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一、配方法，因式分解法，作为式子的变形方法，尤其是针对二次三项式，往往通过变形可以判断一个式子的最值或是正负性问题
例1：已知t是实数，若a，b是关于x的一元二次方程x2－2x＋t－1=0的两个非负实根，则(a2－1)(b2－1)的最小值是 ．
例2：点P（m，y1），P（m+1，y2），P（m+2，y3）（其中m<—3）都在二次函数y=(x—2)2的图像上，则以y1， y2，y3为三边的三角形是否一定存在？请说明理由。

二、特殊值法，很多客观题中所蕴含的一般性和不确定性的元素都可以选择一些特殊值或是特定位置加以判断，从而快速解决问题，得到结果。此方法也经常用于解答题的结果验证中。
例1：矩形ABCD的一组邻边长为a，b－c，矩形EFGH的一组邻边长为b，a－c（a＞b＞c＞0）．按如图所示的方式重叠后两阴影部分的面积分别为S1、S2，则S1 S2（填“＞、＝或＜”）．
例2　
例1
A
B
C
D
F
E
G
H
S2
S1
例2：如图，直线y ＝kx(k＞0)与双曲线 交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1＝___________．

三、利用整体思想，换元升降次处理一些式子从而达到求值的目的。
例：设m ＞ n ＞ 0, m2+n2=4mn，则的值等于（ ）
A．2 B． C． D．3
四、待定系数法是函数解析式的重要考点，也是方程组的变式考法，归纳法（充分利用由特殊到一般的探究规律）有时能发现一般规律，从而解决重要问题。
例1：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与 x轴平行，O为坐标原点．
（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；
（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；
（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．

五、参数意识，引入相关变量作为参数（有时题目本身已经引入），以参变量为桥梁，沟通变量之间的联系，明确相关两个变量之间的函数关系，既有利于揭示运动变化的本质规律，而且还能把变化中的多个状态统一体现于一个字母化的参变量上，借用统一的表达式进行研究，实现以静（不变的表达式）制动（不同的状态），为研究运动过程中的共性规律拓宽渠道。
A

B
O
x
y
例1：苹果的进价是每千克3.8元，销售中估计有5%的苹果正常损耗．为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克 元．
例2：如图，把直线y＝－2x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点(m，n)，且2m＋n＝6，则直线AB的解析式是（ ）．
A、y＝－2x－3 B、y＝－2x－6
C、y＝－2x＋3 D、y＝－2x＋6
例3：如图，抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴相交于点A，P（2a，－4a2＋7a＋2）（a是实数）在抛物线上，直线y=kx+b经过A，B两点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）平行于y轴的直线x=2交直线AB于点D，交抛物线于点E．
①直线x=t（0≤t≤4）与直线AB相交F，与抛物线相交于点G．若FG∶DE＝3∶4，求t的值；
②将抛物线向上平移m(m＞0)个单位，当EO平分∠AED时，求m的值．
B
C
A
x
y
D
E
F
G
O

x=t
x=2

例4：某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用780元，其中，纯净水的销售价x(元/桶)与年购买总量y (桶)之间满足如图所示关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）y(桶)

x(元/桶)
O
4
5
400
320

当a至少为多少时, 该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？

六、方程思想，数形结合思想，分类分段思想
例1：如图，矩形ABCD中，AB=10 cm，BC=6 cm．现有两个动点P，Q分别从A，B同时出发，点P在线段AB上沿AB方向作匀速运动，点Q在线段BC上沿BC方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1 cm/s，运动时间为t s．
（1）设点Q的运动速度为 cm/s．
①当△DPQ的面积最小时，求t的值；
②当△DAP∽△QBP相似时，求t的值．
（2）设点Q的运动速度为a cm/s，问是否存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
A
B
C
D
P
Q
（第27题）

A
B
O
E
D
F
x
y
例2：如图，平面直角坐标系中，直线y＝－x＋8分别交x轴、y轴于点B、点A，点D从点A出发沿射线AB方向以每秒1个单位长的速度匀速运动，同时点E从点B出发沿射线BC方向以每秒个单位长的速度匀速运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥AO于点F，连接DE、EF.
（1）当t为何值时，△BDE与△BAO相似；
（2）写出以点D、F、E、O为顶点的四边形面积s与运动时 间t之间的函数关系；
（3）是否存在这样一个时刻，此时以点D、F、E、B为顶点 的四边形是菱形，如果存在，求出相应的t的值；如果不存在，请说明理由．

