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大学物理授课教案第十五章光的衍射
第十五章 光的衍射
§15—6 光的衍射现象 惠更斯费涅耳原理
前面我们讨论了光的干涉，干涉是波动的特征之一,在此，我们来讨论光另外的特征，即衍射现象（绕射现象）.
一、光的衍射现象
1、衍射定义
当波传播过程中遇到障碍物时,波就不是沿直线传播,它可以到达沿直线传播所不能达到的区域。这种现象称为波的衍射现象（或绕射现象）（原因是波阵面受到了限制而产生的)。
2、光的衍射现象
在日常生活中水波和声波的衍射现象是较容易看到,但光的衍射现象却不易看到，这是因为光波的波长较短，它比衍射物线度小得多之故.如果障碍物尺度与光的波长可以比较时，就会看到衍射现象。
如下图，S为线光源,k为可调节宽度的狭缝，E为屏幕（均垂直纸面），高缝宽比光的波长大得多时，E上出现一光带（可认为光沿直线传播），若缝宽缩小到可以与光的波长比较时（数量级以下）,在E上出现光幕虽然亮度降低，但范围却增大,形成明暗相间条纹.其范围超过了光沿直线所能达到的区域，即形成了衍射。

波的衍射现象在我们学习惠更斯原理时就已经接触到了，由于波动的特性，因而水波穿过小桥同时要向两旁散开，人站在大树背后时照样能听到树前传来的声音，光线在一定的条件下（衍射物的线度与波长可以比较）就会拐弯，等。此外，在我们学习双缝干涉时，也包含了衍射的因素，若不是光线能拐弯，经过双缝的光线怎样能相遇呢？
衍射是一切波动所具有的共性，衍射是光具有波动性的一种表现.
二、惠更斯——费涅耳原理
1、原理表述
惠更斯指出：波在介质中传播到的各点，都可以看作是发射子波的波源，其后任一
时刻这些小波的包迹就是该时刻的波阵面.此原理能定性地说明光波传播方向的改变（即衍射)现象，但是,不能解释光的衍射中明暗相间条纹的产生。原因是这一原理没有讲到波相遇时能产生干涉问题，因此费涅耳对惠更斯远离做了补充，如下：
费涅耳假设：从同一波阵面上各点发出的子波同时传播到空间某一点时，各子波间也可以相互迭加而产生干涉。
经过发展的惠更斯原理成为惠更斯费涅耳原理.根据这一原理,如果已知光波在某一时刻的波阵面，就可以计算下一时刻光波传到的点的振动。
2、原理的定量表达式
如图所示，S为某时刻光波波阵面，为S面上的
一个面元， 是的法向矢量，P为S面前的一点,从
发射的子波在P点引起振动的振幅与面积元ds成正比，
与到P点的距离r成反比（因为子波为球面波），还与
同间夹角有关，至于子波在P点引起的振动位相仅
取决于r，ds在P处引起的振动可表示为

式中为光波角频率,为波长，是的一个函数。应该指出, 越大，在P点引起的振幅就越小，费涅耳认为时,，因而强度为零。这也就解释了子波为什么不能向后传播的问题。
整个波阵面S在P产生的合振动为何，由惠更斯-—费涅耳原理有：
（15—1）
上式是惠更斯——费涅耳原理的定量表达式。在一般情况下，此式积分是比较复杂的，在某些特殊情况下积分比较简单，并可以有矢量加法代替积分。下节介绍应用费涅耳半波带方法来解释单缝衍射现象，这种方法更为简单。
三、两类衍射问题
1、费涅耳衍射
光源S，屏E与衍射物距离均为有限
(或一个距离为无限远）的衍射,如图所
示.
2、夫琅和费衍射：
光源S,屏E与衍射物均无限远时的衍射。
因为光源和光屏相对衍射物是在无穷远处,因而入射光和衍射光都是平行光，所以夫琅和费衍射也称为平行光衍射，如图所示。

实际上，夫琅和费衍射经常利用两个会聚透镜来实现（如在实验中产生的夫琅和费衍射）。如下图所示,S处于焦平面上，形成衍射.
在衍射实验中通常使用平行光，所以夫琅和费衍射是较为重要的,而且在数学上也较易处理，下面只讨论夫琅和费衍射。
§15—2 单缝衍射（单缝的夫琅和费衍射）
一、衍射装置
下图为单缝的夫琅和费衍射装置。

S为点光源，E上是一些光斑，其 线垂直单缝。
S为线光源，E上是平行于狭缝的明暗相间的条纹。
二、用费涅耳半波带法确定明、暗条纹及位置
如图所示，一束平行光垂直入射到K上。对于沿入射波方向(）情况先考虑一下。在单缝AB处，这些子波同位相，经L后会聚O处.因为L不引起光程差,所以在O处这些子波仍同位相，故干涉加强，即出现亮纹（此条纹称为中央亮纹)。

