四川省成都外国语学校2011届高三数学3月月考-理.doc

成都外国语学校2011级高三(下)三月月考试题
数学（理科）

注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2、本堂考试120分钟，满分150分。
3、本堂考试附有答题卡。答题时，请将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案规范地填涂在答题卡上；
4、答题前，请将自己的姓名、学号用2B铅笔规范地填涂在答题卡上，并在答题卷上密封线内用钢笔工整地填上自己的班级、姓名和学号。
第Ⅰ卷（选择题 60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每个小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．
1．函数的最大值为，最小正周期为，则有序数对为（ ）
A． B． C． D．
2．命题：若，则与的夹角为钝角。命题：定义域为R的函数在及上都是增函数，则在上是增函数。下列说法正确的是（ ）
A．“或”是真命题 B．“且”是假命题
C．“”为假命题 D．“”为假命题
3．已知实数满足：（其中是虚数单位），若用表示数列的前项的和，则的最大值是（ ）
A．16 B．15 C．14 D．12
4．把下列各题中的“=”全部改成“”，结论仍然成立的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，且，那么 D．如果，那么
5．若函数存在反函数，且函数的图像过点，则函数的图象一定过点（ ）
A． B． C． D．
6．某班选派6人参加两项公益活动，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有（ ）
A．50种 B．70种 C．35种 D．55种
7．设平面区域D是由双曲线的两条渐近线和直线所围成三角形的边界及内部。当时，的最大值为（ ）
A．24 B．25 C．4 D．7
8．设，定义，如果对任意的且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
10．如图所示，所在的平面和四边形所在的平面互相垂直，且
，，，，。若，
则动点在平面内的轨迹是（ ）
A．椭圆的一部分 B．线段
C．双曲线的一部分 D．以上都不是
11．如图所示，已知球O为棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，则平面
ACD1截球O的截面面积为（ ）
A． B．
C． D．

12．下列命题中：①函数的最小值是；②在中，若，则是等腰或直角三角形；③如果正实数满足，则；④如果是可导函数，则是函数在处取到极值的必要不充分条件。其中正确的命题是（ ）
A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．②③

第Ⅱ卷 （非选择题 90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡题中相应的横线上．
13．已知、、分别是的三个内角、、所对的边，若，则 。
14．设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若，则展开式中的系数为 。
15．对于连续函数和，函数在闭区间上的最大值称为与在闭区间上的“绝对差”，记为，则 。
16．下面给出的四个命题中：
①对任意的，点都在直线上是数列为等差数列的充分不必要条件；
②“”是直线与“直线相互垂直”的必要不充分条件；
③设圆与坐标轴有4个交点，，，，则有；
④将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象。
其中是真命题的有 （将你认为正确的序号都填上）。
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
某高校的自主招生考试数学试卷共有8道选择题，每个选择题都给了4个选项（其中有且仅有一个是正确的）。评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分。某考生每道题都给出了答案，已确定有4道题的答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其中两个选项是错误的，有一道题可以判断其中一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜。对于这8道选择题，试求：
（1）该考生得分为40分的概率；
（2）该考生所得分数的分布列及数学期望。

18．（本小题满分12分）
在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线（记作MA）的变化情况来决定买入或卖出股票。股民老王在研究股票的走势图时发现一只股票的MA均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xoy，则股价y（元）和时间x的关系在ABC段可近似地用解析式来描述，从C点走到今天的D点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且D点和C点正好关于直线对称。老王预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里DE段与ABC段关于直线对称，EF段是股价延续DE段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点F。
现在老王决定取点，点，点来确定解析式中的常数，并且已经求得。
（1）请你帮老王算出，并回答股价什么时候见顶（即求F点的横坐标）；
（2）老王如能在今天以D点处的价格买入该股票5000股，到见顶处F点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？

19．（本小题满分12分）
19题图
如图所示，多面体中，是梯形，，是矩形，平面平面，，。
（1）求证：平面；
（2）若是棱上一点，平面，求；
（3）求二面角的平面角的余弦值。

20．（本小题满分12分）
已知数列是公差为的等差数列，为其前项和。
（1）若，，依次成等比数列，求其公比；
（2）若，求证：对任意的，向量与向量共线；
（3）若，，，问是否存在一个半径最小的圆，使得对任意的，点都在这个圆内或圆周上。

21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，为坐标原点，给定两点，，点C满足，其中且。
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与双曲线（且）交于M、N两点，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围。

22．（本小题满分14分）
设函数。
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于x的方程在上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围。
成都外国语学校2011级高三(下)三月月考试题
数学（理科）参考答案
一、选择题：BBADD AADAC AC
二、填空题：13．；14．150；15．；16．①③ ④。
三、解答题：
17．解：（1）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余四道题中，有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为，还有一道题答对的概率为，所以得40分的概率为。
（2）依题意，该考生得分的取值是20，25，30，35，40，得分为20表示只做对了四道题，其余各题都做错，故所求概率为；
同样可求得得分为25分的概率为；
得分为30分的概率为；
得分为35分的概率为；
得分为40分的概率为。
于是的分布列为：

20
25
30
35
40
P

故。
该考生所得分数的数学期望为。
18．解：（1）关于直线对称点坐标为，即，把A、B、C的坐标代入解析式，得 。

②①得，③①得，
。
，， 代入②得，再由①得。，。
于是，段的解析式为，由对称性得，段的解析式为。，解得。当时，股价见顶。
（2）由（1）可知， ，故这次操作老王能赚元。
19．证明与求解：（1）平面，，从而。又因为面，平面平面，所以平面。
（2）连接，记，在梯形中，因为，，所以，，，从而。又因为，，所以。连接，由平面得，因为是矩形，所以。
（3）以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的一个法向量为，则有，即，解得。
同理可得平面的一个法向量为，观察知二面角的平面角为锐角，所以其余弦值为。
20．解：（1）因为，，成等比数列，所以，。
，。
（2）因为，而
，
所以，所以向量与向量共线。
（3）因为，所以，。

=。
因为，所以。，当时取等号。
所以，即所以存在半径最小的圆，最小半径为，使得对任意的，点都在这个圆内或圆周上。
21．解：（1）设，则。

，即点C的轨迹方程为。
（2）由题意。
。
。
，
。
（3）。。
。
∴双曲线实轴长的取值范围是。

22．

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