基于指数分析的奇异型集中系统的最优参数.pdf

井冈山大学学报（自然科学版）11文章编号：1674-8085（2023）04-0011-07基于指数分析的奇异型集中系统的最优参数*沈婷1，*王跃1,2（1.贵州民族大学数据科学与信息工程学院，贵州，贵阳550025；2.贵州大学数学与统计学院，贵州，贵阳550025）摘要：在一般开区间的去心邻域内考虑一个具有弱奇异指数的集中参数系统。为了获得系统解的存在性和解析性，导函数的关系得到最优参数。所得结论补充并丰富了已有文献的结果。关键词：弱奇异；分析策略；最优参数；函数构造中图分类号：O175.23文献标识码：ADOI：10.3969/j.issn.1674-8085.2023.04.003OPTIMALPARAMETER OFASINGULAR LUMPED PARAMETERSYSTEM BASED ON EXPONENTIALANALYSISSHEN Ting1，*WANG Yue1,2(1.School of Data Science and Information Engineering,Guizhou Minzu University,Guiyang,Guizhou 550025,China;2.School of Mathematics and Statistics,Guizhou University,Guiyang,Guizhou 550025,China)Abstract:A lumped parameter system with weak singular exponent is considered in the noncentral neighborhoodof an interval.Three steps are set to obtain that the existence and analyticity of the solutions for the system.Firstof all,the appropriate coefficient through the exponential analysis strategy is found.Then,the correctness of theresults are analyzed and verified by the way of function construction.Finally,the optimal parameter is obtained bycombining the relationship between the extreme point of the function and the derivative function.Our results leadsome known results of the literatures to complete and enrich.Key words:weak singularity;analysis strategy;optimal parameter;construction method of function收稿日期：2022-07-12；修改日期：2022-10-15基金项目：国家自然科学基金项目(11661021，11861021)；贵州民族大学科研项目(GZMUZK2021YB19)；贵州省研究生科研基金立项项目(黔教合YJSCXJH2020083)；贵州大学研究生创新基金(贵大研2021-891)作者简介：*王跃(1988-)，男，贵州毕节人，博士，主要从事最优控制，非线性分析研究(E-mail:).在一个抽象系统中，如果组成系统的部件分为有限个，则称这类系统为离散系统；如果可以用常微分方程表示系统的状况，则称之为集中参数系统。相应地，如果系统状况的描述不能用一般形式给出，而需要利用偏微分方程来解释时，对应的系统则称之为分布参数系统。在两种参数系统中，通常设置不少于一个被称之为参数的量，该参数要么是常数，要么只与时间有关。在稳态问题中，参数与函数自变量的选取无关。参数问题的研究涉及到生活的各方面，在工业上，恰当参数的计算，如在黑箱问题，非接触型可观测问题以及大量复杂的混合问题中都相当重要。例如，在文献1中，刘伟等立足于微光伏系统，对太阳能电池输出参数与系统之间的相关激励情况进行了依赖性分析；文献2中，王志强等给出了平行连杆式的锻造操作机吊挂系统的关键参数的设计思路。文献3中，陈蓓等对高温风洞内的材料燃烧利用激光扫描手段获取数据并对燃烧参数进行了计算估计。