2.2函数的单调性与最大(小)值省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,2.2 函数单调性与最大(小)值,关键点梳理,1.函数单调性,（1）单调函数定义,增函数,减函数,定义,普通地，设函数f（x）定义域为I.假如对于定义域I内某个区间D上任意两个自变量x1，x2,基础知识 自主学习,第1页,定义,当,x,1,x,2,时,都有,，那么就说函数,f,(,x,)在区间,D,上是增函数,当,x,1,x,2,时，都有,，那么就说函数,f,（,x,）在区间,D,上是减函数,图象描述,自左向右看图象是,_,自左向右看图象是,_,f,（,x,1,）,f,(,x,2,),上升,下降,第2页,(2)单调区间定义,若函数,f,(,x,)在区间,D,上是_或_，则称,函数,f,（,x,）在这一区间上含有（严格）单调性，,_叫做,f,（,x,）单调区间.,增函数,减函数,区间,D,第3页,2.函数最值,前提,设函数y=f(x)定义域为I，假如存在实数,M满足,条件,对于任意,x,I,，都有_；存在,x,0,I,使得,_.,对于任意,x,I,，都有_；,存在,x,0,I,使得,_.,结论,M,为最大值,M,为最小值,f,（,x,）,M,f,（,x,0,）=,M,f,（,x,）,M,f,（,x,0,）=,M,第4页,基础自测,1.以下函数中，在区间（0，2）上为增函数是,(),A.,y,=-,x,+1 B.,y,=,C.,y,=,x,2,-4,x,+5 D.,解析,y,=-,x,+1,y,=,x,2,-4,x,+5,分别为一次函,数、二次函数、反百分比函数，从它们图象上可,以看出在（0，2）上都是减函数.,B,第5页,2.已知函数,y,=,f,(,x,)是定义在,R,上增函数,则,f,(,x,)=0,根 （）,A.有且只有一个 B.有2个,C.至多有一个 D.以上均不对,解析,f,（,x,）在,R,上是增函数，,对任意,x,1,x,2,R,若,x,1,x,2,则,f,(,x,1,),f,(,x,2,),反之亦成立.故若存在,f,(,x,0,)=0,则,x,0,只有一个.,若对任意,x,R,都无,f,(,x,)=0,则,f,(,x,)=0无根.,C,第6页,3.已知,f,(,x,)为,R,上减函数，则满足,实数,x,取值范围是 （）,A.(-1,1),B.(0,1),C.(-1,0)(0,1),D.（-,-1)(1,+),解析,由已知条件：,不等式等价于,解得-1,x,1,且,x,0.,C,第7页,4.函数,y,=(2,k,+1),x,+,b,在（-，+）上是减函数，则,(),A.B.,C.D.,解析,使,y,=(2,k,+1),x,+,b,在（-，+）上是减函数,则2,k,+10；,(,x,1,-,x,2,),f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0；,其中能推出函数,y,=,f,(,x,)为增函数命题为_.,解析,依据增函数定义可知，对于，当自变,量增大时，相对应函数值也增大，所以可推,出函数,y,=,f,（,x,）为增函数.,第9页,题型一 函数单调性判断,【,例1,】,已知函数,证实：函数,f,(,x,)在(-1,+)上为增函数.,（1）用函数单调性定义.,（2）用导数法.,证实,方法一,任取,x,1,x,2,(-1,+),不妨设,x,1,0,思维启迪,题型分类 深度剖析,第10页,又,x,1,+10,x,2,+10,于是,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,)=,故函数,f,(,x,)在（-1,+）上为增函数.,第11页,方法二,求导数得,a,1,当,x,-1时，,a,x,ln,a,0,f,(,x,)0在（-1，+）上恒成立，,则,f,(,x,)在（-1,+）上为增函数.,对于给出详细解析式函数，判断或证实,其在某区间上单调性问题，能够结合定义（基本步,骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函,数则能够利用导数解之.,探究提升,第12页,知能迁移1,试讨论函数,x,(-1,1)单,调性（其中,a,0）.,解,方法一,依据单调性定义求解.,设-1,x,1,x,2,1,-1,x,1,x,2,1,|,x,1,|1,|,x,2,|0,即-1,x,1,x,2,0.,第13页,所以，当,a,0时，,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),此时函数为减函数；,当,a,0时，,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,即,f,(,x,1,)0时，-1,x,1,即,f,(,x,)0,此时,f,（,x,)在（-1，1）上为减函数.,同理，当,a,0时，,f,（,x,)在（-1，1）上为减函数；,a,0,得,x,3,结合二次函数,对称轴直线,x,=1知,在对称轴左边函数,y,=,x,2,-,2,x,-3是,减函数，所以在区间（-，-1）上是减函数,由,此可得D项符合.