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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,第十章 曲 面 积 分,对面积曲面积分（第一型曲面积分）,第1页,一、对面积曲面积分定义,1,定义:,2,物理意义:,二、对面积曲面积分性质,1.线性性质：,2.可加性：,曲面 质量,。,表示面密度为,3.面积：,第2页,三、对面积曲面积分计算方法,方法：,化为二重积分计算,4.奇偶对称性：,关键：,找到投影区域,D,确定二重积分积分变量,普通有三种方法，终究利用哪种方法取决于 方程,中哪个变量能用其它另外两个变量显示形式,表示，若 方程既可化为 ，又可化为,或,，则我们可从三种方法中取优。,0,关于,xoy,面对称，,为,z,奇函数,关于,xoy,面对称，,为,z,偶函数,第3页,（1）若 ，。,（2）若 ，。,（3）若 ，。,四、对面积曲面积分应用,1,几何应用,求曲面面积：,第4页,2,物理应用,质量,质心,转动惯量,第5页,一、对坐标曲面积分概念,1定义,2物理意义,单位时间内流过曲面 一侧流量。,表示流体密度 速度场为 ,对坐标曲面积分（第二型曲面积分）,第6页,二、对坐标曲面积分性质,1可加性,2反号性,3奇偶对称性,关于xoy面对称，R为z偶函数,关于xoy面对称，R为z奇函数,第7页,（2）,设 ，。则,前侧取“+”，后侧取“”。,1,直接投影法,（化为二重积分）,（1）,设 ，。则,上侧取“+”，下侧取“”。,三、对坐标曲面积分计算方法,第8页,或,这里 是 外侧边界，为曲线 上点,处法向量方向余弦。,2,高斯（,Gauss,）公式计算法,（,3,）设 ，。则,右侧取“+”，左侧取“”。,第9页,4,斯托克斯（,Stokes,）公式计算法,（这里,是有向曲面 正向边界曲面),3,转化为第一型曲面积分计算法,其中 为曲面 在点 处法向量,方向余弦,。,第10页,五、对坐标曲面积分解题方法,四、散度与旋度,设 ，都有一阶连续偏导数,。,（1）散度,（2）旋度,第11页,确定,对 补上特殊,曲面,确定 侧,封闭,应用,Guass,公式,转化为二重积分,在封闭曲面,上应用,Gauss,公式,求 在各坐标面上投影,转化为二重积分,Yes,No,求 方向,余弦,转化为第一,型曲面积分,Yes,为平面块,No,解题方法流程图,第12页,由上图能够看出，计算第二型曲面积分时，首先应找出函数,特点，考虑将对坐标曲面积分转化为对面积曲面积分来,后将上面二积分相减，便得原曲面积分值，即,是否封闭，若 是封闭曲面，则可直接利用,Gauss,公式，将,所求积分转化为三重积分来计算。若 不是封闭曲面，则可,深入判别 是否为平面块，是平面块，则可依据题目标,计算。若 不是平面块，此时，普通有两种方法，一个是通,过补特殊曲面 ，使 组成一封闭曲面，然后在封闭曲,面 上应用,Gauss,公式，并计算在曲面 上积分，最,，及积分曲面 ；然后判别,第13页,另一个方法是按照定义将曲面积分直接转化为二重积分来,计算，即直接计算方法。,第14页,六、对面积曲面积分经典例题,【例,1,】计算曲面积分 ，其中 为平面,在第一卦限中部分。,分析因为 ：，可恒等变形为 ：，,故我们可采取框图中线路2解题方法求解。又因被积函数,与 形式相同，故可利用曲面方程来简化被积,函数，即将 代入，从而简化计算。,解：平面 方程为 （见下列图），,第15页,在 面上投影区域为：,面积元素,从而,注：本题亦可框图中线路,1或线路3,解题方法来求解。,第16页,【例,2,】计算曲面积分 ，其中 为,在 与 之间部分。,分析 因为 ：，即 ，,所以我们可采取框图中线路,1或线路3,解题方法求解。,从 中能确定 ，或 ；,下面仅用线路,1,方法计算。,解：令 ：；：。则,（如图）,（1）,求 和 在 平面上投影区域：,因 和 在 平面上投影区域相同，,：，。,设为,第17页,（3）,转化为二重积分：,（2）,求微元 ：在 和 上，,第18页,【例,3,】计算曲面积分 ，其中 为曲面,。,分析 注意到积分曲面 为旋转抛物面 ，,它关于 面和 面对称，且被积函数,关于变量 和 均为偶函数，所以只要计算 在第一,卦限部分，再,4,倍即可，即本题利用对称性计算比较简便。,解：设 在第一卦限部分为 ，则 在 面上投影,区域为：,于是,第19页,（令 ）,第20页,【例,4,】计算曲面积分 ，其中 为球面,。,分析 因为积分曲面 为球面 ，它关于三个,坐标面含有轮换对称性，所以 ，而,，故本题利用轮换对称性和奇偶对,称性计算比较简单。