由于在车辆行驶中的性能是人们的重要选择，因此文献4中，聂小勇等研究了汽车后副车架台架试验的疲劳失效问题，对其进行刚度、强度和疲劳分析。可见，参数的第44卷第4期Vol.44 No.4井冈山大学学报(自然科学版)2023年7月Jul.2023Journal of Jinggangshan University(Natural Science)11井冈山大学学报（自然科学版）12合理选择，不仅仅是有效的参数，还要对其进行更有益于人们生产劳作的方式改进，合理的参数设置能够让机械更加良好运行，把控良好参数，是解决各种机器寿命和物尽其用的有效措施。注意到文献5中，郭军团等以车辆电池的设计为例，通过恰当的工具进行分析优化散热效果，受此启发而研究描述其他系统的优化问题。传送带问题是一类典型的含参数问题，在研究传送带运转时，从外观宏观上看，带片自身朝着运行方向作类似直线运动，但从微观上看，带片自身也在不断振动并且边沿的振动一般带有颤动，因此带片边沿的频率通常比其他位置高很多。振动的强弱，对带片上运输的物件将产生一定的影响。特别对于精密材料，强烈的振动往往会导致材料内部受损。因此，对相关参数的合理设计，从控制的角度来说是优化系统性能的重要因素。据文献6介绍，方程2122201(1)d02(0)00|Tuxxvuvxxuux,（1）描述了传送带自身从t=0时刻启动到t=1时刻达到平稳(即速度恒为常数)时的状态，其中v为传送带转速，vT0是与匀速度相关的正常量。方程（1）具有物理意义，如文献7的Remrk 1.2有所介绍。正如文献6所述，作为常态转速0v0适当小时至少存在两个正解，当=0时有无穷多古典解。此外，作者提出(ab|u|2dx)这种情形的问题为负模量基尔霍夫型问题，供物理意义的研究参考。而在文献9中构造出了关于方程2|dpabuxuux,（5）当=1且p1时各种解的表达式，此时a,bR，扩展了其他文献对a,b取正数的限制，同时给出了1时的计算方式。文献10则对p1,2*1)时问题（5）的零边值问题进行研究，我们利用Ljusternik-Schnirelman型极小极大原理获得该分布系统无穷多解的存在性，并给出N=1时集中系统解的表达式。在文献11中，WANG Y等研究了分布参数系统。2|d(),0,abuxug xxux,（6）解的存在性，并给出了最优参数*，得到=*井冈山大学学报（自然科学版）13时系统（6）存在唯一两个解，分居于*左右且不为零时系统（6）分别存在唯一解或者唯一三个解。此外作者还计算出最优参数*的准确值，并给出问题（6）当a=b=1，=(0,1)且f(x)=1时*=4/3为集中参数系统最优参数。1问题及主要结论主要受到文献8、文献11及文献12的启发，且基于指数分析策略，考虑如下奇异型集中系统：d22cd(,)/,()()0c dabux uxc duu cu d,（7）解的存在性，其中a,b都是正常数，(c,d)为R中的有界区间，参数R，(0,1)称为弱奇异指数。一方面要给出方程解的存在性和解析性，另一方面要寻找解的数目发生变化时的最优参数*。定理定理1假设a0，b0，01，那么存在最优参数*0时，系统（7）存在至少1个解析正解u1C,c d；(ii)当=0时，系统（7）存在无穷多个解析正解1 ,iiuC c d；(iii)当(*,0)时，系统（7）存在至少2个解析正解u1,u2C,c d；(iv)当=*时，系统（7）存在至少1个解析正解u1C,c d。注记注记1当0，b0，00，使得(0,*)时问题（8）在10()H中存在至少2个弱的正解。对比文献13，我们考虑的情形和采用的方法不同。文献13在三维有界光滑区域上利用变分方法只获得分布参数系统解的存在性，而我们在一维去心区间内基于指数分析给出集中参数系统的解。文献13只考虑参数为足够小的正数的情形，而我们考虑任意参数的情形并计算出最优参数。显然，当N=1时，系统（8）的任何一种解也是系统（7）对应的解；由于系统（7）中去除了区间中点，从而系统（7）的解未必是系统（8）的解。而事实上本文给出的系统（7）的解并不是系统（8）的解。2预备知识弱导数的定义，来源于物理问题，据文献14介绍，工程师Heaviside解电路方程时提出分段函数求微商，随后经Dirac等物理学家进行改善，并将断开点处的微商进行了可靠的定义，即(x)为 1,0,()0,0 xu xx的弱导数。随着微分方程理论的发展，广义函数的引进，囊括了物理学中的实际现象，从而更一般的被用来描述产生脉冲间断点的广义导函数。