中学三角函数认识与理解.docx

中学三角函数的理解与认识
宝鸡教育学院
任亚莉
在中学数学里函数是中学代数重要一部分内容，其中基本初等函数是生成初等函数的主要元素，三角函数是六个基本初等函数的之一，如何理解三角函数，认识三角函数，应用三角函数，是学好中学数学中的关键。本文拟从以下六个方面对三角函数理解和认识。
一、 角的定义
要说三角函数不得不说角。
“角”在人们生活里印象是立体的图形，在汉语字典里读做jiǎo，它的百度解释是：指牛、羊、鹿等头上长出的坚硬的东西：牛角。鹿角。犄角。角质。自然界中形状像角的有：菱角。皂角等。地形中突入海中的尖形的陆地（多用于地名）：成山角（在中国山东省）。古代未成年男孩头顶两侧束发为髻（亦称“总角”）。 古代军中的一种乐器：画角。号角。古代量器，酒的计量单位：“先取两角酒来”。 中国货币单位。星名，二十八宿之一。量词。但是角在数学里是平面图形，定义先是从几何上给出，是指从一点引出两条直线所夹成的平面部分，比如锐角，直角。生活里还有说法：角度，角钢，角尺，角落，额骨（俗称“额角”）等等。它是指物体边沿相接的地方。从这里可以看出这一词内容是非常丰富。
中学数学中给出角的定义有两次。初中数学中一次，是静态含义的角的定义。即角是由两条有公共端点的射线组成的平面图形。这时角的范围是在00到1800之间，度量单位是度。是应用在平面图形中的角。到高中数学再有一次，是动态定义的角，即角也可以看成是由一条射线绕这它的端点旋转而成的图形。射线的端点叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终点位置的射线叫做角的终边。两次定义将角的范围由最初的180°以内扩大到任意角，有正角，负角，零角。度量角的单位也由“度”改变到了“弧度”，进而到“任意数”。由于角的范围的扩大，三角函数的研究从三角形内扩大到了坐标系内。这两次角的定义都是在平面内定义角。当研究的图形范围扩大到空间曲面上时，角的定义改变了，比如黎曼几何球面上的角，就不再是遵循原来的一些结论，如三角形的内角和为1800度，在球面上的三角形内角和不等于1800，等等。
二、中学数学中的三角函数定义
初中三角函数是从直角三角形中边的比值定义了三角函数，从图形出发，先给出梯子的倾斜度研究得到直角三角形中斜边固定时，两个直角边之间的比值变化引起斜度的变化，故而引出正切，再引深一些就有正弦，余弦，余切。即为定义锐角的三角函数。

正弦sinA =对边/斜边 余弦cosA=邻边/斜边
正切tan A = 对边/邻边 余切cotA=邻边/对边
高中三角函数的定义是在直角坐标系中，从X轴正向出发的原点为起点的射线绕原点旋转形成的任意角的三角函数，定义方法是在终止射线上取不是原点的其他任意点，用其点的坐标和此点与原点的距离这三个数比值定义。
名称
分类
锐角三角函数
任意角三角函数
图形

正弦（sin）

余弦(cos)

正切（tan）

余切（cot）

正割（sec）

余割（csc）

从此定义看三角函数似乎可以由自变量计算出函数值，但实际上我们有很多无法控制的因素，计算的结果不尽人意。因为边的长度不能用尺子精确度量，故而此种定义只是理论可行，无法实际应用。在学生学习的三角函数内容中涉及的三角函数值问题要么只能得出一些特殊角如0度、30度、45度、60度、90度、180度等的值，要么涉及任意角就要查三角函数表获得其值。
三、基本初等函数中的三角函数的定义
三角函数是六个基本初等函数之一，当角的范围扩大到任意角时，三角函数是以角度（度量角是数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位元交点坐标用其比值作为自变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。
常用的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数。三角函数（也叫做圆函数（circular function））是角的函数；
三角函数又叫圆函数是因三角函数的研究曾经长期在单位圆内进行，由此而得名。
它是正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等函数的总称。

