初中数学竞赛专题选讲《函数的图象》.doc

初中数学竞赛专题选讲函数的图象
一、内容提要
1. 函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵坐标的点的集合，叫做函数y=f(x)的图象.
例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数，k ≠0)的图象是一条直线l.
① l 上的任一点p0(x0,y0) 的坐标，适合等式y=kx+b, 即y0=kx0+b；
② 若y1=kx1+b，则点p1(x1,y1) 在直线l 上.
2. 方程的图象：我们把y=kx+b 看作是关于x,　y 的 二元
一次方程kx－y+b=0,　那么直线l就是以这个方程的解为坐标
的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象.
二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c是常数，a≠0,b≠0) 叫做 直线方程.
　一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的
点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象.　例如：
二元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0) (即二次函数)的图象是抛物线；
二元分式方程y=(k≠0) (即反比例函数)的图象是双曲线.
3. 函数的图象能直观地反映自变量x 与函数y 的对应规律.　例如：
① 由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值；
② 由图象的上升，下降反映函数 y是随x的增大而增大(或减小)；
③ 函数y=fx)的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示y>0,y<0,y=0. 图象所对应的横坐标就是不等式f(x)>0,f(x)<0 的解集和方程f(x)=0的解.
④ 两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公共解.等等
4. 画函数图象一般是：
①应先确定自变量的取值范围.　要使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有意义，还要注意是否连续，是否有界.
②一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点).
③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式.
二、例题
例1.　右图是二次函数y=ax2+bx+c　(a≠0)，
试决定a,　b,　c 及b2－4ac的符号.
解：∵抛物线开口向下，　　　∴a<0.
∵对称轴在原点右边，∴x=－>0且a<0, ∴b>0.
∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上，　　∴截距c>0.
∵抛物线与横轴有两个交点， 　　　∴b2－4ac>0.
例2. 已知：抛物线f：y=－(x－2)2+5.　
试写出把f向左平行移动2个单位后，所得的曲线f1的方程；以及f 关于x 轴对称的曲线f2 的方程.　画出f1和f2的略图，并求：
（1） x的值什么范围，曲线f1和f2都是下降的
（2） x的值在什么范围，曲线f1和f2围成一个封闭图形；
（3） 求在f1和f2围成封闭图形上，平行于y轴的线段的长度的最大值.
（1980年福建省中招试题）
解：f1　：y=－x2+5 　(由顶点横坐标变化确定的)，
f2 ：y=(x－2)2－5 (由开口方向相反确定的).
　　（1）当x≥0时，f1下降，
当x≤2时，f2下降，
∴当0≤x≤2时，曲线f1和f2都是下降的.
　（2）求两曲线的交点横坐标，
即解方程组
x2－2x－3=0 .
∴x=－1；或x=3.
　　∴当－1≤x ≤3时，曲线f1和f2围成一个封闭图形.
(3)封闭图形上平行于y轴的线段的长度，
就是对应于同一个横坐标，两曲线上的点
的纵坐标的差.
在区间 –1≤x ≤3内，
设f1 上的点P1(x,y1), 　f2 上的点P2(x,y2)，
求y1－y2的最大值，可用配方法：
y1－y2　＝　(－x2+5)－[ (x－2)2－5]
＝－2x2+4x+6　
＝－2(x－1)2+8.
　　　　∵－2<0，　　　　∴y1－y2有最大值.
当x=1 时，y1－y2的值最大是8.
即线段长度的最大值是8.
例3.　画函数y=的图象.
解： 自变量x的取值范围是全体实数，下面分区讨论：
当x<－1 时，　　　y=－(x+1)－(x－2)=－2x+1；
当－1 ≤x<2时，　　y=x+1－(x－2)=3 ；
当x ≥2时， 　　　y=x+1+x－2=2x－1.
　　　　　　即y==
x
…
－2
－1
2
3
…
y=－2x+1(x<－1)
…
5
3

y=3(－1≤x<2)

3
3

y=2x－1(x≥2)

3
5
…
　　∴　画函数y=的图象如下图：

例4. 画方程[x]2+[y]2=1 的图象， [m] 表示不超过m 的最大整数.
(1985年徐州市初中数学竞赛题).

解：∵[x]2≥0，　且　　[y]2=1－[x]2≥0，　　
∴[x]2≤1 .
　∴ 0≤[x]2≤1.
∵[m] 表示不超过m 的最大整数，
∴当[x]2=0[x]=00≤x≤1 .
当[x]2=1[x]=
自变量x的取值范围是：－1≤x<2.
x
－1≤x<0
0 ≤x<1
1≤x<2
[x]
－1
0
1
[x]2
1
0
1
[y]2=1－[x]2
0
1
0
[y]
0
－1
1
0
y
0≤y<1
－1≤y<0
1≤y<2
0≤y<1

如图阴影部分的四个正方形，
就是所求方程的图象.
只包括各正方形左、下边界，
不包括各正方形右、上边界.

