广东省湛江市2011届高三数学普通高考测试(一)理.doc

试卷类型：A
湛江市2011年普通高考测试（一）数 学（理 科）

本试卷共4页，共21小题，满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上. 用2B铅笔将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上. 在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.
4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
参考公式：
锥体的体积公式：，其中是底面面积，是高
柱体的体积公式：，其中是底面面积，是高
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知是虚数单位，则=
A． B． C． D．
2. 命题的否定是
A． B．
C． D．
3 已知向量，b，若| aba·b，则
A． B． C．1 D．3
4. 等差数列前17项和，则
A. 3 B. 6 C. 17 D. 51
5. 设随机变量服从正态分布，若，则
A. B. C. D.
6. 设，若不等式对于任意恒成立，则的最小值是
A.1 B. C.0 D. 2

7. 如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球
这两个球相外切，且球与正方体共顶点的三个面相切，
球与正方体共顶点的三个面相切，则两球在正方体的
面上的正投影是

A B C D
8. 对于任意实数、，当时，定义运算，则满足方程的实数所在的区间为
A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
（一）必做题（9~13题）
9．双曲线的离心率为 .
10．展开式中，常数项的值为 .
11．设函数为奇函数，则 ．
12．命题：“若空间两条直线，分别垂直平面，则”学生小夏这样证明：
设，与面分别相交于、，连结、，
m=2,n=0,a=4,b=5
开始
否
输出n
m=m+1
结束
m <9 ?
以a,b,m为
三边的三角形是锐角
三角形?
是
n=n+1
是
否
， …①
∴ …………②
∴ ………………………③
这里的证明有两个推理，即：
①②和②③. 老师评改认为
小夏的证明推理不正确，这两个
推理中不正确的是 .
13．运行右图的流程图，输出的
．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
．

14. （坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为，则该圆的半径是 ．
15.（几何证明选讲选做题）如图，PA是圆的切线，A为切点，
PBC是圆的割线，且，则 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分12分)
已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）试比较与的大小．

17．（本小题满分12分）
设函数（）.
（1）若曲线在点处与直线相切，求、的值；

（2）求的单调区间.

18．（本小题满分14分）
如图，、为圆柱的母线，是
底面圆的直径，、分别是、的中
点，．
（1）证明：；
（2）求四棱锥与圆柱的体积比；
（3）若，求与面所成角的正弦值．

19．(本小题满分14分)
已知数列满足：.
（1）求；
（2）设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
（3）已知，求证：．
20．（本小题满分14分）
某工厂生产A、B两种型号的产品，每种型号的产品在出厂时按质量分为一等品和二等品. 为便于掌握生产状况，质检时将产品分为每20件一组，分别记录每组一等品的件数. 现随机抽取了5组的质检记录，其一等品数如下面的茎叶图所示：
A型号 B型号
9 0 8

2 0
2 3 7 7 1 6 4 3

（1）试根据茎叶图所提供的数据，分别计算A、B两种
产品为一等品的概率PA、PB；
（2）已知每件产品的利润如表一所示，用、分别
表示一件A、B型产品的利润，在（1）的条件下，
求、的分布列及数学期望（均值）、；
（3）已知生产一件产品所需用的配件数和成本资金如表二所示，该厂有配件30件，可用资金40万元，设、分别表示生产A、B两种产品的数量，在（2）的条件下，求、为何值时，最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）
等级
利润
产品
一等品
二等品
A型
4（万元）
3（万元）
B型
3（万元）
2（万元）

表一
项目
用量
产品
配件（件）
资金（万元）
A型
6
4
B型
2
8

表二

21．（本小题满分14分）

○
.
F1
.
F2
○
如图，在轴上方有一段曲线弧，其端点、在轴上（但不属于），对上任一点及点满足：．直线，分别交直线于，两点．
（1）求曲线弧的方程；
（2）求的最小值（用表示）；
（3）曲线上是否存点，使
为正三角形？若存在，求的取
值范围；若不存在，说明理由．