如上图所示，在平面上直角坐标系Oxy中，与轴正向夹角为的射线与单位圆交于点，的长度。由此可以在单位圆中定义三角函数，且都有明显的几何意义：正弦函数：，余弦函数：，正切函数：，余切函数：，正割函数：，余割函数：
它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。
在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，出上外还会用到如正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。这些函数的数学式子如下
正矢

余矢

半正矢

半余矢

不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式
中学数学中三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，它在其他领域里如导航、工程学以及物理学方面也都有广泛的用途。
另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。这些函数的式子如下：
双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义  
双曲正弦：，双曲余弦：，
双曲正切：，
双曲余切：，
双曲正割：，
双曲余割：，
四、如何计算三角函数
三角函数现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。
在数学分析中学习了函数的级数展开后，我们就有了较为精确的计算三角函数的方法。由于有

等等展式，我们计算问题就相对很容易些。如计算sin3，cos3就可以用
sin3≈3-333!+355!
cos3≈1-322!+344!
计算。
四、理解认识无理数π
无理数π也叫圆周率，它是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在分析学里，π可以严格地定义为满足sin x = 0的最小正实数x。由此三角函数中一特殊角平角用π表示。
π对中国人来说它是我们值得骄傲的“π”。魏晋、南北朝时期产生了两位在中国古代数学史上最为著名的数学家，祖冲之和刘徽。祖冲之最杰出贡献是求得相当精确的圆周率。经过长期的艰苦研究，他计算出圆周率在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上最早把圆周率数值推算到七位数字以上的科学家。直到15世纪，阿拉伯数学家卡西才得到更好的结果。祖冲之还给出了圆周率的密率355/113（≈3.1415929），而这个结果直到16世纪才被德国人奥托和荷兰人安托尼斯重新发现，所以，中国圆周率计算领先世界一千年。
2019年3月14日，谷歌宣布圆周率现已到小数点后31.4万亿位。
五、复合的正弦三角函数和复合的余弦三角函数
复合的三角函数是以三角函数为素材而组合成的函数．其内容涉及到三角函数、一次函数、二次函数及分式函数等，内容丰富，结构复杂。
复合的正弦函数y=Asin（ωx＋φ）和复合的余弦函数y=Acos（ωx＋φ）的定义域都是R, 值域都是-A,A,如果人为限定了定义域,就要从内到外求值。对它的奇偶性问题，则首先必须ϕ要为的整数倍时,才能有奇偶性，对kπ2k∈z 当K为偶数时,复合函数的奇偶性和三角函数名一致；当为奇数时,复合函数的奇偶性和三角函数名相反。对于他的单调性: 若A⋅w>0,此时复合函数的单调性一致。若A⋅w<0, 此时复合函数的单调性和中层三角函数的单调性相反。 对于它的对称性: 把看成整体,代入相应的正弦或余弦函数的对称轴、对称中心公式,解出x就好了。对于和它相关的选择题,适合代入选项验证。将x的值代入后,若函数能取到最大或最小值,则为对称轴； 若函数值为0,则为对称中心。
复合三角函数可以通过三角函数变换得到。例如函数y=sinx可以变换得到
y=Asin（ωx＋φ）.骤如下：
六、复数的三角函数
当自变量取值范围扩大到复数域时，三角函数的定义形式与性质发生了很大变化。复数域的正弦函数定义为sinz=eiz-e-iz2i，复数域的余弦函数定义为cosz=eiz+e-iz2i.
为什么三角函数要这么定义？因为只有这么定义，才能既“兼容”实数范围内的三角函数，同时满足解析的要求。“兼容性”在这里指若将一个复变函数的自变量取实数， 那么结果与使用同名的实数函数相同． 例如将sinz中的复数z取实数x， 得sinx=eix-e-ix2i. 根据欧拉公式ⅇⅈx=cosx+ⅈsinx和ⅇ-ix=cosx-ⅈsinx.则有
。
同理有cosz=cosx. 利用欧拉公式，容易证明，复数范围内的正余弦函数同样满足两角和公式
三角函数的理论丰富博大精深，要更深层次认识和理解三角函数，需要更多的方面知识和见解，因此我们还需要不断学习，更好认识三角函数问题。
完