浙江省杭州市重点高中高考数学4月命题比赛参赛试题12.doc

浙江省杭州市重点高中2013届高考数学4月命题比赛参赛试题12

本试题卷分选择题和非选择题两部分。考试时间120分钟，满分150分。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
参考公式：

1

球的表面积公式
S=4
球的体积公式
V=
其中表示球的半径
锥体的体积公式
V=
其中表示锥体的底面积，表
示锥体的高
柱体的体积公式
V=
其中表示柱体的底面积，表示柱体的高
台体的体积公式
V=
其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高
如果事件A，B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）

选择题部分
一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.如图，全集, 其中，,
是的个子集，则阴影部分所表示的集合等于 [原创]
（A） （B） （C） （D）
2.已知，则“”是“”成立的 [原创]
（A）充分不必要 （B）必要不充分
（C）充分必要 （D）既不充分也不必要
3.已知是不同的两个平面，是不同的两条直线，则下列命题中不正确的
是 [原创]
（A）若，则 （B）若，则
（C）若，则 （D）若，则
（第5题）
4.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是 [原创]
（A） （B）
（C） （D）
5. 某中学高三理科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加数学竞赛，
他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如右图，其中甲班学生成
绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为
[根据山东省临沂市2013届高三一模文科数学第4题改编]
（A） （B） （C） （D）
6. 函数的图象向右平移单位后与函数的图象重合，则的
解析式是 [原创]
（A） （B）
（C） （D）
7.已知函数（为常数），当时，函数有极值，若函数只有三个零点，则实数的取值范围是 [原创]
（A） （B） （C） （D）
8.已知向量,的夹角为60°，||=||=2，若=2+，则△为　
[根据温州中学2012学年第一学期期中考试高三数学试卷第7题改编]
（A）直角三角形    （B）等腰三角形     （C）等边三角形  （D）等腰直角三角形
9.为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左焦点和右焦点，过点作
，若，则 [原创]
（A） （B） （C） （D）
10.已知函数，若方程有两个不同的实数根，则实数
的取值范围为 [根据全品高考复习方案二轮专题检测卷（一）第10题改编]
3
4
3
3
2
2
正视图
(第12题)
侧视图
俯视图
（A） （B） （C） （D）

非选择题部分
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11.若是虚数单位，则复数 。[原创]
12.已知某个几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则这个几
何体的体积是 cm3。[原创]
13.一只布袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5的五
输出S
是
否
结束
开始
S=1
i > 100
i =0
i =2i+1
S=S+3
(第14题)
个小球，从中有放回地每次取一个小球，共取2次，则取得
两个球的编号和不小于6的概率为 。[原创]
14.某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的值是 。[原创]
15.若圆与轴交于两点，为圆心，
，则 。[根据浙江省温州市十校联合
体2013届高三上学期期末联考第14题改编]
16.已知是坐标原点，点，若点为平面区域
上的一个动点，则的最小值是 _______。[原创]
17.若对函数定义域内的每一个值，都存在唯一的值，使得 成立，则称此函数为“黄金函数”，给出下列三个命题：①是“黄金函数”；② 是“黄金函数”；③是“黄金函数”，其中正确命题的序号是 。
[根据山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（文）第16题改编]

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本题14分）已知分别是的三个内角的对边，且满足
。
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）当为锐角时，求函数的最大值。
[根据浙江省温州市2013届高三第一次适应性测试数学（文）试题第18题改编]

19.（本题14分）已知各项均为正数的等比数列满足，。
（Ⅰ）求数列的通项公式和前n项和；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设数列的前n项积为，求所有的正整数，使得对任
意的n∈N*，不等式恒成立。
[根据2013年2月海宁市高三期初测试试题卷(文科数学)第19题改编]

20.（本题14分） 如图所示，是边长为的正方形，是以角为直角的等

第20题
腰三角形，为上一点，且平面。
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值。
[根据2013届浙江温州22中文科一模预测试题一第20题改编]

21.（本题15分）已知函数
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若对任意及，恒有成立，求实数的取值集合。
[根据山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试数学（文科）第21题改编]

22.（本题15分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点（2，1），
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）与圆相切的直线交抛物线于不同的两点，
若抛物线上一点满足，求的取值范围。
[浙江省丽水市2013届高三高考第一次模拟测试第22题]

2013年高考模拟试卷  数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
D
A
D

A
A
C
B
A
D
B

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11． 12． 72 13．
14． 22 15． 16．-1

17. ③

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题14分）本题主要考查正、余弦定理及三角函数的性质等基础知识，同时考查运算求解能力。
解：（Ⅰ） 由正弦定理
得：,…………………3分
所以， …………………5分
所以，或 …………………7分
（Ⅱ） 得： …………………9分

………………12分

所以，所求函数的最大值为2 ………………14分

19．（本题14分）本题主要考查等比数列的通项公式及等差、等比数列的求和公式、不等式
等基础知识，同时考查运算求解能力。
解：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，
则由条件得， ……………… 3分
解得，则 ………… 5分
由等比数列前n项和公式得 ………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 又 ………………10分
若存在正整数，使得不等式对任意的n∈N*都成立，
则，即，正整数只有取………………14分

20．（本题14分）本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知识，同时考
查空间想象能力和推理论证能力。
解：(Ⅰ) 平面平面， ， …………3分

第20题
又，
平面, …………………6分
而平面，平面平面.……………7分
(Ⅱ)连结是正方形且，
三点共线，且为的中点，
由平面知平面，………………9分
就是在平面内的射影,
就是直线与平面所成的角. ……………10分
在中，，……………12分
…………………13分
即直线与平面所成角的余弦值为………14分

21．（本题15分）本题主要考查利用导数研究函数的单调性等性质及导数应用等基础知识，
同时考查计算能力。
解: （Ⅰ） …………………2分
①当时，恒有，则在上是增函数；………………4分
②当时，当时，，则在上是增函数；
当时，，则在上是减函数 ………………6分
综上，当时，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数. ………………7分
(Ⅱ)由题意知对任意及时，
恒有成立，等价于
因为，所以
由（Ⅰ）知：当时，在上是减函数
所以…………………11分
所以，即
因为，所以…………………13分
所以实数的取值集合为 ……………………15分

22．（本题15分）本题主要考查抛物线几何性质、直线与抛物线的位置关系，同时考查解析
几何的基本思想方法和运算求解能力。
解：(Ⅰ) 设抛物线方程为，由已知得：所以
所以抛物线的标准方程为 ……………5分
(Ⅱ) 因为直线与圆相切，
所以 ……………7分
把直线方程代入抛物线方程并整理得：
由
得 或……………8分
设，
则

由……………10分
得 因为点在抛物线上，
所以
……………13分
因为或，所以 或
所以 的取值范围为 …………… 15分