试卷类型：A
湛江市2011年普通高考测试（一）
数学（理科）参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1.A 2.D 3.D 4.A 5.D 6.D 7.B 8. B
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
9． 10．60 11． 12．②③ 13．3 14. 1； 15.．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．
16．(本小题满分12分)
解：（1）
………………………………………………2分
…………………………………………………………3分
……………………………………………4分
．…………………………………………………………5分
∴函数的最小正周期． ………………………………………6分
（2）由可得：
． ………………………………………………………8分
∴函数在区间上单调递增． ……………………………10分
又，
∴． ……………………………………………………………12分

17．（本小题满分12分）
解：（1），…………………………………………………………………2分
∵曲线在点（，）处与直线相切，
∴ 即 ， ……………………………………………4分
解得 . ……………………………………………………………………5分
（2）∵（） …………………………………7分
（i）当时，恒成立，在（，）上单调递增；……9分
（ii）当时，由，得或，………………………10分
∴函数的单调增区间为（，）和（，）；
单调减区间为（，）. ………………………………………………12分

18．（本小题满分14分）
解：（1）证明：连结，.
分别为的中点，
∴.…………………………………2分
又，且.
∴四边形是平行四边形，
即. ………………3分
∴. ………………………4分
（2）由题，且由（1）知.
∴，∴ ，
∴. …………………………………………………………………………6分
因是底面圆的直径，得，且，
∴，即为四棱锥的高．………………………………………7分
设圆柱高为，底半径为，则，
∴：. …………………………………………………………………9分
（3）解一：由(1)(2)可知，可分别以为坐标轴建立空间直角标系，如图
设，则，，
，从而，

x
y
z
，由题，是面
的法向量，设所求的角为.…………………12分
则.
………………………………14分
解二：作过的母线，连结，则
是上底面圆的直径，连结，得
，又，
∴，连结，

则为与面所成的角，
设，则
，.……12分
在中，
．………………14分

19．(本小题满分14分)解：（1）由数列的递推关系易知：
．…………………………………………………………………2分
（2）

． ……………………………6分
又，
即数列是公比为，首项为的等比数列，
． ………………………………………………………7分
（3）由（2）有．………………………………………8分
． ……………………………………………………10分
∴
． ………………………………………………………………14分
20．（本小题满分14分）
解：(1) 由茎叶图知 ；……………………………2分
. ……………………………4分
（2）随机变量、的分布列是

4
3
P
0.68
0.32

3
2
P
0.71
0.29

……………6分
∴ ，. ………8分
4x+8y=40
6x+2y=30

O

l

l1

y

M

x

5

10

5

15

（3）由题设知，目标函数为
，
………………………10分
作出可行域如图所示…………………12分
作直线l：，
将向l右上方平移至l1位置时，即直线经过可行域上的点M时，取最大值.
解方程组，得，，
即，时，取最大值，最大值是22.85. …………………………14分
21．（本小题满分14分）
解：（1）由椭圆的定义，曲线是以，为焦点的半椭圆，
. ……………………………………………1分
∴的方程为. ……………………………………………3分
（注：不写区间“”扣1分）
（2）解法1：由（1）知，曲线的方程为，设，
则有， 即 ……① ………………………………4分
又，，从而直线的方程为
AP：； BP： ……………5分
令得，的纵坐标分别为
； .
∴ ……② ………………………………………7分
将①代入②， 得 .
∴ .
当且仅当，即时，取等号．
即的最小值是. ……………………………………………9分
解法2：设，则由三点共线，得 ．．①
同理，由三点共线得： …② …………………5分
由①×②得：.
由，代入上式，.
即 . …………………………………………………………7分
，
当且仅当，即时，取等号．
即的最小值是 . ………………………………………………9分
（3）设，依题设，直线∥轴，若为正三角形，则必有
，…………………………………………………10分
从而直线的斜率存在，分别设为、，由（2）的解法1知，
； ， ……………………………11分
于是有 ， 而，矛盾.………………………13分
∴不存在点Ｐ，使为正三角形． ……………………………………………14分

注:如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.

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用心 爱心 专心