故选D.,思维启迪,D,第16页,（1）复合函数是指由若干个函数复合而,成函数，它单调性与组成它函数,u,=,g,(,x,),y,=,f,(,u,),单调性亲密相关，其单调性规律为,“,同增异减,”,，,即,f,(,u,)与,g,(,x,)有相同单调性，则,f,g,(,x,)必为增函,数，若含有不一样单调性，则,f,g,(,x,)必为减函数.,（2）讨论复合函数单调性步骤是：,求出复合函数定义域；,把复合函数分解成若干个常见基本函数并判断其,单调性；,把中间变量改变范围转化成自变量改变范围；,依据上述复合函数单调性规律判断其单调性.,探究提升,第17页,知能迁移2,函数,y,=递减区间为,（）,A.(1,+)B.,C.D.,解析,作出,t,=2,x,2,-3,x,+1示意,图如图所表示，,0 0恒成立，试求实,数,a,取值范围.,第(1)问可先证实函数,f,(,x,),在1,+),上单调性,然后利用函数单调性求解，对于第,(2)问可采取转化为求函数,f,(,x,)在1,+)上最小,值大于0问题来处理.,思维启迪,第19页,解,设1,x,1,x,2,则,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,)=,1,x,1,0,2,x,1,x,2,2,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,)0,f,(,x,1,)0恒成立,x,2,+2,x,+,a,0恒成立.,第20页,设,y,=,x,2,+2,x,+,a,x,1,+),则函数,y,=,x,2,+2,x,+,a,=(,x,+1),2,+,a,-1在区间1,+)上是,增函数.,当,x,=1时，,y,min,=3+,a,于是当且仅当,y,min,=3+,a,0时,函数,f,(,x,)0恒成立，,故,a,-3.,要注意函数思想在求函数值域中运,用,(1)中用函数单调性求函数最小值;(2)中用函,数最值处理恒成立问题.在(2)中，还能够使用分,离参数法，要使,x,2,+2,x,+,a,0在1,+)上恒成立,只要,a,-,x,2,-2,x,=-(,x,+1),2,+1恒成立，由二次函数,性质得-(,x,+1),2,+1-3,所以只要,a,-3即可.,探究提升,第21页,知能迁移3,已知函数 (,a,0,x,0),(1)求证:,f,(,x,)在(0,+)上是单调递增函数;,(2)若,f,(,x,)在 上值域是 求,a,值.,(1),证实,设,x,2,x,1,0,则,x,2,-,x,1,0,x,1,x,2,0,f,(,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,)在(0,+)上是单调递增.,第22页,第23页,题型四 函数单调性与不等式,【,例4,】,(12分)函数,f,(,x,)对任意,a,、,b,R,都有,f,(,a,+,b,),=,f,(,a,)+,f,(,b,)-1,而且当,x,0时，,f,(,x,)1.,（1）求证：,f,(,x,)是,R,上增函数；,（2）若,f,(4)=5,解不等式,f,(3,m,2,-,m,-2)3.,问题(1)是抽象函数单调性证实,所,以要用单调性定义.,问题(2)将函数不等式中抽象函数符号,“,f,”,运,用单调性,“,去掉,”,为此需将右边常数3看成某个,变量函数值.,思维启迪,第24页,解,（1）设,x,1,x,2,R,，且,x,1,0,f,(,x,2,-,x,1,)1.2分,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,-,x,1,)+,x,1,)-,f,(,x,1,),=,f,(,x,2,-,x,1,)+,f,(,x,1,)-1-,f,(,x,1,),=,f,(,x,2,-,x,1,)-10.5分,f,（,x,2,）,f,(,x,1,).,即,f,(,x,)是,R,上增函数.6分,第25页,（2）,f,（4）=,f,（2+2）=,f,（2）+,f,（2）-1=5，,f,（2）=3，8分,原不等式可化为,f,(3,m,2,-,m,-2),f,(2),f,(,x,)是,R,上增函数，3,m,2,-,m,-22,10分,解得-1,m,故解集为 12分,f,(,x,)在定义域上（或某一单调区间上）,含有单调性，则,f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,若函数是,增函数,则,f,(,x,1,),f,(,x,2,),x,1,1时，,f,(,x,)0.,（1）求,f,(1)值；,（2）判断,f,(,x,）单调性；,（3）若,f,(3)=-1,解不等式,f,(|,x,|)0,代入得,f,(1)=,f,(,x,1,)-,f,(,x,1,)=0,故,f,(1)=0.,第27页,（2）任取,x,1,x,2,(0,+)，且,x,1,x,2,则,因为当,x,1时，,f,(,x,)0,所以 即,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,所以,f,(,x,1,),f,(,x,2,),所以函数,f,(,x,)在区间(0,+)上是单调递减函数.,（3）由 =,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)得,=,f,(9)-,f,(3),而,f,(3)=-1,所以,f,(9)=-2.,因为函数,f,(,x,)在区间（0,+）上是单调递减函数，,由,f,(|,x,|)9,x,9或,x,9或,x,-9.,第28页,1.