量子力学--定态薛定谔方程省名师优质课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,第二章 定态薛定鄂方程,（一）定态Schrdinger方程，定态,（二）能量本征值方程,（三）求解定态问题步骤,（四）定态性质,（五）怎样由定态得到普通解,第1页,（一）定态Schrdinger方程，定态,讨论有外场情况下 Schr,dinger 方程：,令：,于是：,V(r)与t无关时，能够分离变量,代入,等式两边是相互无关物理量，故,应等于与,t,r 无关常数,第2页,此波函数与时间t关系是正弦型，其角频率,=2E/h,。由de Broglie关系可知：E 就是体系处于波函数(r,t)所描写状态时能量。也就是说，此时,体系能量有确定值，所以这种状态称为定态，波函数(r,t)称为定态波函数。,空间波函数(r)由方程,和详细边界条件所确定。,该方程称为,定态 Schr,dinger 方程。,第3页,（1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数,这与数学物理方法中本征值方程相同。,数学物理方法中：,微分方程+边界条件组成本征值问题,；,或,（2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中边界条件，称为,波函数自然边界条件,。,所以，在量子力学中称与上类似方程为束缚本征值方程。常量,E,称为,算符,H,本征值,；,称为,算符,H,本征函数,。,（3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写状态（简称,能量本征态,）时，粒子能量有确定数值，这个数,值就是与这个本征函数对应能量算符本征值。,（二）能量本征值方程,第4页,（三）求解定态问题步骤,讨论定态问题就是要求出体系可能有定态波函数,(r,t),和在这些态中能量,E,。其详细步骤以下：,（1）列出定态 Schrodinger方程,（2）依据波函数三个标准条件求解能量 E 本征值问题，得：,（3）写出定态波函数即得到对应第 n 个本征值 E,n,定态波函数,（4）经过归一化确定归一化系数 C,n,第5页,（四）定态性质,（2）几率流密度与时间无关,（1）粒子在空间几率密度分布与时间无关,第6页,4.能量本征函数是完备正交归一系,能够证实（以后证实）,（3）处于定态时力学量（不显含时间）期待值是常数,推论,正交归一性,薛定鄂方程通解能够用定态波函数叠加表示为,其中展开系数由初始条件定,由定态波函数正交归一性,第7页,我们来求处于,能量期待值,我们在来看,归一化,第8页,从上面两个式子能够看出，,含有几率概念，当对,测量能量时，测到,几率是,也能够说体系,是部分地处于,态，各个态出现几率分别是,需要注意是，尽管分离解本身是定态解，,其几率和期望值都不依赖时间，,不过普通解并不具备这个性质；,因为不一样定态含有不一样能量，在计算时含时指数因子不能相互抵消,第9页,2.2一维无限深势阱,求解 S 方程 分四步：,（1）列出各势域一维S方程,（2）解方程,（3）使用波函数标准条件定解,（4）定归一化系数,-a 0 a,V(x),I,II,III,第10页,（1）列出各势域 S 方程,方程可,简化为：,-a 0 a,V(x),I,II,III,势V(x)分为三个区域，,用 I、II 和 III,表示，其上波函数分,别为,I,(x),II,(x)和,III,(x)。,则方程为：,2,2,第11页,（3）使用波函数标准条件定解,从物理考虑，粒子不能透过无穷高势壁。,依据波函数统计解释，要求在阱壁上和阱壁,外波函数为零，尤其是,a)=(a)=0。,-a 0 a,V(x),I,II,III,1。单值，成立；,2。有限：当x,-，,有限条件要求,C,2,=0。,(2)解方程,第12页,3。连续性:在势分界点,由波函数连续性：,点,点,由此得到,A和B不能同时为零,不然波函数处处为零(处处为零波函数总是满足薛定谔方程),这在物理上是没有意义.