1、,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,8.7二重积分,一、二重积分概念与性质,二、二重积分计算,三、积分区域无界广义二重积分*,第1页,1,曲顶柱体,引例1：,曲顶柱体体积,柱体体积=底面积,高,特点,：平顶.,柱体体积=？,特点,：曲顶.,曲顶柱体,平顶柱体高是固定，平顶柱体高是改变,第2页,2,复习曲边梯形面积计算,1：分割,2：近似计算,3：求和,4：求极限,第3页,3,“分割,近似,求和,取极限”思想,求曲顶柱体体积采取“,分割、近似、求和、取极限,”方法，以下动画演示,播放,第4页,4,求曲顶
2、柱体体积详细步骤,用若干个小平,顶柱体体积之,和近似表示曲,顶柱体体积，,先分割曲顶柱体底，并取经典小区域，,曲顶柱体体积,第5页,5,平面薄片质量,引例2：,平面薄片质量,将薄片分割成若干小块，,取经典小块，将其近似,看作均匀薄片，,全部小块质量之和,近似等于薄片总质量,第6页,6,二重积分概念,定义,：设,f,(,x,y,)是有界闭区域,D,上有界函数,将闭区域,D,任意分成,n,个小闭区域,1,2,n,其中,i,表示第,i,个小区域,也表示它面积;在每个,i,上任取一点(,i,i,),作乘积,f,(,i,i,),i,(,i,=1,2,n,),并作和,;假如当各小闭区域直径中最大值,趋于零
3、时,这和极限存在,则称此极限为函数在闭,区域上二重积分，记作,叫做被积函数,叫做被积表示式,叫做面积元素,与,叫做积分变量，,叫做积分区域，,叫做积分和。,第7页,7,关于二重积分定义说明,(1)在二重积分定义中，对闭区域划分是任意.,(2)当在闭区域上连续时，定义中和式极限必存在，即二重积分必存在.,(3)在直角坐标系中,若用平行于坐标轴直线网划分,则,二重积分几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体体积,当被积函数小于零时,二重积分是柱体体积负值,普通,D,上二重积分等于部分区域上柱体体积,代数和。,D,二重积分,仅,与积分区域D，被积函数f(x,y)相关,第8页,8,二重积分性质(1
4、5),性质1,（k为常数）,性质2,性质3,性质4 若,为D面积,则,性质5 若在D上,则有,尤其地:,第9页,9,课堂练习,设D是以A(0,1),B(3,1),C(3,0)为顶点三角区域，,第10页,10,二重积分性质(67),性质6(估值不等式)设M、m分别是,f,(,x,y,)在闭区域D上最大值和最小值,为D面积,则,性质7(二重积分中值定理)设函数,f,(,x,y,)在闭区域D上连续,则在,D上最少存在一点,(,),使得,第11页,11,例题与讲解,例：不做计算,预计,其中D,是椭圆闭区域,解,第12页,12,直角坐标下计算二重积分,应用计算“平行截面面积为已知立体求体积”方法page
5、236，能够在直角坐标下计算二重积分。,X-型积分区域D：,X型,其中函数 、在区间 上连续.,第13页,13,a,x,b,X-型积分区域上计算二重积分,将二重积分值看作以D为底,以,z,=,f,(,x,y,)为曲面“曲顶柱体”体积。,应用计算“平行截面面积为已知立体求体积”方法,垂直x轴作平行截面。,得,第14页,14,化二重积分为累次积分,1：第一次关于y积分，y是积分变量，x为常量,积分结果是x函数,2：第二次关于x积分，x是积分变量，积分结果是常数,第15页,15,Y-型积分区域上计算二重积分,Y-型积分区域D：,Y型,垂直y轴作平行截面,第16页,16,其它类型积分区域,X型区域特点
6、:,穿过区域且平行于,y,轴直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域特点:,穿过区域且平行于,x,轴直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，则必须分割.,在分割后三个区域上分别使用积分公式,第17页,17,矩形区域,第18页,18,例题与讲解,例：改变积分,次序,解：,积分区域如图,第19页,19,例题与讲解,例：改变积分,次序,解：,积分区域如图,第20页,20,例题与讲解*,例：改变积分,次序,解：,原式,第21页,21,课堂练习,1：将二重积分 按2种次序化为累次积分，积分区域D以下：,(1)D是由y,2,=8x与x,2,=y所围成区域,(2)D是由y=x,2,与y=2-x,
7、2,所围成区域,2:交换以下积分次序,第22页,22,课堂练习答案,第23页,23,例题与讲解,例：求积分,其中D,是由抛物线,y,=,x,2,和,x,=,y,2,围成闭区域。,解：,第24页,24,例题与讲解,例：求积分,其中D,是以(0,0)、,(1,1)、(0,1)为顶点三角形区域。,解：,第25页,25,例题与讲解,例：计算积分,解：,第26页,26,第27页,27,求“曲顶柱体”体积演示(1),求曲顶柱体体积采取“,分割、近似、求和、取极限,”方法，以下动画演示,第28页,28,求“曲顶柱体”体积演示(2),求曲顶柱体体积采取“,分割、近似、求和、取极限,”方法，以下动画演示,第29页,29,求“曲顶柱体”体积演示(3),求曲顶柱体体积采取“,分割、近似、求和、取极限,”方法，以下动画演示,第30页,30,求“曲顶柱体”体积演示(4),求曲顶柱体体积采取“,分割、近似、求和、取极限,”方法，以下动画演示,第31页,31,求“曲顶柱体”体积演示(5),求曲顶柱体体积采取“,分割、近似、求和、取极限,”方法，以下动画演示,第32页,32,求“曲顶柱体”体积演示(6),求曲顶柱体体积采取“,分割、近似、求和、取极限,”方法，以下动画演示,第33页,33,
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