也就是说，在区间xl,xr上，设xc(xl,xr)，那么对1,(),)0,crlcxx xu xxx x以及1,(,(),0,crlcxx xu xxx xu(x):=(x)称为一般的Dirac测度函数且满足如下性质：()d1,(,)ccxcrlcxxxx xx x 定义定义114对给定的uL1loc()，如果存在井冈山大学学报（自然科学版）14vL1loc()，使得|d1d()avxuDax 对任意C0|()都成立，则称v为u在中的阶弱导数或广义导数，并仍记为v=Du。例例1函数u(x)=sin|x|在,上有三个一阶弱导数1cos,0)cos(0,;x xD uxx,1cos,0,cos(0,x xD uxx,或1cos,0)cos0,x xD uxx,由于u(x)=sin|x|在x=0处连续，根据弱导数的定义，显然，除了零测集x=0外它们均相等。但是注意，如果需要上述u(x)在,上的二阶弱导数，则其一阶弱导数只能是后两种，因为第一种在x=0处没定义。此时D2u=sin|x|，x,0)(0,，此时很自然的问题是需要问x=0点D2u如何取。关于Dirac测度函数的广义函数论对该问题给了很好的解释，即2sin,0)2(),0sin,(0,xxD uxxxx，（9）引理引理115若uC()且对任意的C0()有()d0u xx，则在中u 0。根据引理1并利用反证法可知，除去零测集外连续函数u=u(x)的阶弱导数存在且唯一。众所周知，如果一个函数具有直到方程中出现的最高阶偏导数，并且代入方程能使恒等式成立，那么该函数就称为是这个方程的古典解，除此之外人们还定义了强解和弱解。沿用文献14-16的记号，记()mW为上的m阶 弱 可 导 函 数 集，1,1()W,1,2()W一 般Sobolev空间，11,200()()HW 中为一般Hilbert空间。定义定义216如果存在函数2()uW使得等式（8）对几乎所有的x都成立，其中的偏导数都代表弱导数，则称u为问题（8）在上的强解。定义定义3如果存在函数10()uH使得对任意的10()H都有2|dddabuxuxux，则称u为系统（8）定义在上的一个弱解。注记注记3在10()H意义下古典解也是强解，强解也是弱解。解析解通常指的是能够写出具体表达式的解。3主要结果的证明定理定理1的证明的证明：设是R中的有界区间，基于指数分析，现考虑函数22():|pd cc dU xx，那么对p(1,2)，显然在c,d上U(x)始终有意义，并且在(c,d)上U(x)0，U(x)在边界处满足的值分别为2(c)02|dccdUc，()022|dccdU dd因此U(x)在边界x=c和x=d上满足U(c)=U(d)=0。考虑到+2()0c dU且U(x)可以写成222(),)()()(,0ppc dc dc dxcxcU xxdxxd，（10）注意到U(x)是连续函数，因此式（10）表明，将点+2c dx 分在不同的子区间时U(x)的表达式有2个，因此U(x)的一阶弱导数也有2个。从而根据弱导数的存在唯一性，可得除去一个零测集+2c dx 外U(x)存在唯一的一阶弱导数11122(),)()(,ppc dc dp xcxcDUp dxxd，（11）井冈山大学学报（自然科学版）15这是由于下面的式子表明+2c dx 在W1,1的意义下是一个零测集：+2+2+211c1c1+2|d|()|d|(d)|d()(d)2()c dc dc ddpccppdpppc dDUxp xcxpxxxcxdc 上式表明U(x)W1(c,d)。注意到定义在零测集上的有界Lebesgue可测函数的Lebesgue测度为零，因此可以理解为U(x)的一阶弱导数可以包含区间端点，即11122(),()(,ppc dc dp xcxcDUp dxxd，或11122(),)(),ppc dc dp xcxcDUp dxxd，。，由于1 p 2，可推出+2+222121 2c1 2212(21)|d|()|d|()|d ()c dc dpdpccppppDUxp xcxp dxxdc，从而此时集合+2c dx 在W1,2的意义下是仍是一个零测集，并且U(x)W1,2(c,d)。根据U(x)W1,2(c,d)和U(c)=U(d)=0，直接可得出10()(c,d)U xH。下面计算D2U，根据（11）可得222+2+2(1)(),);(1)()(,ppc dc dp pxcxcpxUpdxdD，22+22+2(1)(1),|pppd cc dc dp pxp pUxcd，（12）当1p0时有f(0)0，根据连续函数的零点存在定理，f(t)在(0,+)上存在唯一的1个零点t=C，从而问题（7）存在正解u(x)=CU(x)，其中C是方程（14）的根，它是一个与x无关的常数。