重庆市重点高中2010届高三数学备战高考模拟试卷(理八)-人教版.doc

重庆市重点高中2010届备战高考模拟试卷（数学理八）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1． 已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2． 复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3． 令的展开式中含项的系数，则数列的前n项和为 （ ）
A． B． C． D．
4． 已知是任意两个向量，下列条件：①； ②； ③的方向相反；④； ⑤都是单位向量；其中为向量共线的充分不必要条件的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5． 已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线 是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
x
x
y
1
－1
B.
x
y
1
－1
A.
x
y
1
－1
C.
y
1
－1
D.
O
O
O
O
6． 函数的图象的大致形状是( )

7． 已知球的表面积为20，球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=BC=2，则球心到平面ABC的距离为（　　）
A．1 B． C． D． 2
8． 如右图，l表示南北方向的公路，A地在公路的正东2 km处，B地在A地东偏北30°方向km处，河流沿岸PQ（曲线）上任一点到公路l和到A地距离相等，现要在河岸PQ上选一处M建一座码头，向A、B两地转运货物，经测算从M到A、B修建公路的费用均为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是20080927
（单位万元）　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）
A． B．5a
C． D．6a
9． △ABC满足，，设M是△ABC内的一点(不在边界上)，定义，其中分别表示△MBC,△MCA,△MAB的面积，若，则的最小值为（ ）
A．16 B．8 C．9 D．18
10． 设定义域为R的函数满足下列条件：①对任意；②对任意，当时，有则下列不等式不一定成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题5分，共25分）
11． 某企业三月中旬生产，A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果；企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类别
A
B
C
产品数量（件）

1300

样本容量（件）

130

由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是 件．
12． 函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是__________．
13．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，若点A、B、C、D都在一个以O为球心的球面上，则球O的体积为 。
14． 对于任意实数，符号[]表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数”。在实数轴R（箭头向右）上[]是在点左侧的第一个整数点，当是整数时[]就是．这个函数[]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．
那么= ．
15．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为 ．

三、解答题
16． (本小题满分13分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，则（其中S△ABC为△ABC的面积）．
（1）求sin2；
（2）若b＝2， △ABC的面积S△ABC＝3，求a．

17． (本题满分13分) 在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．
（1）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
（2）求随机变量的分布列和数学期望．

18． (本题满分13分)如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°．
（Ⅰ）证明：BD⊥AA1；
（Ⅱ）求二面角D—A1A—C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在直线CC1上是否存在点P，使BP//平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

19． （本小题满分12分）已知函数
（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）若函数的图象与函数=1的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围．

20． （本小题满分12分）
如图，已知椭圆C：，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．
（1）是否存在k，使对任意m>0，总有成立？若存在，求出所有k的值；
（2）若，求实数k的取值范围．

21． （本题满分12分）
已知数列满足，．
（1）试判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设，数列的前项和为．求证：对任意的，．
参考答案
一、选择题（每小题5分，共50分）

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
C
D
D
A
B
D
C
二、填空题（每小题5分，共25分）
11． 800 12. 13． 14． 857 15．
三、解答题（共75分）

16． 解：（1）∵
∴|| 1分
∴cosA＝ 2分
∴cosA＝ 3分
∴sin2＝＝

6分
（2）∵sinA＝由S△ABC＝，得3＝解得c＝5． 9分
∴a2 ＝b2＋c2－2bccos A＝4＋25－2×2×5× ＝13
∴ -------------------------------13分
17． （1）、可能的取值为、、，
，，
，且当或时，． 因此，随机变量的最大值为． 有放回抽两张卡片的所有情况有种，．
（2）的所有取值为．
时，只有这一种情况，
时，有或或或四种情况，
时，有或两种情况．
，，．
则随机变量的分布列为：

因此，数学期望．

18． 解：
连接BD交AC于O，则BD⊥AC，
连接A1O
在△AA1O中，AA1=2，AO=1，
∠A1AO=60°
∴A1O2=AA12+AO2－2AA1·Aocos60°=3
∴AO2+A1O2=A12
∴A1O⊥AO，由于平面AA1C1C⊥
平面ABCD，
所以A1O⊥底面ABCD
∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（－，0，0），A1（0，0，）
……………………2分
（Ⅰ）由于

则
∴BD⊥AA1……………………4分
（Ⅱ）由于OB⊥平面AA1C1C
∴平面AA1C1C的法向量
设⊥平面AA1D
则
得到……………………6分

所以二面角D—A1A—C的平面角的余弦值是……………………8分
（Ⅲ）假设在直线CC1上存在点P，使BP//平面DA1C1
设
则
得……………………9分
设
则设
得到……………………10分
又因为平面DA1C1

则·
即点P在C1C的延长线上且使C1C=CP……………………12分
法二：在A1作A1O⊥AC于点O，由于平面AA1C1C⊥平面
ABCD，由面面垂直的性质定理知，A1O⊥平面ABCD，
又底面为菱形，所以AC⊥BD

（Ⅱ）在△AA1O中，A1A=2，∠A1AO=60°
∴AO=AA1·cos60°=1
所以O是AC的中点，由于底面ABCD为菱形，所以
O也是BD中点
由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA1C
过O作OE⊥AA1于E点，连接OE，则AA1⊥DE
则∠DEO为二面角D—AA1—C的平面角
……………………6分
在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°
∴AC=AB=BC=2
∴AO=1，DO=
在Rt△AEO中，OE=OA·sin∠EAO=

DE=
∴cos∠DEO=

∴二面角D—A1A—C的平面角的余弦值是……………………8分
（Ⅲ）存在这样的点P
连接B1C，因为A1B1ABDC
∴四边形A1B1CD为平行四边形。
∴A1D//B1C
在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP……………………10分
因B1BCC1，……………………12分
∴BB1CP
∴四边形BB1CP为平行四边形
则BP//B1C
∴BP//A1D
∴BP//平面DA1C1
19． 解：（Ⅰ）
令……………………2分
当是增函数
当是减函数……………………4分
∴……………………6分
（Ⅱ）（i）当时，，由（Ⅰ）知上是增函数，在上是减函数

……………………7分
又当时，所以的图象在上有公共点，等价于…………8分
解得…………………9分
（ii）当时，上是增函数，
∴
所以原问题等价于
又
∴无解………………11分
20． 解：（1）椭圆C：
直线AB：y＝k（x－m）,

，（10k2＋6）x2－20k2mx＋10k2m2－15m2＝0．
设A（x1, y1）、B（x2,y2）,则x1＋x2＝，x1x2＝
则xm＝
若存在k,使为ON的中点，∴．
∴，
即N点坐标为．
由N点在椭圆上，则
即5k4－2k2－3＝0．∴k2＝1或k2＝－（舍）．
故存在k＝±1使
（2）＝x1x2＋k2（x1－m）（x2－m）
＝（1＋k2）x1x2－k2m（x1＋x2）＋k2m2
＝（1＋k2）·
由得
即k2－15≤－20k2－12, k2≤且k≠0．
21． 解：（1），，
又，∴数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）依（1）的结论有，即．
．
．
（3），又由(Ⅱ)有
．
则
( ) = =( 1－)<
∴ 对任意的，．