论小学生数学思维能力的培养.pdf

5The Horizon of Education智识名家视线创造性人才培养是当下的热点话题。创造力的源泉是想象力，想象力根本上是一种思维能力。通过若干案例说明如何激发小学生的学习兴趣，提升数学思维能力，并指出数学思维能力的培养因人而异，多元化的社会结构需要多元化的人才。数学思维能力尤其是想象力的培养，是所有学段的数学教育需要面临的重大挑战。教师只有通过学习和研究，具备了高屋建瓴的眼光，才有可能驾轻就熟地开展教学。创造力；想象力；数学思维能力摘 要：关键词：学生的创造力从何而来？如何才能培养出具有创新能力的优秀人才？如何落实到具体的课堂教学？建设创新型国家，回答这些问题尤其重要。有人认为，创造力来自个人的天赋和潜能，也有人认为，创造力来自个人经验与知识的积累。天赋和潜能固然是拥有创造力的重要因素，但这是先天性因素，与创造力的激发是不同层面上的问题。如果说天赋、潜能与创造力之间有关系，这种关系体现在教育中则是如何发现一个人的天赋，激发其潜能。没有教育，再好的天赋与潜能也是枉然。个人经验与知识积累对于发明创造是不可或缺的，但并非最根本的要素，丰富的经验与知识积累可以让一个人熟练地从事某种工作，却未必能有发明创造。创造力来自哪里？爱因斯坦有一个回答：“想象力远比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切并推动着进步。想象才是知识进化的源泉。”所谓创造主要是知识方面的创造，从这个意义上说，爱因斯坦的话说明创造力来自想象力而非知识。数学的创造力也不例外，其激发来自想象力的培养，数学的想象力绝非仅仅指空间、图形的想象。要弄清楚这个问题，首先要了解什么叫想象力，所谓想象力，是指“人的思维在知觉材料的基础上创造出新形象的能力”。由此可见，想象力的本质是一种特殊的思维能力。数学中的想象既可能是形象化的，也可能与抽象、逻辑思维等密切相关。因此，数学思维能力的培养是数学想象力培养的根本，也是激发创造力的根本。人的想象力是一个逐渐提升与升华的过程。儿童时期是极富有想象力的时期，但儿童的想象既缺少知识与经验作为基础，也缺少一定的逻辑基础。如何以知识为载体，维护学生的好奇心并逐步培养他们的数学思维能力是小学数学教学面临的重要课题。一、数学思维能力的三要素数学思维通常需要经历三个阶段：直觉感知、论小学生数学思维能力的培养曹广福6智慧教学 2023 年 8 月智识名家视线思考辨析、演绎证明，也可以把它们称为数学思维能力的三要素。直觉感知与思考辨析往往需要比较强的想象力，从数学思维的角度看，可以把想象力归结为直觉感知能力与思考辨析能力。体现在问题上，直觉感知通常是提出问题的过程，思考辨析是分析问题的过程，演绎证明则是解决问题的过程。1说到数学思维，通常会涉及逻辑，似乎不讲逻辑就不是数学思维了。事实上，数学思维最初等的形式往往是直觉感知的过程，人们通过若干具体的例子去感知客观对象，然后大胆猜测。有时候，也可能问题是明确的，需要的是解决问题的方法，这时也存在直觉感知的问题，即什么样的方法是合适的？这个过程并不总是那么合乎逻辑，更多的是需要发挥联想、想象和类比的功能，寻找各种已知信息与这个问题之间可能的联系。虽然总的方向是一定的，但其中尝试的过程可能是不合乎逻辑的，尤其是有反例存在的时候。数学史上很多反例都是天才想象的杰作，试图探寻发现者的足迹恐怕是徒劳的。有些理论的建立也是如此。数学上的直觉通常有两种含义，一种是通过几何直观描述数学对象大概的样子，另一种是通过具体例子说明抽象的概念与原理。有时一个具体的例子或者一个形象化的几何示意图，可帮助学生理解概念与原理的深刻内涵。但直观不能代替抽象，它只能帮助我们增进理解，培养数学直觉。我们需要从直观或现实中慢慢走出来，抽象出数学概念，这就是弗赖登塔尔的所谓数学化。2数学思维的第二个阶段是思考辨析。直觉在很多时候依赖经验和灵感，与直觉不同的是，思辨需要有某种依据，这种依据常常是某种逻辑，胡思乱想不是思辨，更不可能辨析出真理来。思考辨析通常是在直觉基础上依据某种原则进行初步演绎，对想象进行辨析、纠偏或明朗化；同时辨析出问题的本质及解决的可能途径，辨析清楚了，解决问题的方案多半就出来了。当然，在解决问题的过程中可能会发现原来的方向有偏差甚至错了，则需要回到起点，重新辨析。但那种偏差并非毫无意义，它可能为进一步辨析提供依据。