1、单击此处编辑母版文本样式,哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,2.4,初等函数,学习关键点,掌握初等函数性质,了解初等多值解析函数,第二章 解析函数,第1页,一、指数函数,1.定义,第2页,2.指数函数基本性质,第3页,第4页,第5页,y,x,z,-平面,u,w,-平面,v,第6页,注意：,第7页,例1,例2,第8页,解,例2,第9页,二、对数函数,和实变量一样，复变量对数函数也定义为指数函数反函数：,因为对数函数是指数函数反函数，而指数函数是周期为2,i,周期函数，所以对数函数必定是多值函数.,注解:,第10页
2、,第11页,对数函数主值,对应与幅角函数主值，我们定义对数函数Ln,z,主值ln,z,为：,这时，有,第12页,三种对数函数联络与区分,第13页,对数函数基本性质,第14页,第15页,第16页,u,v,w-平面,z-平面,x,y,第17页,例3 计算以下对数函数值,第18页,例3 计算以下对数函数值,第19页,第20页,注意:,三、,1.乘幂定义,第21页,第22页,特殊情况:,第23页,第24页,例4,解,第25页,3.幂函数解析性,它 各个分支在除去原点和负实轴复平面内是解析,第26页,它 各个分支在除去原点和负实轴复平面内是解析,第27页,由Euler公式，对任何实数,x,，我们有：,四
3、、三角函数与双曲函数,所以有,所以，对任何复数,z,，定义余弦函数和,正弦函数以下：,1.三角函数定义,第28页,2.三角函数基本性质,对任何复数,z,，Euler公式也成立,第29页,(4)cos,z,和sin,z,在复平面零点,(3)cos,z,和sin,z,是以2,为周期周期函数,第30页,(6)三角公式,第31页,证实：,第32页,第33页,(7)cos,z,和sin,z,在整个复平面解析，而且有,证实：,第34页,(8)cos,z,和sin,z,在复平面零点,(9)能够定义其它三角函数,这些函数都在复平面上使分母不为零点解析,第35页,3.双曲函数定义,第36页,4.双曲函数基本性质,第37页,解,例5,第38页,1.反三角函数定义,两端取对数得,五、反三角函数和反双曲函数,第39页,一样能够定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,能够得到它们表示式:,第40页,2.反双曲函数定义,第41页,例6,解,第42页,复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内自然推广,它既保持了后者一些基本性质,又有一些与后者不一样特征.如:,1.指数函数含有周期性,2.负数无对数结论不再成立,3.三角正弦与余弦不再含有有界性,4.双曲正弦与余弦都是周期函数,小结,请预习 复变函数积分,第43页,
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