迎春杯分类一计数与数论 答案及详解.doc

迎春杯分类一计数与数论 答案及详解
计数：
1. 国际象棋中“马”的走法如图1所示，位于○位置的“马”只能走到标有×的格中，类似于中国象棋中的“马走日”。如果“马”在8×8的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图2中标有△的位置），要走到第八行第五列（图2中标有★的位置），最短路线有 条。

（12）

2.

3.给你一架天平和两个砝码，这两个砝码分别重50克和100克，如果再添上3个砝码，则这5个砝码能称出的重量种类最多是 种.（天平的左右两盘均可放砝码）
【答案】94
【解析】
只有50，100两种砝码，可以组成的重量：50，100，150，即：3种，当加入砝码a，可以组成的重量：是50，100，150分别加减a，还有50，100，150本身，还要有a，所以此时有：3×3+1=10种，
再加入一枚砝码，同理：有10×3+1=31种，再加一枚：为31×3+1=94种.
分析教师：辛洪涛
4.将下图中的2007分成若干个1×2的小长方形，共有 种分法.
【答案】15
【解析】
从右下角，观察发现，从右向上只有唯一的分法，右面的区域只有唯一的情况.事实上只有左边和中间的两块有选择余地左边有5种情况，中间有3种情况所以一共就有53=15种

5. 已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数
是 。
200731212

6. 将0～9填入下面算式，每个数字只能用一次；那么满足条件的正确填法共有 种。
□＋□□＋□□□＝□□□□
60
因为3个加数只有一个达到三位，所以结果的千位只能为1，各位可能的进位最多为2，所以十位上的和最大为9+8+2=19，进位不超过1，所以加数中三位数的百位只能为9，同时结果中的百位只能为0，
因为十位必须要向百位进一位，且个位三位数之和最小为9最大为21且均不满足题意，所以个位数必向十位进1。因此十位的数字组合只能为（3，8）4，7）（4，8）（5，6）（5，7）（5，8）（6，7）（6，8）（7，8）一一枚举有5组数可行：十位（3，8），个位（4，5，7）；十位（4，7），个位（3，5，8）；十位（4，8），个位（2，6，7）；十位（6，8），个位（2，4，7）；十位（7，8），个位（3，4，5）。每组可能的组合有2×1×3×2×1=12种，故正确填法共有12×5=60种。

7. 有10个整数克的砝码（允许砝码重量相同），将其中一个或几个放在天平的右边，待称的物品放在天平的左边，能称出1，2，3，…，200的所有整数克的物品来；那么，这10个砝码中第二重的砝码最少是　　　　　　克。
【答案】18
【解析】
首先此题是一道关于砝码的计数问题，涉及到最值问题和对称原理
从最后所求进行分析，要求第二重的砝码最少，无法进行直接突破，使用的是最值原理的重点思路之一：从反面考虑。第二重砝码最少，那么就应该使其他的砝码尽量大。
分析10个砝码的总重量很显然应该是200，其中最重的砝码应该最大是100，因为如果有超过100克的砝码，100克的物品就无法称出。这样其他9个砝码总和应该是100克。
根据对称原理，只要惩处1克的，就可以称出199克的（只要在200克中相应的拿出1克的就可以），所以只要能称出1到100克就可以称出101到199克。同理，要能称出1到100克，只要能称出1到50克就可以所以要称出1到50克，就应该有1克，2克，4克，8克，16克，18克，这样离200克还差51克，同时还差3个砝码，把51平均分成三份，所以每个砝码应该是17，这样就得到10个砝码，分别是1，2，4，8，16，17，17，17，18，100，所以第二种的砝码至少应该是18克。

8. 一些棋子被摆成了一个四层的空心方阵（右图是一个四层空心方阵的示意图）．后来小林又添入28个棋子，这些棋子恰好变成了一个五层的空心方阵（不能移动原来的棋子），那么最开始最少有 个棋子．
【答案】
【解析】
将四层空心方阵变成五层空心方阵有三种方法：
1、在最外层增加一圈则五层方阵最外层至少有40枚棋子所以不符合题意；
2、在最内层增加一圈则最外层应有8×4+28=60枚棋子，最开始应有60+52+44+36=192枚棋子；
3、在最内层增加一行一列，在最外层的另外两个方向也增加一行一列，那么五层方阵最内层边长为x，最外层边长为x+4×2=x+8共增棋子2x-3+2（x+8）-1=4x+12，所以4x+12=28，解得x=4，最外层边长4+8=12，原有棋子122-(4-2)2-28=112，所以最开始最少有112个棋子。

9. 将5枚棋子放入右侧编号的4×4表格的格子中，每个格子最多放一枚，如果要求每行,每列都有棋子．那么共有 种不同放法．
432

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

【解析】本题采用分类、分步讨论
将5枚棋子放入4×4的方格中，可以发现不论怎么放一定会有2个棋子在一条直线上的情形，所以我们不妨先从这2个棋子开始放，选定一行有4种选法，然后在一行中选定2个格子，即2列，有种选法，故填完前2个共线棋子有4×6=24种填法。
△