,解：因,，,由,奇偶对称性可知，上述未写出项积分值均为0，而由,轮换对称性易知,，,故,第21页,注：从以上几个例子能够看出，计算对面积曲面积分应注意,掌握以下几个关键点：,（1）,因为积分范围 是曲面，所以点 坐标满足曲面,方程 ，计算中要善于利用曲面 方程,来化简被积函数；,第22页,（2）,计算对面积曲面积分时，应注意观察积分曲面 对,称性（包含轮换对称性）和被积函数 奇偶性，,能够利用这类特殊性来简化积分计算；,（3）,将对面积曲面积分转化为二重积分计算，关键在于,二重积分积分变量选择，这是由积分曲面 方程,特点所决定，从以上例子即可看出。,第23页,【例,5,】求面密度为 均匀半球壳,对于 轴转动惯量。,分析 本题为曲面积分在物理中应用问题，只需按公式,将其转化为对面积曲面积分进行计算即可。,解：由题意,因 ：；在 坐标面上投影区域为,第24页,且 。所以,（令 ）,第25页,六、对坐标曲面积分经典例题,【例,1,】计算曲面积分 。其中 为球面,在第一卦限部分上侧。,分析 因为 不是封闭曲面，且只是对坐标 曲面积分，,且 在 面上投影区域为,解：因 ：前侧，,故从解题方法框图上看，采取线路,2 23,方法计算。,第26页,于是得,【例,2,】计算曲面积分 。其中 是,柱面 被平面 及,所截得在第一卦限内,部分前侧。,分析 本题为计算对坐标组合积分，但因为 不是封闭曲面，,且其中三个曲面积分化为二重积分计算又比较轻易（因为,为柱面，在 坐标面上投影 ，故从解题方法,框图上看，采取线路,2 23,方法计算即可。,第27页,解：因在 坐标面上投影 ，,坐标面上投影区域为：,又 在 ，,所以 ；,第28页,【例,3,】计算曲面积分 。,其中 为上半球体 ，表面外侧。,分析因为 为封闭曲面，所以可采取框图中线路,1,方法计算。,解：本题中，。积分曲面,为封闭曲面，设 所围成空间闭区域为 ，则,：，；,或 ：，。,于是由Gauss公式，得,第29页,注：若将本题中积分曲面 改为上半球面,上侧，则因为 不是封闭曲面，又不是平面块，从计算方法,框图上看，采取线路,2 22,方法计算较为简便，现计算,以下：,补平面块 取下侧，,则 与 组成一封闭曲面，且取外侧。,在封闭曲面,上应用,Gauss,公式，,第30页,又,故,第31页,【例,4,】计算曲面积分 ，其中 为,下半球面 下侧。,分析 因为 ，,定义在曲面 上，所以被积函数满足曲面方程,故应首先考虑用曲面方程化简被积函数,即,然后再计算。其次本题可考虑用高斯公式来计算，即采取,框图中线路,222,方法计算。,第32页,解：先以 代入被积表示式中，得,补有向曲面 取上侧，则组成封闭,曲面，且方向为外侧。由 所围成空间闭区域为,应用高斯公式，得,（如图）,：,第33页,又因,所以,第34页,【例,5,】计算曲面积分,其中 为连续函数，是平面 在第四卦,限部分上侧。,分析 因为 ，,其中 未知，而积分曲面 为平面块，故可考虑,利用两类曲面积分之间关系，把给定第二型曲面积分,转化为第一型曲面积分，即采取,框图中线路,2 21,方法计算。,解,:,在面上投影区域(如图),第35页,，故,注:此题若用定义直接计算，因为被积函数中含有未知函数,，那么转化成三个二重积分后，下一步计算二重积,方向余弦为,分就极难进行了。普通情况下，若被积函数中含有抽象函数，,通常不采取直接计算方法，而是采取将第二型曲面积分转,化为第一型曲面积分或,Gauss,公式方法来处理。,第36页,【例,6,】设 含有连续导数，计算曲面积分,其中 为由 和 所围成区域外侧。,分析 令 ，,因为被积函数含有抽象函数 ，假如直接计算极难求出。,考虑到 为封闭曲面，而且,所以可考虑应用高斯公式，即采取框图中线路,1,方法计算。,第37页,解：令 ，则,，,围成区域为 （如图）,应用高斯公式，得,第38页,于是，计算得,在柱面坐标系下，：，,第39页,分析 本题为沿空间曲线积分，从所给曲线来看,若采取,【例,7,】计算,其中 是平面 与柱面 交线，,从 轴正向看去，为逆时针方向。,参数法转化为定积分计算比较困难。现利用,Stokes,公式将,曲线积分转化为曲面积分计算。但要注意将曲面积分转化,为二重积分时，曲面 侧与曲线 方向符合右手规则，,从而正确决定二重积分正负号。,第40页,解:设 为平面 上 所围成部分上侧，,为,在 坐标面上投影区域，则 ；,由,Stokes,公式，得,第41页,【例,8,】设 ，求 。,分析 按梯度、散度定义直接计算即可。,解:因为,所以,从而,第42页,0,第43页,