河北省正定中学高三数学第三次模拟试题-文-新人教A版.doc

2013年河北正定中学高中毕业班第三次模拟考试试卷
数学试题（文科）
（时间：120分钟 满分：150分）
欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题，共60分）
（第3题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,若,则实数=( )
A.3 B.2 C.2或3 D.0或2或3
2.已知则（ ）
A． B． C． D．
3.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
4.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( )
A.2011 B.2012 C.2013 D.2014
5.直线与圆相交于，两点，且,则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. ks5u
6.已知,则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
7.在中,内角A,B,C的对边分别是,若，,则（ ）
A． B． C． D．
8.设变量满足约束条件，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. ks5u
9.在正三棱柱中，已知，，则异面直线和所成角的正弦值为( )
A.1 B. C. D.
10．函数的零点所在的区间为（ ）ks5u
A. B. C. D.
11.已知分别是双曲线的左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则的离心率为（ ）
A. B. C. D. ks5u
12.函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
第I卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答.
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.复数
14.正定中学教学处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体800名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查。现将800名学生从1到800进行编号，在中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从中应取的数是
15.已知向量，满足，，且对一切实数，恒成立，则与的夹角为 ks5u
16.已知数列满足，，则该数列的通项公式
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）已知等差数列的公差大于0，且是方程的两根，数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户每月的碳排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区.
（1）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；
（2）假定选择的“非低碳小区”为小区，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区是否达到“低碳小区”的标准？

19.（本小题满分12分）在直三棱柱中,平面,其垂足落在直线上.

(1)求证:；
(2)若,,为的中点,求三棱锥的体积.
20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点到两点，的距离之和为，设点的轨迹为曲线.
（1）写出的方程；
（2）设过点的斜率为（）的直线与曲线交于不同的两点,，点在轴上，且，求点纵坐标的取值范围.
21.（本小题满分12分）已知函数.
（1）求函数的最大值；
（2）若函数与有相同极值点，
①求实数的值；
②若对于（为自然对数的底数），不等式恒成立，求实数的取值范围.

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
已知与圆相切于点,经过点的割线交圆于点,的平分线分别交于点.
(1)证明:；
(2)若,求的值.

23.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在极坐标系内，已知曲线的方程为，以极点为原点，极轴方向为正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.
(1)求曲线的直角坐标方程以及曲线的普通方程；
(2)设点为曲线上的动点，过点作曲线的两条切线，求这两条切线所成角余弦值的取值范围.

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知常数满足，解关于的不等式：.

2013年河北正定中学高中毕业班第三次模拟考试试卷
数学试题（文科）答案
一、选择题 DDBBA CCCAC DB
二、填空题 55
三、解答题
17.（1）因为是方程的两根，且数列的公差，所以，公差.所以. （2分）
又当时，有，所以.ks5u
当时，有，所以.
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以. （6分）
（2）因为，
则，①
，②
由①-②，得，
整理，得. （12分）
18. 解：（Ⅰ）设三个“非低碳小区”为，两个“低碳小区”为 ks5u
用表示选定的两个小区，，
则从5个小区中任选两个小区,所有可能的结果有10个，它们是，，，,,, ,,，. …………3分
用表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则中的结果有6个，它们是：，,, ，,.
故所求概率为. …………6分
（II）由图1可知月碳排放量不超过千克的成为“低碳族”. …………8分
由图2可知，三个月后的低碳族的比例为，
所以三个月后小区达到了“低碳小区”标准. …………12分
19.(Ⅰ)证明:三棱柱 为直三棱柱, 平面,
又平面,
平面且平面, .
又 平面,平面,,
平面,又平面, …………5分
(2)在直三棱柱 中,.
平面,其垂足落在直线上, .
在中, ,,,
在中, …………8分
由(1)知平面,平面,从而

为的中点, …………10分ks5u
…………12分
20.解：（Ⅰ）由题设知,
根据椭圆的定义，的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，
设其方程为
则， ，，所以的方程为. ……4分
（II）依题设直线的方程为.将代入并整理得，
. . …………6分
设，，则，
设的中点为，则，，
即. ……8分
因为，所以直线的垂直平分线的方程为，
令解得，， ……10分
当时，因为，所以；
当时，因为，所以.
综上得点纵坐标的取值范围是. ……12分
21.（1）， （1分）
由得；由得.
在上为增函数，在上为减函数. （3分）
函数的最大值为. （4分）
（2）.
①由（1）知，是函数的极值点，
又函数与有相同极值点，是函数的极值点，
，解得.
经验证，当时，函数在时取到极小值，符合题意. （6分）
②，
易知，即.ks5u
.
由①知.
当时，；当时，.
故在上为减函数，在上为增函数.
，
而.
. （9分）
当，即时，对于，不等式恒成立.
，
.
当，即时，对于，不等式恒成立.
，
.
综上，所求实数的取值范围为. （12分）
22.(1)∵ PA是切线,AB是弦,∴ ∠BAP=∠C,
又 ∵ ∠APD=∠CPE,∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD,
∠AED=∠C+∠CPE,∴ ∠ADE=∠AED. …………5分
(2)由(1)知∠BAP=∠C,又 ∵ ∠APC=∠BPA, ∴ △APC∽△BPA, ∴,
∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180°,
∵ BC是圆O的直径,∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,
∴ ∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°. 在Rt△ABC中,=, ∴ =.
23.解：(1) 对于曲线的方程为，
可化为直角坐标方程，即；
对于曲线的参数方程为（为参数），
可化为普通方程. (5分)
(2) 过圆心点作直线的垂线，此时两切线成角最大，即余弦值最小. 则由点到直线的距离公式可知，
，则，因此，
因此两条切线所成角的余弦值的取值范围是. (10分)
24. 解: （1）若， 则
因为，所以………………4分ks5u
（2）若， 则
因为，所以………………6分
因为，所以，所以.……………8分
综上，有由（1）（2）可知，解集为.……………10分

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