新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结.doc

推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理
直接证明
间接证明
类比推理
归纳推理
分析法
综合法
反证法
数学归纳法
《推理与证明》知识归纳总结

第一部分 合情推理
学习目标：
了解合情推理的含义（易混点）
理解归纳推理和类比推理的含义，并能运用它进行简单的推理（重点、难点）
了解合情推理在数学发展中的作用（难点）
一、知识归纳：
合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：
归纳推理:
1.归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.
2.归纳推理的一般步骤:
第一步，通过观察个别情况发现某些相同的性质;
第二步，从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）.
思考探究:
1.归纳推理的结论一定正确吗?

2.统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理?

题型1 用归纳推理发现规律
1、观察：；； ；….对于任意正实数，试写出使成立的一个条件可以是 ____.
点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故
2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂
巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂
巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图
有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以
表示第幅图的蜂巢总数.则=_____;=___________.
【解题思路】找出的关系式
[解析]
总结：处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系

类比推理
1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
2.类比推理的一般步骤:
第一步：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
第二步：用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想.

思考探究:
1.类比推理的结论能作为定理应用吗?

2.(1)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体?
(2)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论?

题型2 用类比推理猜想新的命题
[例]已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.
【解题思路】从方法的类比入手
[解析]原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法， 即正四面体的内切球的半径是高
总结：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比
（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等

合情推理
1.定义:归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.简言之，合情推理就是合乎情理的推理.
2.推理的过程:

从具体问题出发
→
观察、分析、比较、联想
→
归纳、类比
→提出猜想

思考探究:
1.归纳推理与类比推理有何区别与联系?
1）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
2）类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
第二部分 演绎推理
学习目标：
理解演绎推理的含义（重点）
掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单推理（重点、难点）
合情推理与演绎推理之间的区别与联系
一、知识归纳：
演绎推理的含义:
1.演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论. 演绎推理又叫逻辑推理.
2.演绎推理的特点是由一般到特殊的推理.
思考探究:
演绎推理的结论一定正确吗?

演绎推理的模式
1.演绎推理的模式采用“三段论”:
(1)大前提——已知的一般原理(M是P);
(2)小前提——所研究的特殊情况(S是M);
(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断(S是P).
2.从集合的角度看演绎推理:
(1)大前提:x∈M且x具有性质P;
(2)小前提：y∈S且SM
(3)结论：y具有性质P.
演绎推理与合情推理
合情推理与演绎推理的关系:
(1)从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特说的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理.
(2)从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.
第三部分 直接证明与间接证明
学习目标：
1、了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
2、了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。
知识归纳：
三种证明方法:
综合法、分析法、反证法
分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
反证法：它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：
(1) 假设命题的结论不成立；
(2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止
(3) 断言假设不成立
(4) 肯定原命题的结论成立
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题
考点1 综合法
在锐角三角形中,求证:
[解析]为锐角三角形，，
在上是增函数，
同理可得，

考点2 分析法
已知,求证
[解析]要证，只需证
即，只需证，即证
显然成立，因此成立
总结：注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”，而不是“因为---所以---”
考点3 反证法
已知，证明方程没有负数根
【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾
[解析]假设是的负数根，则且且
，解得，这与矛盾，
故方程没有负数根
总结：否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多
第四部分 数学归纳法
学习目标：
1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题
3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。
知识归纳：
数学归纳法的定义：
一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:
(1)证明当n=n0时命题成立;
(2)假设当n=k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.
在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.
1．数学归纳法的本质：
无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）
2．数学归纳法步骤：
（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。

[例1 ] 已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ）
A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立
C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立
[解析] 因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B
总结：用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k时命题的形式（3）从和的差异，寻找由k到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子
例2、用数学归纳法证明不等式
[解析]（1）当n=1时，左=2，右=2，不等式成立
（2）假设当n=k时等式成立，即
则

当n=k+1时， 不等式也成立
综合（1）（2），等式对所有正整数都成立
总结：（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；
（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；
（3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面