数学思维的第三个阶段是演绎证明。当思路明确了，剩下的就是检验思路的可行性，这时需要进行实操，看原来的方案是否确实可行，这个过程既有可能是逻辑证明的过程，也有可能是计算推理的过程，更多的则是逻辑演绎与计算并重的过程。思路很清晰并不意味着演绎证明一定畅通无阻，可能还会有一些细节性的梗阻，一个人的基本功如何在这个时候就凸显出来了。从这个意义上说，解题自有其用处，诚如哈尔莫斯所说：“学习数学的最好方式是做数学。”直觉与思辨好比机器的发动机，可以为我们提供动力，而解题基本功则是机器的润滑剂，它可以保证我们在数学演绎的过程中不至于举步维艰、步步是坎。总而言之，数学证明需要合乎逻辑，否则就是胡说八道，但作为解决问题全过程的数学思维则未必然，有些奇妙的想象可能是不符合逻辑的。二、例论小学数学中思维能力的培养小学阶段培养学生的数学思维能力，需要充分考虑学生的心智特点，数学课堂不宜太严肃。心理学家指出，儿童注意力集中的时间很短。在40 分钟的课堂上，教师需要不断刺激学生的兴趣点，让他们始终将注意力集中在课堂内容上。繁琐的计算最容易让学生对学习产生抵触情绪，如何在游戏般的教学中培养数学思辨能力也是小学数学教育中应该思考的问题。不妨从下列几个著名问题的教学中考察如何在激发学生学习兴趣的同时提升数学思维能力。（一）“商人卖萝卜”问题一个商人骑一头驴要穿越 1000 公里长的沙漠，去卖 3000 根胡萝卜。已知驴一次性可驮 1000根胡萝卜，但每走1公里驴要吃掉1根胡萝卜。问：商人最多可卖出多少根胡萝卜？学生看到这类题目或许会产生好奇心，但作为小学生，不一定能想到合适的解决方法，因为其中蕴涵着优化思想。不妨分解一下问题，通过下列几个启发式问题引导学生思考：（1）那头驴能一次驮 1000 根到目的地吗？（2）需要几个中转站？（3）中转站距离出发点多远最合适？7The Horizon of Education对问题（1）的分析需要一点直觉感知与初步的思考辨析。因为驴每次最多只能驮 1000 根，且每走一公里就要吃掉一根胡萝卜，考虑到驴来回都要吃，显然需要设一个中转站。第一个中转站距离出发地不能超过 500 公里，否则驴来回一趟就会把 1000 根胡萝卜吃光。问题是到达第一个中转站还剩下多少胡萝卜最合适？这与中转站到出发地的距离有关，我们需要在距离与胡萝卜数量之间取得平衡。驴在出发地与第一个中转站之间至少需要驮三次，前两次需要来回走，第三次不需要回头了，据此可以算出距离与所剩胡萝卜数量之间的关系。但此时不必急于计算，不妨进一步分析一下，在到达第一个中转站后，剩下多少胡萝卜比较合适？如果剩下的胡萝卜超过 2000 根，驴到第二个中转站需要驮三趟，显然不划算；如果剩下不足 1000根，一趟就够，但剩下的胡萝卜未必是最多的。最佳选择是到达第一站时还剩下 2000 根，由此可以算出第一个中转站到出发地的距离为200公里。在上述分析中，直觉感知与思考辨析发挥了重要作用，在分析清楚问题的本质后，第一站距离出发地 200 公里只需要简单的计算便可得到。由于还剩 800 公里，显然不能从中转站直接运到目的地，需要第二个中转站，道理与前面的分析相同。到达第二中转站剩下多少根划算？如果多于 1000 根，则需要跑两趟，可能不合适，最佳方案是到达第二中转站时还剩下 1000 根胡萝卜，由此可以得到问题（2）的答案：需要设立两个中转站，根据上述分析可以计算出第二个中转站到第一个中转站的合理距离约为 334 公里。于是得到问题（3）的答案：第一个中转站距离出发点 200 公里，第二个中转站距离第一个中转站 334公里（距离出发点 534 公里）。这样便可以计算出最终剩下的胡萝卜最多为 532 根。上述解答过程主要基于直觉感知与思考辨析，计算过程则相对简单。不过很容易让学生产生疑问：在所有可能的运输方式中，532 一定是最佳结果吗？对于一般的小学生来说，恐怕只能停止于此。上述分析的重要性在于通过直觉感知与思考辨析让学生具备初步的优化意识，在直觉材料的基础上滋生并体会“优化”这一新的思想，这便是想象力的培养。这是个简单的带约束条件的优化问题，如果要证明在所有的运输方式（中转站个数及距离）中，532 的确是最大值，就需要进行更严格的量化分析与计算。假设到达第一中转站时所剩胡萝卜为S 根，由于第一次中转不能超过 500 公里，所以500 S 3000，在不设第二个中转站的情况下，S 不应超过 1000，否则多于 1000 根的部分只能扔了。