依据函数单调性定义，证实（判定）函数,f,(,x,),在其区间上单调性，其步骤是,（1）设,x,1,、,x,2,是该区间上任意两个值，且,x,1,x,2,；,（2）作差,f,（,x,1,）-,f,（,x,2,），然后变形；,（3）判定,f,（,x,1,）-,f,（,x,2,）符号；,（4）依据定义作出结论.,方法与技巧,思想方法 感悟提升,第29页,2.求函数单调区间,首先应注意函数定义域，函数增减区间都是其,定,义域子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本,初等函数单调区间.惯用方法有：依据定义，利用,图象和单调函数性质，还能够利用导数性质.,3.复合函数单调性,对于复合函数,y,=,f,g,(,x,),若,t,=,g,(,x,)在区间(,a,b,)上是,单调函数,且,y,=,f,(,t,)在区间(,g,(,a,),g,(,b,)或者(,g,(,b,),g,(,a,)上是单调函数,若,t,=,g,(,x,)与,y,=,f,(,t,),单调性相同,(同时为增或减),则,y,=,f,g,(,x,)为增函,数;若,t,=,g,(,x,),与,y,=,f,(,t,)单调性相反,则,y,=,f,g,(,x,)为减函数.,简称为:同增异减.,第30页,1.函数单调区间是指函数在定义域内某个区间上,单调递增或单调递减.单调区间要分开写,即使在两,个区间上单调性相同,也不能用并集表示.,2.两函数,f,(,x,)、,g,(,x,)在,x,(,a,b,)上,都是增(减)函数,则,f,(,x,)+,g,(,x,)也为增(减)函数,但,f,(,x,),g,(,x,),等,单调性与其正负相关，切不可盲目类比.,失误与防范,第31页,一、选择题,1.若函数,y,=,ax,与 在(0,+)上都是减函数，,则,y,=,ax,2,+,bx,在（0，+）上是 （）,A.增函数 B.减函数,C.先增后减 D.先减后增,解析,y,=,ax,与 在(0,+)上都是减函数,a,0,b,0且,a,1）是,R,上,减函数，则,a,取值范围是 (),A.（0，1）B.,C.D.,解析,据单调性定义，,f,（,x,）为减函数应满足：,B,第33页,3.以下四个函数中,在(0,1)上为增函数是(),A.,y,=sin,x,B.,y,=-log,2,x,C.,D.,解析,y,=sin,x,在 上是增函数，,y,=sin,x,在（0，1）上是增函数.,A,第34页,4.,(天津理，8),已知函数,若,f,(2-,a,2,),f,(,a,)，则实数,a,取值范围是 （）,A.（-,-1）(2,+)B.(-1,2),C.(-2,1)D.(-,-2)(1,+),解析,由,f,(,x,)图象,可知,f,(,x,)在(-,+)上是单调递增函数,由,f,(2-,a,2,),f,(,a,)得2-,a,2,a,即,a,2,+,a,-20,解得-2,a,1,函数,f,(,x,)单调减区间为,D,第37页,二、填空题,7.若函数,f,(,x,)=(,m,-1),x,2,+,mx,+3(,x,R,)是偶函数，则,f,(,x,)单调减区间是_.,解析,f,（,x,）是偶函数，,f,（-,x,）=,f,（,x,），,(,m,-1),x,2,-,mx,+3=(,m,-1),x,2,+,mx,+3，,m,=0.这时,f,(,x,)=-,x,2,+3，,单调减区间为0，+).,0,+),第38页,8.若函数 在区间(,m,，2,m,+1)上是单调递,增函数，则,m,_.,解析,令,f,(,x,)0,得-1,x,m,m,-1.,综上，-1,m,0.,(-1,0,第39页,9.已知定义域为,D,函数,f,(,x,)，对任意,x,D,存在正,数,K,，都有|,f,(,x,)|,K,成立，则称函数,f,(,x,)是,D,上,“有界函数”.已知以下函数:,f,(,x,)=2sin,x,;,f,(,x,)=,f,(,x,)=1-2,x,;其中,是“有界函数”是_.（写出全部满足要求,函数序号）,第40页,解析,中|,f,（,x,）|=|2sin,x,|2,中|,f,（,x,）|1;,当,x,=0时，,f,(,x,)=0，总之，|,f,(,x,)|,f,(,x,)1,|,f,（,x,）|+,故填.,答案,第41页,三、解答题,10.判断,f,(,x,)=在(-,0)(0,+)上单调性.,解,-11,f,（-1）=-1,f,(1)=1,f,（,x,）在（-，0）(0,+)上不是减函数.,-2,f,(-1)=-1,f,(,x,)在（-，0）（0，+）上不是增函数.,f,（,x,）在（-，0）(0,+)上不含有单调性.,第42页,11.已知,（1）若,a,=-2,试证,f,(,x,)在（-,-2）内单调递增；,（2）若,a,0且,f,(,x,)在（1,+）内单调递减，求,a,取,值范围.,（1）,证实,任设,x,1,x,2,0,x,1,-,x,2,0,f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,)在(-,-2)内单调递增.,第43页,（2）,解,任设1,x,1,0,x,2,-,x,1,0,要使,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,只需(,x,1,-,a,)(,x,2,-,a,)0恒成立，,a,1.,总而言之知00及 得,x,0,由,f,(6)=1及,得,f,x,(,x,+3)2,f,(6),即,f,x,(,x,+3)-,f,(6),f,(6),亦即,因为,f,(,x,)在(0,+)上是增函数,所以,解得,总而言之，不等式解集是,返回,第46页,