所以,我们得到两组解,第13页,(1),2.6-8,对第一个情况,我们必须有,对第二种情况,我们必须有,n=0对应于波函数恒为零解没有意义,n等于负整数时不给出新解.,由(2.6-5,10)体系能量为,能够看出由无限多个能量值,它们组成体系分离能级,每一个能级对应一个n,我们称n为量子数.,正整数 (2.6-11),(2),2.6-9,2.6-10,第14页,我们得到两组波函数解,2.6-12,这两组解能够合并为一个式子,2.6-14,2.6-13,第15页,由归一化条件,求出,所以一维无限深势阱中粒子定态波函数是,第16页,利用公式,能够将正弦波写成指数函数,由此可知,是由两个沿相反方向传输振幅相等平面波叠加而成驻波,波函数在势阱外时为零,即粒子被束缚在势阱内部.,通常把在无限远处为零波函数所描写状态称为束缚态,普通来讲,束缚态所属能级是分立.体系能量最低态称为基态,一维无限深势阱中粒子基态是n=1本征态.,第17页,第18页,（6）粒子能级间隔,相邻两个能级能量差：相邻两个能级能量差与势阱宽度平方成反比。所以，量子化现象对于空间范围很小微观体系才显著。,一维无限深势阱应用举例：,解释有机燃料分子（多烯烃）不一样颜色根源。,有机燃料分子是线性分子，电子在分子内运动是自由，但不能跑出分子外，能够简化为电子在一维无限深势阱中运动。设分子程度为2a，比如,1）靛蓝，其 a大，小，他吸收低频光，反射高频光，所以呈蓝紫色。,2）刚果红，其 a小，大，他吸收高频光，反射低频光，所以呈红色。,第19页,第20页,第21页,第22页,（三）宇称,（1）空间反射变换：空间矢量反向操作。,（2）此时假如有：,称波函数含有偶宇称；,称波函数含有奇宇称；,（3）,假如在空间反射下，,则波函数没有确定宇称。,第23页,2.3 线性谐振子,（一）引言,（1）何谓谐振子,（2）为何研究线性谐振子,（二）线性谐振子,（1）方程建立,（2）求解,（3）应用标准条件,（4）厄密多项式,（5）求归一化系数,（6）讨论,（三）实例,第24页,（一）引言,（1）何谓谐振子,量子力学中线性谐振子就是指在该式所描述势场中运动粒子。,在经典力学中，当质量为,粒子，受弹性力F=-kx作用，由牛顿第二定律能够写出运动方程为：,其解为 x=Asin(t+)。这种运动称为简谐振动，作这种运动粒子叫谐振子。,若取V,0,=0，即平衡位置处于势 V=0 点，则,2,2,2,1,x,V,mw,=,第25页,（2）为何研究线性谐振子,自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近小振动，比如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场振动等往往都能够分解成若干彼此独立一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动初步近似，所以简谐振动研究，不论在理论上还是在应用上都是很主要。比如双原子分子，两原子间势V是二者相对距离x函数，如图所表示。在 x=a 处，V 有一极小值V,0,。在 x=a 附近势能够展开成泰勒级数：,a,x,V(x),0,V,0,取新坐标原点为(a,V,0,)，则,势可表示为标准谐振子势形式：,可见，一些复杂势场下粒子运动往往能够用线性谐振动来近似描述。,0,),(,0,=,=,=,ax,x,V,V,a,V,第26页,（1）方程建立,线性谐振子 Hamilton算符：,定态 Schr,dinger 方程：,为简单起见，引入无量纲变量代替x，,此式是一变系数二阶常微分方程。,第27页,（2）求通解,为求解方程，我们先看一下它渐,近解，即当 时波函数,行为。在此情况下，1,第28页,其中 H()必须满足波函数单值、有限、连续标准条件。即：,当有限时，H()有限；,当时，H()行为要确保()0。,将()表示式代入方程得,关于 待求函数 H(),所满足方程：,2.H()满足方程,此方程称为 Hermite 方程。,第29页,3.,Hermite 方程级数解,以级数形式来求解，令：用 k 代替 k,第30页,由上式能够看出：,b,0,决定全部角标k为偶数系数；,b,1,决定全部角标k为奇数系数。