例5.　直线y=x+m 与双曲线y= 在第一象限相交点A，SRt△AOB=3.
① 求m的值 ；
②设直线与x 轴交于点C，求点C的坐标；　
③求S△ABC.
解： ①设A坐标为　(x,　x+m).
∵ S△AOB=OB×BA.
∴
整理得　
∴m=6
② ∵直线与x 轴交于点C.
把y=0 代入y=x+6 得x=－6,
∴点C的坐标是(－6，0)
③∵直线y=x+m 与双曲线y= 在第一象限相交点A，
解方程组　　　得
即点A的坐标是　(－3+，3+).
∴BC==3+
∴S△ABC=(3+)(3+)=12+3.
例6. 选择题(只有一个正大确的答案).
①函数y=kx+k与y= 在同一坐标系中的图象的大体位置是　( )

② 函数 y=1－ 的图象是( 　 )

解：①常数k是同一个值，.双曲线y=　在一、三象限，k>0,　那么y=kx+k中，
当k>0时，直线上升且在y轴上的截距为正.　所以应选　(D)；
　　　②注意到y=1－中， 当x=0和x=1时 y有最大值1，故选　(A).
三、练习
1. 填空：
① 横坐标为－2的点的集合，记作直线＿＿＿＿＿，纵轴记作直线＿＿＿＿＿＿，
横轴记作直线＿＿＿＿＿，横坐标与纵坐标互为相反数的点的集合是直线＿＿＿＿＿＿，
经过一、三象限，平分两坐标轴夹角的直线记作方程＿＿＿＿＿＿＿.
② 点P（x,　y）关于横轴的对称点P1的坐标是（　　　　），点P关于原点的对称
点P2的坐标是（　　　　）.
③　f：y=3(x－2)2+5,关于横轴对称的抛物线f1记作＿＿＿＿＿＿＿
f关于原点对称的抛物线f2记作＿＿＿＿＿＿＿.
④ A（1，3）关于直线y=x的对称点A，的坐标是（　　　）.
点B（－2，3）关于直线y=－x的对称点B，的坐标是（　　　　）.
2. 根据图象位置判断指定的常数的符号
① 直线y=kx+b经过二、一、四象限，则k,b的符号是＿＿＿＿＿＿
② 抛物线y=ax2+bx+c的位置，如图所示，试确定下列代数式的符号　
a__, －______,b______,c_______,
b2－4ac______,
______
_____

3. 选择题（只有一个正确的答案）
（1）下图（1）是一次函数px+qy+r=0的图象，下列条件正确的是（　　　）.
（A）p=q, 　r=0 .　　(B) p=－q,　 r=0.　　(C)p=q,　 r=1.　　(D) p=－q, r=1.
（2）下图（2）是二次函数y=ax2+bx+c的图象，如下答案哪个正确？（　　　）
（A）a+b+c=0.　　（B）a+b+c<0.　　（C）a+b+c>0.　　（D）a+b+c值不定.

(1)

（3）二次函数y=a(x+m)2+n中，a>0 , m>0, n>0 它的图象（　　）

(4)两个一次函数y=mx+n y=nx+m 且mn<0, 那么它们在同一坐标系内的图象大致为（　　　）
5

（D）

（5）在同一坐标系内，y=ax+b与y=ax2+b的图象大体位置是（　　　）

(6)已知函数y+ax+b和y=ax2+bx+c那么它们的图象是（　　）
（1983年福建省初中数学竞赛题）

)
(
x-6
×
)
(
x+2
×
= 0.2
)
(
x
f

-5

4.　画下列函数的图象
①y=； 　②y=； 　 ③y=()2； 　 ④　y=－.
5.　有m部同样的机器，同时开始工作，需要m小时完成某项任务.设由x部机器完成某一任务，求所需的时间y(小时)与机器台数x(x为小于m的整数)的函数关系，并画出当m=5时函数的图象.
6.　画如下方程、函数的图象. ①；②y=x2－2|x|－3.
7.　这是一张追及图看图回答：　①　谁追及谁？
　　　　　　　　　　　　　②　谁早出发，早几小时？
　　　　　　　　　　　　　③　甲、乙在这段路程速度各多少？
　　　　　　　　　　　　　④　追的人从出发到追上，用了几小时？走多少路程？
　　　　　　　　　　　　　⑤　分别列出甲、乙两人的路程y甲，y乙和时间x的函数关系的解析式.

8.　如图，抛物线L1：y=ax2+2bx+c和抛物线L2：y=(a+1)x2+2(b+2)x+c+3 的位置如图所示.①.判断哪条抛物线经过A、B、C三点，说明理由；
②.求出点B和点C的横坐标；
③.若AB＝BC，OC＝OD，求a,　b,　c的值 .
9.　坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的格点(整点)， 试在二次函数 y=
-1
C
B
D
A
1
的图象上找出满足y的所有整点(x,y), 并说明理由.
(1995年全国初中数学联赛题)

（8）

练习题参考答案

1. 　①x=－2,　x=0,　y=0,　y=－x,　y=x；　　②(x,y),(－x,－y)；　　　　　　　　　　　③y=－3(x－2)2－5, 　　y=－3(x+2)2－5　　　④(3，1)，(－3，2) 　　　　　　　
2.　　①k<0,　b>0.　　②正，负，正，负，负，正，负.
3. 　①(A)，　②(B)，　③(B)，　④(C)　⑤(D)，　⑥(C) 　　　　　　　　　　　
4.　　①∵x≠0，∴图象不以过原点；②　y≥0；③x≥0；④　y≤0.

5.　y=(x 是正整数x≤m=5).
6.　（如图）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

7.　①乙追及甲；　②甲先1小时；　③时速甲4、乙5千米；　　　　　　　　　　　　　　④乙用4小时追上甲先走的4千米　　⑤y甲=4x, y乙=5x 　　　　　　　　　　　
8.　①∵由图象a,a+1异号，∴L2过A，B，C三点.　　②－3，－1.　③－，0，.
9.　(2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)，(－3，3)，(－6，6).　　
由x2－x+18≤10.
当x≥0时，x2－x+18≤10x, x2－11x+18≤0, (x－2)(x－9)≤0，
2≤x≤9, 　这时，有4个整数点：(2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)；
当x<0时，x2－x+18≤－10x,　 x2＋9x+18≤0，　（x+6）(x+3)≤0，
－6≤x≤－3, 这时有两个整数点：(－3，3)，(－6，6).