单元节点和积分点有什么区别.doc

单元节点和积分节点的联系和区别有限元方法的实质：通过变分原理极小值转化为矩阵的极小值（(变分原理) (最小势能原理) (虚功原理)变分原理：把一个物理学问题（或其他学科的问题）用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题，就称为该物理问题 （或其他学科的问题）的变分原理。如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。1964年，钱伟长教授明确提出了引进拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）把有约束条件的变分原理化为较少（或没有）约束条件的变分原理的方法。最小势能原理：最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定平衡状态。举个例子来说，一个小球在曲面上运动，当到达曲面的最低点位置时，系统就会趋向于稳定平衡。势能最小原理与虚功原理本质上是一致的。宇宙万物，如果其势能未达到“最小”（局部概念），它总要设法变化到其“相对”最小的势能位置。举个例子：一个物体置于高山上，它相对于地面来说有正的势能（非最小），因而它总有向地面运动的“能力”（向地面“跃迁”）（其力学本质是其处于一种不稳平衡状态）。因此，它试图（也只有）向下运动，才能保证其达到一个相对平稳的状态。l 最小势能原理是势能驻值原理在线弹性范围里的特殊情况。对于一般性问题：真实位移状态使结构的势能取驻值（一阶变分为零），在线弹性问题中取最小值。形象的说，当你在一百米高的钢丝绳上走的时候你总是希望尽早回到地上，但其实只要你不动你也是平衡的，因为驻值也可以是极大值（此时称为随遇平衡）。而当你在一百米高的大楼里的办公室里时，你并不害怕，因为周围的物体的势能均不比你小，此时驻值取的是极小值而不是最小值。在有限元的理论中，最小势能原理是在所有满足给定边界条件的位移时，满足平衡微分方程的位移使得势能取得最小值。公式如下： 在江见鲸的有限元就很清晰的介绍了有限元的原理，再参考汪新老师的ppt，理解就十分透彻。以下是我在网上搜索到的关于有限元的书，很值得一看。另外cook的书也很好，是陈贡发老师介绍的，很值得一看。1The Finite Element MethodO.C.Zienkiewicz，R.Taylor著，第五版，三卷本，有中文译本有限元法(英)监凯维奇著（第四版中译本1985年出版，上下册，尹泽勇等译，权威著作，有限元研究者必读；第五版译名改成了有限单元法，曾攀译，2008年出版）2.Nonlinear Finite Element for Continua and StructuresT.Belytschko等著，有中文译本 连续体和结构的非线性有限元庄茁译，清华大学出版社，固体力学非线性有限元的集大成之作3.Concepts and Applications of Finite Element AnalysisCook R.D.著，有中文译本有限元分析的概念和应用程耿东等译，第一版1981年出版，第二版1989年出版，年代较久远内容很经典PS：国内的有限元书籍中，比较全面的是王勖成的有限单元法（第三版），该书的第二版叫做有限单元法基本原理和数值方法。把一个物理学问题（或其他学科的问题）用化为求泛函极值（或驻值）的问题，后者就称为该物理问题 （或其他学科的问题）的变分原理。如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。1964年，钱伟长教授明确提出了引进拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）把有约束条件的变分原理化为较少（或没有）约束条件的变分原理的方法。日本的鹫津一郎教授、中国科学院院士钱伟长教授和刘高联教授等都是这方面的世界级大师。变分原理在物理学中尤其是在力学中有广泛应用，如著名的虚功原理、最小位能原理、余能原理和哈密顿原理等。