第二段路超过了 500 公里，到达目的地后所剩胡萝卜不足 500 根。再看看设置了第二个中转站的情况如何。假设到达第二个中转站还剩 T 根胡萝卜，与第一个中转站类似地分析，驴从第一个中转站到第二个中转站需要跑一个来回与一个单程，通过建立两个中转站之间的距离与 T 的关系进而分析 T 的取值，可以得出 532 的确是最优解的结论。但这种分析对于普通小学生可能偏难，只适宜采用第一段分析；对于领悟力相对比较强的学生，可以通过这一方法进行详细解析。课堂上可以同时介绍这两种本质一样、形式不同的分析方法，但不宜对所有学生都有同样的要求。（二）“白酒与红酒”问题两个大小一样的杯子，一杯盛着白酒，另一杯盛着等量的红酒。先用勺子盛满一勺白酒倒入红酒杯中，将红酒杯中的酒充分搅匀，再用同样的勺子盛满一勺混合后的酒倒入白酒杯中。试比较一下，是白酒杯中所含红酒比红酒杯中所含白酒多还是相反？这是弗赖登塔尔的著作作为教育任务的数学中的一个例子，用比例计算固然可以得出结论，但显得有些繁琐。如果我们搞清楚一件事：白酒杯中失去的部分跑去了红酒杯中，红酒杯中失去的部分跑去了白酒杯中，而两个杯子混合前后的容量都是一样的，那就容易得到结论：红酒杯中的白酒与白酒杯中的红酒一样多。这个结论与直觉多少有些相悖，学生可能会想当然地认为，红酒杯中所含白酒多于白酒杯中所含红酒。上述分析也是基于直觉感知与思考辨析，并无任何计算。如果强调量化分析，可以假设白酒与红酒的量均为 a，勺子的容量为 b，将一勺8智慧教学 2023 年 8 月智识名家视线白酒混入红酒杯中，则红酒杯中白酒的比例为bab+，红酒的比例则为aab+。再从红酒杯中取一勺混合酒放回到白酒杯中，这勺酒中所含红酒为baab+，则可算出白酒杯中红酒的比例为baaba+=bab+，这说明白酒杯中的红酒含量与红酒杯中的白酒含量是一样的。比较两种分析方法可以看出，代数化方法似乎更令人信服，但它带来的副作用则是直觉与思辨的丧失，对问题的本质也缺少透彻的领悟。对于中小学生来说，在介绍数学知识的同时，更应强化直觉感知与思考辨析能力的培养，包括数学想象力的培养。三、思维能力的培养因人而异什么是真正好的教育？真正好的教育是让普通学生变成好学生，让他们不仅养成好习惯，也能学有所成，有所进步，学业成绩得到提升。社会需要多元化的人才，个体千姿百态，各有各的需求，一模一样的教育并不能让所有学生享受到真正公平的教育。社会需要数学家，也需要物理学家、化学家、文学家等各种专家，更需要不同行业的普通劳动者，让他们享受一模一样的基础教育如何让天赋各异的学生脱颖而出？让不同程度的学生都能得到符合其自身能力的思维训练，这才是真正意义上的教育公平，也符合国家对多元化人才的需求。低年级学生应侧重对记忆性知识的讲授与计算能力的培养，可以通过不完全归纳发现一般规律。同时，从学生有限的生活体验中慢慢抽象出数字、几何图形以及简单的运算，这个过程可以结合实物引导学生自己去发现。因为小学低年级数学的内在原理相对简单，不需要太多的思辨与逻辑演绎，所以“让学生感觉数学是自己研究出来的”在一定程度上是有可能实现的。但到了小学高年级尤其是中学，数学的理论性越来越强，原理越来越复杂，对数学直觉、思辨与演绎思维的要求相对较高，数学课堂的重要任务则是通过具体的数学内容培养学生的数学直觉、思辨与演绎思维能力。在这些能力尚不具备的情况下，所谓研究无从谈起！正如一个学徒工，尚不清楚怎么使用工具，如何让他制作出某个作品？即使师父告诉他了，或者给他一张图纸甚至一个样品，他也做不出来，因为他不具备基本的制作能力。只有当学生具备了一定的数学直觉与思辨能力，才有可能有好的想法，只有具备了一定的演绎思维能力，也才有可能去检验自己的想法是否正确。直觉来自哪里？来自学生阶段的科学训练，这种训练并不仅仅体现在写论文的过程中，更体现在课堂教学中。因为数学直觉源于数学素养与眼界，有一定的数学素养才有可能具备数学直觉，而这种素养的培养需要从小学高年级开始。以一道小学奥数题为例：“找 9 个互不相同的整数，排成 3 行 3 列（可看成矩阵），使得各行各列及两条对角线上的 3 个数乘积均相等。”对普通小学生来说，这样的题显然偏难，超出了他们的认知能力范围，但对于有一定天赋的学生而言，这是一道不错的思维训练题。如果说加法幻方考查的主要是学生的观察能力，那么，乘法幻方不仅需要观察力，还需要对整数结构具有一定的敏感性，了解这个问题的本质。