,因为方程是二阶微分方程，应有两个,线性独立解。可分别令：,b,0,0,b,1,=0.H,even,();,b,1,0,b,0,=0.H,odd,().,即：b,k+2,(k+2)(k+1)-b,k,2k+b,k,(-1)=0,从而导出系数 b,k,递推公式：,该式对任意都成立，故同次幂前系数均应为零。,只含偶次幂项,只含奇次幂项,则通解可记为：,H=c,o,H,odd,+c,e,H,even,=(c,o,H,odd,+c,e,H,even,e)exp-,2,/2,第31页,（3）用标准条件定解,(I)=0,exp-,2,/2|,=0,=1,H,even,()|,=0,=b,0,H,odd,()|,=0,=0,皆有限,(II)需要考虑无穷级数H()收敛性,为此考查相邻,两项之比：,考查幂级数,exp,2,展开式收敛性,比较二级数可知：,当,时,，H(),渐近行为与exp,2,相同。,单值性,和,连续性,条件自然满足，只剩下第三个,有限性,条件需要进行讨论。,因为H()是一个幂级数，故应考虑他收敛性。考虑一些特殊点，,即势场有跳跃地方以及x=0,x 或=0,。,第32页,所以，总波函数有以下发散行为：,为了满足波函数有限性要求，幂级数,H(),必须从某一项截断变,成一个多项式。换言之，要求,H(),从某一项（比如第,n,项）起 以,后各项系数均为零，即,b,n,0,b,n+2,=0.,递推关系,结论,基于波函数,在无穷远处,有限性条件造成了,能量必须取,分立值。,第33页,（4）厄密多项式,从有限性条件得到 H()是多项式，,该多项式称为厄密多项式，记为H,n,()，,于是，总波函数可表示为：,由上式能够看出，H,n,()最高次幂是 n 其系数是 2,n,。,归一化常数,H,n,()也可写成封闭形式：,=2n+1,下面给出前几个厄密多项式详细表示式：,H,0,=1；H,2,=4,2,-2；H,4,=16,4,-48,2,+12,H,1,=2；H,3,=8,3,-12；H,5,=32,5,-160,3,+120,第34页,厄密多项式友好振子波函数递推关系：,从上式出发，可导出,厄密多项式递推关系：,应,用,实,例,例：已知 H,0,=1,H,1,=2，,则依据上述递推关系得出：,H,2,=2H,1,-2nH,0,=4,2,-2,基于厄密多项式递推关系能够导出谐振子波函数(x)递推关系：,第35页,（5）求归一化常数,分 步 积 分,该式第一项是一个多项式与 exp-,2,乘积，当代入上下限=后，该项为零。,继续分步积分到底,因为H,n,最高次项,n,系数是2,n,，所以,d,n,H,n,/d,n,=2,n,n!。,则谐振子波函数为：,(I)作变量代换，因为=x，,所以d=dx；,(II)应用H,n,()封闭形式。,第36页,（6）讨论,3.对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级,是非简并,。值得注意是，基态能量 E,0,=1/2 0，称为,零点能,。,这与无穷深势阱中粒子基态能量不为零是相同，是微观粒子波粒二,相性表现，能量为零“静止”波是没有意义，零点能是量子效应。,1.上式表明，H,n,()最高次项是(2),n,。所以,当 n=偶，则厄密多项式只含偶次项；,当 n=奇，则厄密多项式只含奇次项。,2.,n,含有n宇称,上式描写谐振子波函数所包含 exp-,2,/2是偶函数，所以,n,宇称由厄密多项式 H,n,()决定为 n 宇称。,第37页,n=0,n=1,n=2,4.波函数,然而，量子情况与此不一样,对于基态，其几率密度是：,0,()=|,0,()|,2,=N,0,2,exp-,2,(1)在=0处找到粒子几率最大；,(2)在|1处，即在阱外找到粒子几率不为零,与经典情况完全不一样。,以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在|x|V,0,情况,因为 E 0,E V,0,所以 k,1,0,k,2,0.