在当代变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。在实际应用中，通常很少能求出精确的解析解，因此大多采用近似计算方法。近似计算方法主要有：李兹法、伽辽金法、康托洛维奇法、屈列弗兹法等。单元节点和积分节点的联系和区别： 在单元内，采用形函数来表述单元内变量的分布规律。而节点值是在节点处的对应物理量。 以简单矩形单元的温度为例：四个节点i,j,m,n的温度分别为Ti,Tj,Tm,Tn.则以单元内自然坐标(x,y),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)分别为四个节点，单元内温度分布为：T=Si, Sj, Sm, Sn Ti, Tj, Tm, TnSi=1/4(1-x)(1-y)Sj=1/4(1+x)(1-y) Sm=1/4(1+x)(1+y) Sn=1/4(1-x)(1+y)单元的形函数我们可以从手册中查到，从而我们知道了温度在单元内的分布。我们需要对温度在单元内的面积上进行积分时，因为节点的温度显然与x,y无关，我们只需要考虑对形函数积分。采用Gauss_Legendre多项式计算积分时，我们只需要计算根据特定积分点的值（在自然坐标系下是固定的，可以查手册，这些点也叫高斯点、积分点）并加以权重就可以。这就把复杂的积分问题变成了简单的代数问题。因为形函数只有单元有关，所以积分点也只与单元形状 有关。 3.应力一般采用多个积分点的相互插值或外延来计算节点应力。这只是为了减少误差。因为在积分点应力比节点具有更高阶的误差。 从理论上说，形函数已知后，用Maple或者Mathematic等软件进行符号积分的话，是可以精确计算出刚度矩阵和质量矩阵，但是这样做的话，对于工程实际应用来说并不合适原因：1，费时；2，Mindlin中厚板有剪力锁死问题，有时候需要采用缩聚积分），所以有些书上会把2节点梁单元的刚度阵直接写出来。个人理解：1单元刚度矩阵K就是一个积分.积分点是高斯积分点， numberical analasy 关于gauss integral的数值计算方法的， 直线型：一个高斯积分点, 抛物线型：两个高斯积分点 二位的话，一般只需4个高斯积分点, 三维的，要8个高斯积分点 越高阶，积分节点数越多。学过数值积分的应该知道，有限元中的积分点指高斯积分点，因为这些点的收敛性好，精度高。 2.节点作用构造形函数，节点的多少描述规则形状单元内的应力的近似分布情况，并获取节点上的位移值2.积分点作用是构造规则形状单元与曲边（曲面）单元的转化的变换函数，积分点的选取多少和选取的位置直接关系到这种“映射”的精确程度，刚度矩阵、边界条件的转化都用到了坐标变换的积分关系，一般取高斯积分点能使被积函数计算精度尽量高。对于newton-cote积分点的选取，这种“映射”看起来，节点和积分点是同一个位置或说是同一点，而对于高斯积分点位置与节点是不同的。故有如下结果： 3.由于高斯积分点的这种变换比较高，在方程求解结束，返回积分点上的应力解比较准确2.至于Mindlin中厚板有剪力锁死问题，采用缩聚积分，也是应为这种坐标的变换关系（可见有限单元法基本原理和数值方法GW力的边界条件只有剪切，采用缩聚积分可以较大降低剪切力的影响，但是也可能引起刚度矩阵的奇异，所以对于中厚板的积分点选取不同一般的方案 Reduced Integration如二位四边形单元，应有4个积分点，为减少计算量，缩减为一个积分点，保持有一定的精度，但现在计算机发达，用得比较少对数应变用于塑性变形和大应变。因为变形太大，我们不能用原来的L0，而增量的方法就很常用。物体内两质点相距l0，经变形后距离为ln，则相对线应变被称为工程应变（或叫假象应变、相对应变）： 因为l0是一个固定值，实际变形过程中，长度l0需要经过无穷多个中间状态才逐渐变为ln，总的变形可以近似看作各个阶段相对应变之和： 因为反应了物体变形的实际情况，故称为自然应变或对数应变（或称实际应变），在塑性变形中，只有采用对数应变才能得出合理的结果。（1）工程应变不能表示变形的实际情况，而且变形程度越大，误差越大。