△

如右图示例，接下来我们填第三枚棋子，第三枚棋子填入后又会有2种情形出现：
(1) 第三枚棋子与2个△所在的列共线：
那么第三枚棋子共有6个格子可以填，即6种填法。
△

△

△

○

□

□

○
而最后2枚棋子只可能成对填入2个圆圈或2个□中，
则此类情况共种
(2) 第三枚棋子与前2个△所在的列不共线
那么第三枚棋子也有6种填法，而最后的2枚棋子必须填入同一列，
△

△

△

△

△

△

○

○
共有种

答案 288+144=432

10. 对于由1~5组成的无重复数字的五位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下
的一次置换操作：记首位数字为k，则将数字k与第k位上的数字对换．例如，24513
可以进行两次置换：24513→42513→12543．可以进行4次置换的五位数有　　　个．
【答案】24
【解析】
经过4次置换后最后结果必为12345，所以可进行4次置换的五位数可由12345进行4次首位与其他位的调换得到，规则为从首位上调换出的数不能再与首位调换，那么这样的调换方法共有种，即可进行4次置换的五位数有24个。

数论：
1.

2.

3. 一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是 .
36126或54189

4.在纸上写着一列自然数1，2，…，98，99.一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面.例如一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而两次操作后得到7，8，…，98，99，6，15.这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是 .
4950

5. 有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数.将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数，则这18个数中最大的数是 .
9810

6.有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数。将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数。那么这18个数的平均数是： 。
6444

7. 如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是
23

8. 从1,2,3,4,5,6中选取若干个数，使得它们的和是3的倍数，但不是5的倍数．那么共有
种不同的选取方法．
19
取出的和的可能为3、6、9、12、18、21。和为3的有1+2、3，共2种；和为6的有1+5、2+4、1+2+3、6，共4种；和为9的有3+6、4+5、1+2+6、1+3+5、2+34，共5种；于所有数之和为21，所以和为12与和为9的情况相同（和为12的数即为除和为9之外的数）共5种，同理 3的情况相同，共2种，和为21的有1种，因此共有2+4+5+5+2+1=19种。

9. 将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是 ．
【答案】
【解析】
因为是3的倍数
所以此六位数是3和667的公倍数，且3×667=2001，所以此六位数是2001的倍数
我们发现六位数中2001倍数的特征为：前三位是后三位的2倍。
所以下面将六位数分成2段，根据倍数关系验证即可，结果为956478.

10. 200名同学编为1至200号面向南站成一排．第1次全体同学向右转（转后所有的同学面朝西）；第2次编号为2 的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；……；第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有
名．
【答案】8
【解析】
因为开始所有人面向南，最后的结果是面向东，所以转3、7、11……次的人即为所求。
根据题意，编号有几个约数就向右转几次，那么最后面向东面的数必是奇数个数的倍数，即这个数的约数是奇数个，且个数为4n+3。
哪些数的约数是奇数个呢？由于是奇数个约数，这些数一定是平方数。
如：4的约数有1、2、4三个；9的约数有1、3、9三个；25的约数有1、5、25三个，……64的约数有1、2、4、8、16、32、64七个……
但是：如平方数16既是1、4、16的倍数，还是2、8的倍数，即16的约数有5个，不符合个数为4n+3这一要求。所以要删除。
以下这些数是最后面向东面的同学：4、9、25、49、64、121、144、169。共8位同学。

11. 在算式(A□B)△(C○D)中，□,△,○代表的是三个互不相同的四则运算符号（即加、减、乘、除），A,B,C,D是4个互不相同的非零阿拉伯数字．如果无论□,△,○具体代表的是哪三个互不相同的四则运算符号，(A□B)△(C○D)的计算结果都是整数．那么，四位数是　　　　　　．
【答案】9321
【解析】
本题中主要会出现非整数的原因就是÷的位置，所以只需要考虑÷出现在什么地方。
当□是÷时，就需要A一定是B的倍数，同理C一定是D的倍数，最后只要A□B的结果也是C○D的倍数即可。
本题严密的推理论证过程相对复杂，因为数字比较小，不妨采用符合前一组条件的数枚举尝试便容易得到答案

12. 如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的25倍．那么，这个五位数的最大值是 　　 ．
【答案】75531
【解析】
根据题意，设原数为，那么一定有
说明左边的乘积是25的倍数，那么原来的5个数字中一定有2个数字是5.
原式化为：，为了求出最大值，那么可以让原数中含有9，不妨假设A=9，那么，经验证没有符合条件的整数B和C使得左边式子成立
同理可验证A=8时也没有解，当A=7时，有，此时有B=1，C=3，所以原式最大值为75531