七、一次函数、反比例函数与图形的结合
例1：如图，直线分别交双轴于A、B两点，且交平行于y轴的直线CD：x=n于C点，过点B作BP⊥CD，垂足为P.已知△OAB与△BPC的面积和为30，四边形OBPD的周长为20，若点P为反比例函数的图像上一点，则k=
例2：已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C．
（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值．
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．
O
A
B
C
D
P
x
y
（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．

y
O
·
A
D
x
B
C
E
N
M
·

九、一次函数、二次函数与实际问题的结合
例：某花木公司在20天内销售一批马蹄莲．其中该公司的鲜花批发部日销售量y1(万朵)与时间x(x为整数,单位:天)部分对应值如下表所示．
时间x（天）
0
4
8
12
16
20
销量y1(万朵)
0
16
24
24
16
0
8
20
0
4
16
x(天)
y2(万朵)
另一部分鲜花在淘宝网销售，网上销售日销售量y2(万朵)与时间x(x为整数,单位:天) 关系如下图所示．

（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y1与x的变化规律，写出y1与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）观察马蹄莲网上销售量y2与时间x的变化规律，请你设想商家采用了何种销售策略使得销售量发生了变化，并写出销售量y2与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（3）设该花木公司日销售总量为y万朵，写出y与时间x的函数关系式，并判断第几天日销售总量y最大，并求出此时最大值．

十、双一次函数的分段分类结合
例1：一辆客车从甲地开往甲地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x（h），y1，y2与x的函数关系图象如图12所示：
（1）根据图象，直接写出y1，y2关于x的函数关系式。
（2）分别求出当x=3，x=5，x=8时，两车之间的距离。
（3）若设两车间的距离为S（km），请写出S关于x的函数关系式。
（4）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油。求A加油站到甲地的距离。

例2：一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为x h，两车之间的距离为y km，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决以下问题：
（1）慢车的速度为 ▲ km/h，快车的速度为 ▲ km/h；
x/h
A
C
E
O
y/km
440
2.7
0.5
B
·

480
·
·
·
D
（2）解释图中点D的实际意义并求出点D的坐标；
（3）求当x为多少时，两车之间的距离为300km．

十一、函数问题与注水问题的结合
例1：如图①所示，空圆柱形容器内放着一个实心的“柱锥体”（由一个圆柱和一个同底面的圆锥组成的几何体）．现向这个容器内匀速注水，水流速度为5cm3/s，注满为止．已知整个注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请你根据图中信息，求：
15
42
26
5
8
12
h(cm)
O
图①
图②
A
B
C
t(s)

（1）圆柱形容器的高与底面积；
（2）“柱锥体”中锥体的高与底面积．

例2：如图1，在底面积为l00cm2、高为20cm的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯．以恒定不变的流量先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止．此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变．水槽中水面上升的高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：s）之间的函数关系如图2所示．
（1）函数图象中点A实际意义是 ，点B的实际意义是 ；
（2）求烧杯的底面积；
（3）若烧杯的高为9 cm，求注水的速度及注满水槽所用的时间．
图1

h(cm)
B
图2
ts)
A
O
20
18
90
a

十二、最值问题与存在性（唯一性）问题的结合
例1：如图，抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴分别交于点A（4，0），B（－2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由．
A
C
B
A
C
B

M
C
B
y
O
D
P
x
A
E
F
l

G
例2：如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于A、B两点（点B在点A的右侧），交轴于点C，以OC、OB为两边作矩形OBDC，CD交抛物线于G．
（1）求OC和OB的长；
（2）抛物线的对称轴在边OB（不包括O、B两点）上作平行移动，交 轴于点E，交CD于点F，交BC于点M，交抛物线于点P．设OE ＝m，PM ＝h，求h与m的函数关系式，并求出PM的最大值；
（3）连接PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得 以P、C、F为顶点的三角形和△BEM相似？若存在，直接求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．

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