对称性可得Q2坐标为（-3，3)在抛物线上存在点Q，使AQO与AOB相似，其坐标为：（9，3）或（-3，3）3解:(1）将B(4，0）代入抛物线的解析式中,得：0=16a42，即：a=；抛物线的解析式为：y=x2x2(21世纪教育网版权所有）（2）由（1）的函数解析式可求得：A（1，0）、C（0，2)；OA=1，OC=2,OB=4，即：OC2=OAOB，又：OCAB，OACOCB，得：OCA=OBC；ACB=OCA+OCB=OBC+OCB=90，ABC为直角三角形,AB为ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为:（，0)（3)已求得:B（4，0）、C（0,2），可得直线BC的解析式为:y=x2；设直线lBC,则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程：x+b=x2x2，即： x22x2b=0，且=0；44(2b）=0，即b=4；直线l：y=x4由于SMBC=BCh，当h最大（即点M到直线BC的距离最远)时，ABC的面积最大所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有：，解得：即 M（2，3）【0812济南】第 15 页（共 15 页）