12多元函数的极值与最值省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

,*,*,高等数学（下）主讲杨益民,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,一、多元函数极值及最大、最小值,第八节,多元函数极值及其求法,1.,定义：,若函数,z,=,f,(,x,y,),在,(,x,0,y,0,),某邻域内有,f,(,x,y,),f,(,x,0,y,0,),（或,f,(,x,y,),f,(,x,0,y,0,),）,则称函数,z,=,f,(,x,y,),在,(,x,0,y,0,),有,极大值,f,(,x,0,y,0,),（,极小值,f,(,x,0,y,0,),），,(,x,0,y,0,),称为函数,z,=,f,(,x,y,),极大值点（极小值点）,。,极大值与极小值统称为极值；极大值点,与极小值点统称为,极值点,；,注意：,极大值,(,或极小值,),是局部最大值,(,或最小值,),。,第1页,2024/12/10 周二,1,(1),(2),(3),例1,例,2,例,3,第2页,2024/12/10 周二,2,2,.,多元函数取得极值条件,证实,：,(,略,),注意,:,使偏导数都为,0,点称为,驻点,。,但驻点不一定是极值点。,比如：,z,=,xy,有驻点,(0,0),，但,(0,0),不是极值点。,第3页,2024/12/10 周二,3,问题：,怎样判定一个驻点是否为极值点？,定理,2,（充分条件）,设函数,z,=,f,(,x,y,),在,(,x,0,y,0,),某邻域内含有,一阶及二阶连续偏导数，且,f,x,(,x,0,y,0,)=0,，,f,y,(,x,0,y,0,)=0,，令,A,=,f,xx,(,x,0,y,0,),，,B,=,f,xy,(,x,0,y,0,),，,C,=,f,yy,(,x,0,y,0,),则：,（,1,）当,AC,-,B,2,0,时，含有极值；,当,A0,时，有极小值；,（,3,）当,AC,-,B,2,=0,时，不能确定，需另行讨论。,证实,：,(,略,),第4页,2024/12/10 周二,4,例,4,求函数,极值。,解,:,1.,求驻点,(1,0),(1,2),(3,0),(3,2),；,2.,求对应,A,B,C,；,3.,判断并求出极值。,例,5,求由方程 确定,函数,z,=,f,(,x,y,),极值。,解,:,1.,利用隐方程组求偏导及必要条件,z,x,=,z,y,=0,得驻点,(1,-1),；,2.,带入原方程求得对应,z,=-2,z,=6,；,3.,隐方程组再求偏导得,A,B,C,；,4.,判断并求出极值。,注：,偏导数不存在点，也是极值可疑点。如：,第5页,2024/12/10 周二,5,第6页,2024/12/10 周二,6,求最值普通方法：,比较最值可疑点函数值大小，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。,3,.,多元函数最值,f,在有界闭域上连续,f,在有界闭域上可到达最值,依据,驻点；,偏导不存在点；,边界上最值点。,最值可疑点,尤其,当区域内部最值存在,且,只有一个,极值点,P,时,则,f,(,P,),就是最值。,第7页,2024/12/10 周二,7,例,6,求函数,z,=,x,+,y,-,x,2,xy,y,2,在由直线,x,+,y,=1,与,x,轴和,y,轴所,围成闭区域上最大值与最小值。,例,7,有一宽为,24cm,长方形铁板，,把它两边折起来做成一个断面为等腰梯形水槽，问怎样折法才能使断面面积最大,。,解：,则断面面积为,设折起来边长为,x,cm,，倾角为,第8页,2024/12/10 周二,8,(2),(1)2cos,，得：,2,x,cos,x,=,0,解得,:,第9页,2024/12/10 周二,9,由题意知,最大值在定义域,D,内到达,而在域,D,内只有唯一驻点,故此点即为所求,。,例,8,求 最大值和最小值。,解,第10页,2024/12/10 周二,10,即边界上值为零。,4.,条件极值 拉格朗日乘数法,极值问题,无条件极值,:,条 件 极 值,:,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,第11页,2024/12/10 周二,11,引例：,小王有200元钱，他决定用来购置计算机磁盘,x,张和录音磁带,y,盒，设购置这两种商品效用函数为,U,(,x,y,)=ln,x,+ln,y,。