从直觉上看，这道题本质上属于因数分解问题，即把一个整数分解成若干因子的乘积。如果不要求 9 个数互不相同，当然也不能全部相同，只需要 3 个数便可以做到。所以在引导学生进行思考时可以由易到难，先从 3 个数开始。第一步，假设 3 个数分别为 x，y，z（也可用三个不同的象形符号代替），如果将这 3 个数作不同的排列，便可以得到 9 个数：x y zy z xz x y显而易见，每行、每列及一条对角线上 3 个数的乘积都相等，还有一条对角线上 3 个数的乘积不同，为了使每条对角线上 3 个数的乘积也一样，x，y，z 需满足 z3=xyz，即 z2=xy，要找到这样的 3 个数并不困难。第二步，为了得到 9 个互不相同的数，可以9The Horizon of Education利用两个不同的数组来构造。不妨设这两组数分别为 a，b，c 与 x，y，z，只需要将它们循环相乘便可以得到 9 个数：ax by czay bz cxaz bx cy如果取合适的数，不难让这 9 个数互不相同。可以看到，每行 3 个数的乘积都等于 abcxyz，为了得到乘积相等的列，将上表中的数重新排列，使得每列每个字母只出现一次：ax by cz bz cx ay cy az bx于是上表每行、每列 3 个数的乘积都等于abcxyz，唯有两条对角线上 3 个数的乘积不同，为找到满足条件的9个不同的整数，a，b，c及x，y，z 需满足 abcx3=abcxyz，c3xyz=abcxyz，化简即得x2=yz，c2=ab。满足上述条件的数并不难取到，例如 a=4，b=9，c=6；x=4，y=2，z=8 就满足要求，由此得一组数为：16 18 4872 24 812 32 36还可取 a=3，b=27，c=9；x=4，y=2，z=8。从而得另一组数：12 54 72 216 36 6 18 24 108第一步的完成为第二步提供了进一步探究的基础，两步思考都没有超出小学生的知识基础与认知能力。令人遗憾的是，小学教学常常采用一种蛮不讲理的“粗暴”方式，例如，把加法幻方的各行数字放到某个数的指数上便可得到乘法幻方。要完成这个过程，势必需要补充指数概念及指数的乘法法则。思维能力的培养不是指增加知识量，而是在已有知识基础上的思维训练。小学一年级会讲到退位减法，它是所有小学生都必须掌握的运算方法，所以教法上就需要考虑到不同学生不同的接受能力，需要采取一种面向所有学生的、最直观、最易理解的教法。例如，20-7 中，20 的个位数不够减，需要向十位数借一个，如何向一年级学生讲清楚这个道理？如果是 10-7，学生很容易理解，但 20-7 对于一年级学生来说并不那么平凡。这时不妨先从 10-7 开始，相信学过减法的学生都知道 10-7=3，再回到20-7，20 是几个 10？学生当然知道 20=10+10，将 20-7 写成 10+10-7，这下学生应该知道答案应该是 13。对于一般的两位数与个位数的减法，当两位数的个位数小于减数时该怎么计算呢？例如，我们用 ab 表示两位数，c 表示一位数（对一年级学生不宜用一般的代数表示式，可以通过具体的数来做），其中 b c，如何计算 ab-c？有了 20 的分解，学生多半能想到将ab-c 写成(a-1)0+1b-c 的形式，因为十位数是 1的两位数减法学生是会的（如果连十几减去个位数都不会，那就只好先去补习简单的）。这就是退位减法，但最好不要使用 b-c 不够减之类的表述，那是定义负数概念的时候需要使用的语言。在讲完退位减法后可以给这种计算方法一个说法：退位减法，因为要从十位数上拿一个过来，也就是让十位数退出一个来，得到一个十位数为1 的两位数 1b，这样就可以与一位数做减法运算了，所以把这种方法称为退位减法。数学思维能力的培养是一项润物细无声的工作，学习过程不仅是学生学、教师教的过程，也包括教师的学习与领悟过程。教师需要具备高屋建瓴的眼光，才有可能举重若轻地驾驭课堂，站稳三尺讲台。参考文献：1 曹广福.中学数学课堂中数学素养与思维能力的培养 J.中学数学杂志，2023（6）：1-5.2 弗赖登塔尔.作为教育任务的数学 M.陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1995：121-129.（曹广福，教授，博士生导师，广州大学数学与信息科学学院，邮编：510006）