其它方向（）情况变复杂些。下面考虑与入射方向成角的子波线(经L后为光线②）。称为衍射角.光线②会聚在P点,角不同，P的位置就不同，在E上可出现衍射图样。为了研究明暗条纹位置,下面考虑位相差问题。做平面AC垂直BC,从图知，由AC上各点达到P点的光线光程都相等，这样从AB发出的光线在P点的位相差就等于它们在AC面上的位相差。
由图可见，从K的AB两端点来看，B点发出的子波比A点发出的子波多走的光程（空气中）。这显然是沿方向上光波射线的最大光程差。下面用费涅耳半波带法确定P处是明还是暗.分几种情况讨论。
1、
即BC恰等于两个半波长，如下图所示，将BC为二等份，过等分点做平行于AC的平面，将单缝上波阵面分为面积相等的两部分，，每一部分叫做一个半波带，每一个波带上各点发出的子波在P点产生的振动 可认为近似相等。二波带上的对应点(如的中点与的中点)所发出的子波光线达到AC面上时光程差为,即位相差为，可知在P点它们的位相差为。所以，产生干涉相消。结果由及两个半波带上发出的光在P点完全抵消，所以，出现暗纹(沿光源,以下同）.

2、
即AC恰为三个半波长.如图所示，将BC分成三等份，过等分点做平行于AC面的平面，这两个平面将单缝AB上的波阵面分成三个半波带，，.依照以上解释,相邻二波带发出的光在P点互相干涉抵消,剩下一个波带发出的光束被抵消，所以P处出现明纹.
3、
在此情形下,将AB分成n个半波带，如果n=偶数，则所有波带发出的光在P点成对地（相邻的波带）互相干涉抵消,因而P点为暗纹。如果n为奇数，则n个波带中有（n-1)个（偶数)个波带发出的光在P点成对地干涉相消，剩下的一个波带发出的光未被抵消,所以P出现明纹.综上可知，可得如下结论：
明纹条件: （15—2）
暗纹条件:. （15-3）
称为中央亮纹，k=1，2,…分别称为第一，二，…级明纹（或暗纹）。
三、几点讨论
（1）单缝衍射条纹是关于中央亮纹对称分布的。
（2）中央亮纹宽度及半角宽度
半角宽度：；
中央亮纹宽度(二个第一级暗纹间距离）:
;
中央亮纹区域：。
（3）衍射角较小时明纹宽度（相邻暗纹之距）
，
即中央明纹为k较小的明纹宽度的2倍。
（4）k级亮纹合成（2k+1）个半波带；k级暗纹对应2k个半波带。
K越大,AB上波阵面分成的波带数就越多，所以，每个波带的面积就越小，在P点引起的光强就越弱.因此，各级明纹随着级次的增加而亮纹减弱。
(5）单缝衍射亮纹分布
如下图所示，［用半波带法求得暗纹位置条件是是准确的，而亮纹条件是近似的］
（6）白光做光源时，由于O处各种波长的光均加强，它们的位置在O处重合，所以O处为白色条纹，在其它明纹中,同一级次条纹紫光距O近，红光距O远。
（7)由可知,给定时,越小，则越大，即衍射就显著;越大，则各级次衍射角就越小，这样，条纹都向O处靠近,逐渐分辨不清，衍射就不明显。如果比大得多，各级衍射条纹全部并入O处附近，形成一明纹，这可认为光沿直线传播情况，看不到光的衍射现象.
（8）单缝k向上平移时，E上图样不变。
因为单缝位置平移时，不影响L的会聚光的作用，此时会聚位置不变。
注意：光的单缝衍射与光的干涉明暗条纹条件的区别。
例15—1：如图所示，用波长为的单色光垂直入射到单缝AB上，(1）若AP—BP=2,问对P点而言，狭缝可分几个半波带?P点是明是暗？(2）若AP—BP=1.5，则P点又是怎样？对另一点Q来说，AQ—BQ=2。5，则Q点是明是暗?P、Q二点相比哪点较亮？
解：（1)AB 可分成4个半波带,P为暗点（2k个）。
（2)P点对应AB上的半波带数为3,P为亮点。
Q点对应AB上半波带为5，Q为亮点。
2+1=5, 2+1=3，
=2, =1.
P点较亮。
例15-2：一单缝用波长、的光照射，若的第一级极小与的第二级极小重合，问：
（1） 波长关系如何？
（2）所形成的衍射图样中,是否具有其它的极小重合？
解：（1）产生极小条件：
,
依题意有：
。
(2)设衍射角为时，的第级极小与的第级极小重合，则有
.
即当时，它们的衍射极小重合。
§15—3衍射光栅
一．衍射光栅
1．衍射光栅:
由大量宽等间距平行排列的狭缝组成的光学元件称为衍射光栅。
2．光栅常数：
设透光缝宽为a，不透光的刻痕宽为b，则(a+b)称
为光栅常数.对于好的光栅，1cm内有15000条缝，即
cm=
二．光栅衍射条纹的形成
S为单色线光源，在透镜L1 焦点上，G为光栅，缝垂直于图E，E为屏，处于透镜L2焦点上。

