1、单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,求 和,展 开,本节内容:,一、泰勒(Taylor)级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,第十二章,1/22,一、泰勒(Taylor)级数,其中,(,在,x,与,x,0,之间),称为,则在,复习:,若函数,某邻域内含有,n,+1 阶导数,该邻域内有:,f,(,x,),n,阶泰勒公式,拉格朗日余项,.,2/22,则称,当,x,0,=0,时,泰勒级数又称为,1
2、)对此级数,它收敛域是什么？,2)在收敛域上,和函数是否为,f,(,x,)?,待处理问题:,若函数,某邻域内含有任意阶导数,为,f,(,x,),泰勒级数.,麦克劳林级数,.,3/22,定理1,各阶导数,则,f,(,x,)在该邻域内能展开成泰勒级数充要,条件是,f,(,x,)泰勒公式余项满足:,证实,令,设函数,f,(,x,)在点,x,0,某一邻域,内含有,4/22,定理2,若,f,(,x,)能展成,x,幂级数,且与它麦克劳林级数相同.,证,则,显然结论成立.,则这种展开式是,唯一,设,f,(,x,)所展成幂级数为,5/22,二、函数展开成幂级数,1.直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步 求函
3、数及其各阶导数在,x,=0 处值;,第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径,R,;,第三步 判别在收敛区间(,R,R,)内,是否为,骤以下:,展开方法,直接展开法,利用泰勒公式,间接展开法,利用已知其级数展开式,0.,函数展开,6/22,例1,展开成,x,幂级数.,解,其收敛半径为,对任何有限数,x,其余项满足,故,(,在0与,x,之间),故得级数,将函数,7/22,例2,展开成,x,幂级数.,解,得级数:,其收敛半径为,对任何有限数,x,其余项满足,将,8/22,例3,展开成,x,幂级数,其中,m,为任意常数.,解,于是得 级数,因为,级数在开区间(1,1)内收敛.,所以对任意常数,m,
4、将函数,易求出,9/22,推导,推导,则,为防止研究余项,设此级数和函数为,10/22,称为,说明：,(1),在,x,1,处收敛性与,m,相关.,(2)当,m,为正整数时,级数为,x,m,次多项式,上式,由此得,二项展开式,.,二项式定理,.,就是代数学中,11/22,对应,二项展开式分别为,12/22,例3 附注,13/22,2.间接展开法,利用一些已知函数展开式及幂级数运算性质,例4,展开成,x,幂级数.,解,把,x,换成,得,以唯一性为依靠，将所给函数展开成 幂级数.,将函数,因为,14/22,例5,展开成,x,幂级数.,解,从 0 到,x,积分,得,定义且连续,域为,利用此题可得,上式
5、右端幂级数在,x,1 收敛,所以展开式对,x,1 也是成立,于是收敛,将函数,15/22,例6,展成,解,幂级数.,将,16/22,例7,展成,x,1 幂级数.,解,将,17/22,内容小结,1.函数幂级数展开法,(1)直接展开法,利用泰勒公式;,(2)间接展开法,利用幂级数性质及已知展开,2.惯用函数幂级数展开式,式函数.,18/22,当,m,=1 时,19/22,思索与练习,1.函数,处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级,数”有何不一样?,提醒:,前者无此要求.,2.怎样求,幂级数?,提醒:,后者必需证实,20/22,补充题 1.,将以下函数展开成,x,幂级数,解,x,1 时,此级数条件收敛,所以,21/22,2,在,x,=0处展为幂级数.,解,所以,将,22/22,
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