对数应变与工程应变之间的关系：按泰勒级数展开得： 只有当变形程度很小时（小于10%），工程应变才近似等于对数应变，变形程度越大，（2）工程应变不能迭加，而对数应变可以迭加。差越大。设物体原长为l0，经过l1, l2变为l3：工程应变： 因为l0是一个固定值，实际变形过程中，长度l0需要经过无穷多个中间状态才逐渐变为ln，总的变形可以近似看作各个阶段相对应变之和： 因为反应了物体变形的实际情况，故称为自然应变或对数应变（或称实际应变），在塑性变形中，只有采用对数应变才能得出合理的结果。（1）工程应变不能表示变形的实际情况，而且变形程度越大，误差越大。对数应变与工程应变之间的关系：按泰勒级数展开得： 变形过大不能用原来的L0，现在一般采用incremental (增量）的方法)物体内两质点相距l0，经变形后距离为ln，则相对线应变被称为工程应变（或叫假象应变、相对应变）： 因为l0是一个固定值，实际变形过程中，长度l0需要经过无穷多个中间状态才逐渐变为ln，总的变形可以近似看作各个阶段相对应变之和： 因为反应了物体变形的实际情况，故称为自然应变或对数应变（或称实际应变），在塑性变形中，只有采用对数应变才能得出合理的结果。（1）工程应变不能表示变形的实际情况，而且变形程度越大，误差越大。对数应变与工程应变之间的关系：按泰勒级数展开得：只有当变形程度很小时（小于10%），工程应变才近似等于对数应变，变形程度越大，（2）工程应变不能迭加，而对数应变可以迭加。差越大。设物体原长为l0，经过l1, l2变为l3：工程应变：对数应变：3）对数应变为可比应变，工程应变为不可比应变。设物体由 l0 拉长一倍后，尺寸变为 2l0 ，缩短一倍尺寸变为 0.5l0 ：物体拉长一倍与缩短一倍，物体的变形程度应该是一样的，采用工程应变表示拉压变形程度，数值相差悬殊，失去可比性； 采用对数应变，二者大小相等，符号相反，具有可比性。工程应变与弹塑性力学的应力张量的相像，但工程应变的剪应变是张量的两倍，相同)(应力张量：应力张量是应力状态的数学表示。数学上应力为二阶张量，三维空间中需九个分量（三个正应力分量和六个剪应力分量）来确定。在静力平衡（无力矩）状态下，剪应力关于对角对称，九个量中只有六个独立分量。) 材料试样在外力作用下，试样的绝对形变量与原尺寸之比。通常用下式表示：=(l-l0)/l0。式中,为工程应变(简称应变)，l0与l分别表示试样形变前后的尺寸。如为拉伸应变，0；压缩应变，0。上述应变也称为工程应变，也称为柯西应变（Cauchy strain）。这种应变，是基于小变形体。可以理解，在工程上，例如房梁、桥梁等，都主要研究材料的小变形行为；因为大变形就会出现塌陷了。这种工程材料的小变形也是有一定允许范围的。比如，楼板，如果我们站在上面，它就开始小变形，如果比较明显了，那是很可怕的了。所以，这种小变形研究在工程上比较多。但是，食品中可能涉及更多的是大变形，你想想，我们都把食品咬碎了，那还不是大变形吗。这个时候，柯西应变就不太好用了。此时，要采用汉基应变（Hencky strain），它是一种真实应变。但如果实际变形较大（超过10），而在分析中又未打开大变形效应，则此时使用对数应变是有必要的。（因为柯西应变为非可加应变，对数应变是可加的）。所以说对数应变是在未打开大变形效应开关的前提下为考虑较大应变而人为设计的一种应变形态。个人感悟：有限元是一种很好的分析方法，在流体力学中有计算流体力学cfl，来模拟流体的运动。在工程上有abaqus，mac等软件。但无论是何种软件，都是理论计算而已，由于各种参数的设定，使结果出现误差甚至错误是很难避免的。所以在我们的实际研究中，后处理就十分的重要。找一些专家来讨论，或者是直接做实验，例如谢老师的FRP加固RC梁跨中界面粘结剪应力分析，就要用有限元模拟和实验相结合。 在对于有限元的学习中，我觉得，从整体上把握一门学科的思路是十分重要的。把一本书从薄读到厚，再从厚读到薄，就是一个理解和吸收的过程。从整体上把握有限元的本质，其实就是一种近似的解法，这是一个精确解像近似解转换的过程，而中间应用了数值分析的方法。 以上是我列举的一些重要公式，这几个微分方程构成了整个有限元的基础。所有的都必须归结于那几个方程。回到我论文的开头，要把握事情的本质。