2223十字相乘法、配方法.doc

大英县实验学校2014年九年级数学导学案 设计 陈刚
22.2.3一元二次方程的补充解法“十字相乘法”【讲学案】
学习目标
1. 理解十字相乘法基本思路；2. 会用十字相乘法解形如x2＋px＋q=0（二次三项）方程.
一般的，对于二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a＝a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c＝c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如右图：
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2＋a2c1，若它正好等于二次三项式ax2＋bx＋c的一次项系数b，即a1c2＋a2c1＝b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x＋c1与a2x＋c2之积，即
ax2＋bx＋c＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)．
§什么是十字相乘法？
十字相乘法，就是把一个二次三项式化为两个因式相乘的形式，是一元二次方程解法之一。
所以解方程 ax2＋bx＋c＝0 (a1x＋c1)(a2x＋c2)=0 a1x＋c1=0 a2x＋c2=0
用“十字相乘法”的具体思路：
十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
分解思路为“首尾分解，交叉相乘，求和凑中”．常画出十字交叉相乘的系数表示方法．
例题1类型1： 二次项系数a=1， 即x2＋bx＋c＝0
解方程（1) (2) (3) (4)

（5) (6) (7) (8)

§得出结论：
※Ⅰ.设一元二次方程的，若满足，则原方程可用十字相乘法化为。
例题2类型2： 二次项系数a≠1， 即ax2＋bx＋c＝0
（1） (2) (3)

※Ⅱ. 设的，， 若满足，则原方程可用十字相乘法化为。
【拓展】 利用整体思想用十字相乘法解方程
(x2-4x)2-2(x2-4x)-15=0

练习案 班级 姓名
【第一关】用十字相乘法解方程
（1) (2) (3) (4)

（5） (6) (7) (8)

【第二关】下列一元二次方程能运用十字相乘法解方程的有

（1） （2） （3） （4） （5）

【第三关】用十字相乘法解方程
（1) x2－(a＋b)x＋ab＝0 （2） 3x2＋4xy－y2=0 （3）

§22.2.4配方法
学习目标：1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。
重点：用配方法解数字系数的一元二次方程； 难点：配方的过程。
自主学习： 自学P25——27页的内容。
精讲点拨：上面，我们把方程x2+2x＝5变形为( )2＝4，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负的常数.这样，应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做 法.
练一练 ：配方.填空：
（1）x2＋6x＋（ ）＝（x＋ ）2； （2） x2－8x＋（ ）＝（x－ ）2；
（3）x2＋x＋（ ）＝（x＋ ）2； (4) x2＋bx＋（ ）＝（x＋ ）2；
【试一试】仿照教材（1）小题用配方法解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0； （2）x2＋3x＋1＝0.
解（1）移项，得x2－6x＝____.
方程左边配方，得x2－2·x·3＋ _2＝7＋___
即 （ ）2＝ .
∴ x－3＝ .
∴ x1＝_____，x2＝_____.
总结规律 用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？
(移项 配方 运用完全平方公式分解因式 直接开平方 得解)
注：配方时方程两边同时加上一次项系数 的 。
深入探究（用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程）
合作交流 仿照教材（2）小题用配方法解下列方程：
（1） （2） （3）

拓展：试用配方法说明2x2-8x＋11的值恒大于0.

练习案 班级 姓名
【第一关】1.用配方法将代数式变形，正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.方程化为的形式
3. 方程化为的形式
【第二关】4.用配方法解方程：
（1）x2＋8x－2＝0 （2）x2－5x－6＝0. （3） x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).

5.（1） 2x²+12x+10=0 （2）-x2+2x=5 （3）

【第三关】拓展提高
6.已知代数式x2－5x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？

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