光栅衍射是单缝衍射与多缝间干涉的总结果.
三．明纹出现必要条件 光栅方程
平行光(单色光）垂直入射到光栅上，使光栅成一波阵面，考虑到所有缝发出的光沿与光轴成角的方向的光线经L2后焦于一P处,下面看一下P为明纹的必要条件为何？称为衍射角。

A、B缝相应部分光程差为。当相邻二缝相应点发出的光线在E上相遇时光程差为整数倍时，即时，两相邻缝干涉结果是加强的，进而可知，所有缝间光在该处都是加强的。故P点出现明纹。
可见，
此式为干涉加强的必要条件（是出现明纹的必要条件）,称为光栅方程。细而亮的明纹称为主极大.
讨论：（1）k=0称为零级明纹，k=1,2,…称为第1、2级明纹，如上图所示。
（2）衍射图样关于中央明纹是上下对称的。
（3）用白光照射时,中央明纹为白色，其它各级明纹为彩色，同一级明纹中，紫光在内,红光在外。
（4）由光栅公式知，（a+b）越小,则对给定波长的各级条纹，衍射角的绝对值就越大，条纹间距分得越开。光栅缝数很多，条纹亮度大。缝越多则明纹越细。
（5)缺级问题
如果满足光栅方程的角同时又满足单缝时暗纹公式，即角方向即是光栅的某个主极大出现的方向又是单缝衍射的光强为零的方向，亦即屏上光栅衍射的某一级主极大刚好落在单缝的光强为零处,则光栅衍射图样上便缺少这一级明纹，这一现象称为缺级。缺级现象产生的原因是光栅上所有缝的衍射图样是彼此重合的（如：考虑过L光轴的缝，它有一衍射图样，它上边的缝可看作是由它平移而得到的，平移缝时不改变条纹位置，各缝都有相同的衍射图样，它们是重合),即在某一处一个缝衍射极小时，其它各缝在此也都是衍射极小，这样就造成缺级现象。
若有缺极时，有
（15—4)
发生缺极的主极大级次为
如：a+b=2a时，k=2，4，6，…缺级. a+b=na时，k=n,2n,4n，…缺级。
（6）光栅垂直透镜光轴移动,图样不动。
四．衍射光谱
从光栅方程知，当白光入射时，中央明纹为白色,其它同一级的条纹不重合，波长较长的在外，波长较短的在内。对应同一k的各种波长条纹的整体称为第一级光谱，这些条纹每一个称为一条谱线。光谱关于中央条纹两侧对称分布,如下图所示：

例15—3：复色光E入射到光栅上，若其中一光波的第三级最大和红光（）的第二级极大相重合，求该光波长.
解:光栅方程为由题意知：

即
例15-4：用白光E入射每cm中有6500条刻线的平面光栅上，求第三级光谱 张角。(白光：4000～7600)
解：光栅常数
光栅方程
第3级光谱中：
说明不存在第3级完态光谱，只是一部分出现。这一光谱的张角是：
设第3级光谱中出现的最大波长为，则由有
（绿光）
可见，第3级光谱中只能出现紫、蓝、青、绿等色的光,比波长5130大的黄、橙、红等光看不到。
例15-5：以氦放电来发出的光E入射某光栅,若测得时衍射角为,如在同一衍射角下出现更高级次的氦谱线，问光栅常数最小各多少？
解：依题意有