当0，因此要证明方程(14)存在根，只需要证明(0,)min()0tf t，接下来寻找最优参数*，注意到此时函数f(t)在(0,+)上的零点必须存在，于是22*131122(1)(3)()3(3)4()(1)02(1)aaf tbdc 从而对任意的2132114(1)(3)(3)(1)(3)4()aabdc 函数f(t)在(0,+)上的零点总存在，也就是说方程(14)总存在根。当上述不等式取到等号时f(t*)=0并且t*是f(t)在(0,+)上唯一的零点，由此表明2*132114(1)(3)(3)(1)(3)4()aabdc 因此再结合已经得出的0时的情形，容易得出如下结论：(i)如果*，此时方程(14)在(0,+)没有根；(ii)如果=*，则方程(14)在(0,+)有唯一根t*；(iii)如果(*,0)，则方程(14)在(0,+)有两个根C1,C2，满足C1t*0，则方程(14)在(0,+)只有一个根t，满足Ct*。只要方程(14)在(0,+)有根t=C，则21+22()|d cc du xCx便是系统(7)的解。再注意到=0时系统(7)存在无穷多解，综上所述，容易得到定理1成立。井冈山大学学报（自然科学版）17参考文献：1刘伟,尹文卓,谢健,等.微光伏系统对太阳能电池输出参数的依赖性分析J.传感器与微系统,2022,41(7):17-20.2王志强,刘艳妍,张起樑,等.平行连杆式锻造操作机吊挂系统的关键参数J.锻压技术,2022,47(6):179-185.3陈蓓,曹文伦.基于简化特征匹配的双目视觉测量系统及其参数计算J.计算技术与自动化,2022,41(2):1-6.4聂小勇,谭永发,谢世坤,等.某新能源汽车后副车架疲劳失效分析与优化J.井冈山大学学报:自然科学版,2020,41(5):59-65.5郭军团,谢世坤,张庭芳.镍氢电池包风冷散热结构的设计及优化J.井冈山大学学报:自然科学版,2022,43(6):76-80.6王跃,钟荣花,郝雪妍,等.带临界指数传输问题解的存在性研究J.应用数学,2022,35(2):317-326.7 Wang Y.The third solution for a Kirchhoff-type problemwithacriticalexponentJ.JournalofMathematicalAnalysis and Applications,2023,526(1):127174.8 Wang Y,Suo H M,Lei C Y.Multiple positive solutions for anonlocal problem involving critical exponentJ.ElectronicJournal of Differential Equations,2017(275):1-11.9王跃,索洪敏,韦维.无边界约束的一类新Kirchhoff型问题的古典解J.数学物理学报:A辑,2020,40A(4):857-868.10 Wang Y,Yang X.Infinitely many solutions for a newKirchhoff-type equation with subcritical exponent J.ApplicableAnalysis,2022,101(3):1038-1051.11 Wang Y,Wei Q P,Suo H M.Three solutions for a newKirchhoff-typeproblemJ.DifferentialEquations&Applications,2022,14(1):1-16.12张姊同,曹艳华,朱挺欣.一类高阶椭圆型方程特征值的多项式特解法J.井冈山大学学报:自然科学版,2020,43(2):8-14.13 Lei C Y,Chu C M,Suo H M.Positive solutions for a nonlocalproblem with singularity J.Electronic Journal of DifferentialEquations,2017,2017(85):1-9.14张恭庆,林源渠.泛函分析讲义(上)M.2版.北京:北京大学出版社,2020.15陆文端.微分方程中的变分方法(修订版)M.北京:科学出版社,2003.16崔尚斌.偏微分方程现代理论引论M.北京:科学出版社,2015.