每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他怎样分配这200元才能使其效用到达最大。,解：,目标函数：,约束条件：,条件极值问题,普通地：,D,为,z,=,f,(,x,y,),定义域。,无条件极值：,条件极值：,D,为,z,=,f,(,x,y,),定义域。,第12页,2024/12/10 周二,12,条件极值解法,：,方法,1,：代入消元法。,方法,2,拉格朗日乘数法：,比如：求：,（,1,）结构拉格朗日函数：,（,2,）求拉格朗日函数,F,(,x,y,),无条件极值，,得到条件极值可疑点。,第13页,2024/12/10 周二,13,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件情形,（,1,）结构拉格朗日函数：,（,2,）求拉格朗日函数,F,(,x,y,z,1,2,),无条件极值，,得到条件极值可疑点。,拉格朗日乘数法,推导（略）,第14页,2024/12/10 周二,14,解,:,则,例,9,将正数,12,分成三个正数,x,y,z,之和,使得,U,=,x,3,y,2,z,最大。,解得唯一驻点,(6,4,2),，,故最大值为：,第15页,2024/12/10 周二,15,解：,第16页,2024/12/10 周二,16,该切平面在三个轴上截距各为：,第17页,2024/12/10 周二,17,问题为：,第18页,2024/12/10 周二,18,即,当切点坐标为 时，,四面体体积最小,第19页,2024/12/10 周二,19,课外作业,第20页,2024/12/10 周二,20,例,6,解,分析,:,第21页,2024/12/10 周二,21,得,第22页,2024/12/10 周二,22,第23页,2024/12/10 周二,23,已知平面上两定点,A,(1,3),B,(4,2),试在椭圆,圆周上求一点,C,使,ABC,面积,S,最大,.,解答提醒,:,设,C,点坐标为,(,x,y,),思索与练习,则,第24页,2024/12/10 周二,24,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知,点,C,与,E,重合时,三角形,面积最大,.,点击图中任意点,动画开始或暂停,第25页,2024/12/10 周二,25,备用题,1.,求半径为,R,圆内接三角形中面积最大者,.,解,:,设内接三角形各边所正确圆心角为,x,y,z,则,它们所对应三个三角形面积分别为,设拉氏函数,解方程组,得,故圆内接正三角形面积最大,最大面积为,第26页,2024/12/10 周二,26,为边面积最大四边形,试列出其目标函数和约束条件,?,提醒,:,目标函数,:,约束条件,:,答案,:,即四边形内接于圆时面积最大,.,2.,求平面上以,第27页,2024/12/10 周二,27,测 验 题,第28页,2024/12/10 周二,28,第29页,2024/12/10 周二,29,第30页,2024/12/10 周二,30,第31页,2024/12/10 周二,31,第32页,2024/12/10 周二,32,第33页,2024/12/10 周二,33,测验题答案,第34页,2024/12/10 周二,34,第35页,2024/12/10 周二,35,第36页,2024/12/10 周二,36,思索题,第37页,2024/12/10 周二,37,思索题解答,第38页,2024/12/10 周二,38,练 习 题,第39页,2024/12/10 周二,39,第40页,2024/12/10 周二,40,练习题答案,第41页,2024/12/10 周二,41,二、多元函数极值和最值,播放,第42页,2024/12/10 周二,42,二、多元函数极值和最值,第43页,2024/12/10 周二,43,二、多元函数极值和最值,第44页,2024/12/10 周二,44,二、多元函数极值和最值,第45页,2024/12/10 周二,45,二、多元函数极值和最值,第46页,2024/12/10 周二,46,二、多元函数极值和最值,第47页,2024/12/10 周二,47,二、多元函数极值和最值,第48页,2024/12/10 周二,48,二、多元函数极值和最值,第49页,2024/12/10 周二,49,二、多元函数极值和最值,第50页,2024/12/10 周二,50,二、多元函数极值和最值,第51页,2024/12/10 周二,51,解,第52页,2024/12/10 周二,52,第53页,2024/12/10 周二,53,