即
可见，n=1时,
n=1时， 取k=2
cm
注意：k值要取整数，才能把直接代入（a+b)min公式中。
例15-6:一束光线E入射到光栅上，当分光计转过角时，在视场中可看到第3级光谱为m的等级。问在同一角上可见波长在可见光范围内的其它条纹吗？（可见光波长范围是m）
解：光栅方程为
依题意有：m
k=1（一级光谱)时，应看到的波长=？
m m ∴看不见
k=2（二级光谱)时,应看到的波长=？
m m
∵在可见光内，∴看得见。
k=4(四级光谱)时，应看到的波长=？
m m
∴看不见
综上知,可看到二级光谱中波长为m的光谱线。
§15—9 光学仪器分辨率
按照几何光学，一个物点通过一个光学仪器形成的像是一个点，两个物点S1 、S2 形成的像总是分离的点P1 、P2。即使S1 、S2 很靠近,它们的像也总是可以分辨的。即按照几何光学，仪器的分辨能力或分辨本领是不受限制的。但是，实际上一物点发出的光波波阵面由于受到光学仪器的孔径的限制要发生衍射，一个物点的像不是一个几何点,而是一个比较复杂的图样。因而光学仪器的分辨本领总会受到限制.
一．瑞利判断标准和最小分辨角
设S1 、S2为距透镜L很远的两个物点，由它们发出的光可以看作平行光,透镜的边框相当于一圆孔，所以，S1 、S2发出的光通过L在焦面上可形成衍射图样A1 与A2。如果S1 、S2相离较远，则A1 、A2也较远(图a）。我们可以分辨出这两个物点的像.如果S1 、S2相离很近，使它们的衍射图样大部分重叠(图b），则在衍射图样上便分辨不出有两个物点存在.对于一定的光学仪器来说，能分辨得开得两个物点的最小距离成对透镜光心的最小夹角是多大呢？瑞利曾提出了一个判断标准,此判据如下：
如果一个物点的衍射图样的中央最大恰
好与另一个物点的衍射图样的第一最小重合，
就认为这两物点恰能被这光学仪器分辨。
因为这时两个衍射图样中心之间距离的
光强约为每个衍射图样中央最大处光强的80％,
大多数人的视觉能够判断这是两个物点的衍
射图样.
根据瑞利判据，当两物点刚被分辨时，
这两个物点的爱里斑（物点在屏上出现一个
圆形光斑，它的周围有环绕着的明暗相间的
圆环，这个光斑称为爱里斑）的中心对
透镜张角恰为爱里斑半角宽度，即 图15-16
D为圆孔直径。称为光学仪器的最小分辨角,其倒数称为光学仪器的分辨率本领。
二．提高分辨率的途径
1．减小：如用显微镜观察物体时不用可见光,而用紫外线，在大规模集成电路生产中就是用紫外线等短波长光光刻。电子显微镜是用电子衍射线的波动特性来观察物体，它的波长可以小到，从而大大提高分辨率。
2．增大：如天文望远镜，有的镜头直径达6m.

§15-10 晶体对x射线的衍射
一．X射线(伦琴射线）
X射线是一种波长极短的电磁波，当时很难用实验证明。普通的光学光栅虽然可以用来测定光波波长，但因光栅常数限制,对波长极短的电磁波无法测定。人们苦于用机械方法来制造伦琴射线可用的光栅。
二．劳厄实验
1912年，德国物理学家劳厄想到天然晶体本身可利用作为光栅，他进行了实验,圆满地获得了伦琴射线德衍射图样,证实伦琴射线的波动性。开创了伦琴射线作晶体结构分析的重大应用.
实验装置:

三．布拉格方程
在劳厄实验不久，苏联物理学家于利夫和英国物理学家布拉格父子分别提出另一种研究x射线的方法，为简单起见，假设晶体是由一种原子组成的,图（1）、（2）、（3）…表示一组互相平行的原子层（或晶面）,各层之间的距离（晶面间距)为d，设有一细束平行的、相干的、波长为的x射线投射在晶体上，
发生散射,x射线的散射与可见光不同，可见光只
在物体表面上被散射，而x射线的散射一部分在表
面原子层上被反射外，其余部分进入晶体内部，被
内部各原子所散射，x射线在表面原子层上的散射
和可见光一样，强度最大的散射方向是按反射定律
反射的方向，设为入射x射线与晶面之间夹角，
则强度最大的散射线与晶面的夹角也为。这个结
果对于其它各原子层上的散射线也适用.但来自于
原子层反射线之间有光程差。如：来自（1）、（2）
两层反射线的光程差为
AC+CB=2dsin
这个结果对于任何两相邻原子层的反射线都适用，如果
2dsin=k (k=1，2…） （15-5）
则各层反射线将互相加强，形成亮点。此式称为布拉格方程。
由布拉格方程看出，如果晶体结构（晶面间距为d）为已知，则可测定x射线的波长。通常x射线波长范围为100~0.1，反之,如果x射线波长为已知，在晶体上衍射，则可测出晶面间距d，从而可推出晶体结构。这种研究已经发展为一门独立的学科，叫做x射线结构分析。
劳厄获过诺贝尔物理学奖，1915年亨利•布拉格和劳伦斯•布拉格父子获诺贝尔物理学奖。