1、 太原理工大学线性代数练习册（一）一. 判断题（正确打，错误打）1. 阶行列式的展开式中含有的项数为.( ) 正确答案： 解答：方法1因为含有的项的一般形式是， 其中是级全排列的全体，所以共有项. 方法2 由行列式展开定理 ， 而中不再含有，而共有项，所以含有的项数是. 注意：含有任何元素的项数都是.2. 若阶行列式中每行元素之和均为零，则等于零.( ) 解答：将中的列都加到第一列，则行 列式中有一列元素全为零，所以等于零.3.( )解答：方法1按第一列展开 .方法2 交换2，4列，再交换2，4行 =.方法3 Laplace展开定理：设在行列式中任意取定了个行，由这行元素所组成的一切阶子式与它
2、们的代数余子式的乘积之和等于行列式。 所以按2，3行展开 =.4. 若阶行列式满足,则.() 解答：由行列式展开定理 .5. 若阶行列式的展开式中每一项都不为零,则.( ) 解答：反例如.二. 单项选择题1. 方程的根为（B）.（A）； （B）； （C）； （D）. 解答：（范德蒙行列式） ，所以根为.2. 已知,那么（D）. （A）； （B）； (C)； （D）.解答： 。3. 已知齐次线性方程组仅有零解，则（A）.（A）且；（B）或；（C）；（D）.解答：因为仅有零解， 所以， 所以且.4.下列行列式中不一定等于的是（B）.（A）； （B）；（C）； （D）.解答： 注意 =；而=.5.阶
3、行列式展开式中项的符号为(D). （A）- ； （B）+； （C）； （D）.三. 填空题1. 已知方程组有唯一解,且,那么 4 .解答：系数行列式， 而,所以, 所以.2. 已知4阶行列式中第3行的元素依次为-1，0，2，4，第4行的余子式依次为10，5,2则 9 .解答：因为，所以.3. 若为阶范德蒙行列式,是代数余子式，则.解答：.4. 120 .解答：方法1 .方法2 .5. 设，则的展开式中的系数为 -1 .解答：的展开式中有一项是. 或者按第一行展开：， 由此可以看出的系数为-1.四. 计算题1.已知，计算.解答：方法1 .方法2，所以.方法3 .2. 计算行列式3. 计算行列式解答： .4. 计算行列式 解答：（行和相等） 5. 计算行列式解答：6. 计算行列式解答：（行和相等） 7. 计算行列式.解答：当时：；当时：得到五证明题1. 设，证明：存在使得.证明：因为，所以，而在上连续，在可导，所以由Rolle定理知存在使得.2.证明当时，行列式.证明：3.证明：方法一 设，将其按第4例展开得到，由于，且，由方程根与系数的关系知，而，于是，所以. 注 ，该方法具有一般性，利用它可以证明.方法二六. .解答 想法：三个平面相交于一点，第四个平面过该点：方程组有唯一解，当且仅当，第四个平面过点当且仅当，所以，于是，即，所以是 并且. 第 14 页
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