上面方程可改写为：,上述三个区域 Schr,dinger,方程可写为：,第71页,定态波函数,1,2,3,分别乘以含时因子 exp-iEt/,即可看出：式中第一项是沿x正向传输平面波，第二项是沿x负向传输平面波。因为在 x a III 区没有反射波，所以 C=0，于是解为：,利用波函数标准条件来定系,数。首先,解单值、有限,条件满足。考虑连续性:,1.波函数连续,2.波函数导数连续,第72页,解出,写成矩阵形式,第73页,4.透射系数和反射系数,求解方程组得:,为了定量描述入射粒子透射势垒几率和被,势垒反射几率，定义透射系数和反射系数。,I 透射系数：,透射波几率流密度与入射波,几率流密度之比称为透射系数,D=J,D,/J,I,II 反射系数：,反射波几率流密度与入射波,几率流密度之比称为反射系数,R=J,R,/J,I,物理意义：,描述贯通到 x a III区中粒子在单位时间内流过垂直 x方向单位面积数目与入射粒子（在 x a III区，另一部分则被势垒反射回来。,反射系数为：,因为,第76页,（2）E V,0,情况,故令：k,2,=ik,3,，其中k,3,=2(V,0,-E)/,1/2,。这么把前面公式中 k,2,换成 ik,3。,并注意到：sin ik,3,a=i sinh k,3,a,即使 E V,0,，在普通情况下，透射系数 D 并不等于零。,0 a,V(x),x,V,0,入射波+反射波,透射波,因 k,2,=2(E-V,0,)/,1/2,，当 E 1时,故4可略,透射系数则变为：,粗略预计，认为 k,1,k,3,（相当于E V,0,/2）,则 D,0,=4是一常数。下面经过实例来说明透射系数量级大小。,于是：,第78页,例1:入射粒子为电子。,设 E=1eV,V,0,=2eV,a=2 10,-8,cm=2，,算得 D 0.51。,若a=5 10,-8,cm=5，,则 D 0.024，可见,透射系数快速减小。,质子与电子质量比,p,/,e,1840。,对于a=2,则 D 2 10,-38,。,可见透射系数显著依赖于,粒子质量和势垒宽度。,量子力学提出后，Gamow,首先用势垒穿透成功说明,了放射性元素衰变现象。,例2:入射粒子换成质子。,第79页,（2）任意形状势垒,则 ab贯通势垒V(x),透射系数等于贯通这些小,方势垒透射系数之积，即,此式推导是不太严格，但该式与严格推导结果一致。,0 a b,V(x),E,对每一小方势垒透射系数,可把任意形状势垒分割成许,多小势垒，这些小势垒能够近,似用方势垒处理。,dx,第80页,（四）应用实例,（1）原子钟,（2）场致发射（冷发射）,衰变、隧道二极管、热核聚变、扫描隧道显微镜等都是势垒穿透现象，下面介绍两个经典实例。,第81页,（1）原子钟,原子钟频率标准就是利用氨分子(N H,3,)基态势垒贯通振荡频率。,氨分子(NH,3,)是一个棱锥体，N,原子在其顶点上，三个 H 原子,在基底。如右图所表示。,N,N,H,H,H,N,N,E,假如N原子初始在N处，则因为隧,道效应，能够穿过势垒而出现在,N点。当运动能量小于势垒高度,R-S之间或T-U之间振荡（谐振子）；,这两个区域之间经过势垒迟缓得多振荡运动。,如图中能级 E 所表示，则N原子运动有两种形式：,对于NH,3,基态，第二种振荡频率为2.3786 10,10,Hz。这就是原子钟在要求时间标按时所利用氨分子势垒贯通运动。,第82页,（2）场致发射（冷发射）,图（a）,图（b）,欲使金属发射电子，能够将金属加热或用光照射给电子提供能量，这就是我们所熟知,热发射,和,光电效应,。,不过，施加一个,外电场,，金属中电子所感受到电势如图(b)所表示。金属中电子面对一个势垒，能量最大电子就能经过隧道效应穿过势垒漏出，从而造成所谓,场致电子发射,。,第83页,小结,1、,深刻了解波函数统计解释,几率密度含义,波函数在空间中某一点强度(,2,)和在该点找到粒子几率成正比,在时刻t,在(x,y,z)点附近单位体积内找到粒子几率,称为几率密度,w（x，y，z，t）,（x，y，z，t）,2,2、掌握,坐标、动量算符表示,3、掌握薛定鄂方程求解普通方法,4 掌握求解一维定态问题方法，在求解时会熟练应用波函数标准条件，深入了解能量量子化和几率分布。,第84页,